1、,第2讲 立体几何(大题),板块二 专题三 立体几何与空间向量,NEIRONGSUOYIN,内容索引,热点分类突破,真题押题精练,1,PART ONE,热点一 平行、垂直关系的证明,热点二 利用空间向量求空间角,热点三 利用空间向量解决探索性问题,热点一 平行、垂直关系的证明,用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线ab，只需证明向量ab(R)即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.,例1 如图，在直三棱柱ADEBCF中，平面ABF
2、E和平面ABCD都是正方形且互相垂直，点M为AB的中点，点O为DF的中点.运用向量方法证明： (1)OM平面BCF；,证明 方法一 由题意，得AB，AD，AE两两垂直，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.,棱柱ADEBCF是直三棱柱， AB平面BCF，,OM平面BCF.,又BF，BC平面BCF，OM平面BCF， OM平面BCF.,(2)平面MDF平面EFCD.,证明 方法一 设平面MDF与平面EFCD的法向量分别为 n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2).,同理可得n2(0,1,1). n1n20，平面MDF平面EFCD.,方法二 由题意及(1)知，BF，BC，BA两
3、两垂直，,又CDFCC，CD，FC平面EFCD， OM平面EFCD. 又OM平面MDF，平面MDF平面EFCD.,跟踪演练1 如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ADCD，BC2，ADCD1，M是PB的中点. (1)求证：AM平面PCD；,证明 如图，以C为坐标原点建立空间直角坐标系Cxyz， 则A(1,1,0)，B(0,2,0)，C(0,0,0)，D(1,0,0)，,设平面PCD的法向量为n1(x0，y0，z0)，,令y0a，则n1(0，a，1)，,又AM平面PCD，所以AM平面PCD.,(2)求证：平面ACM平面PAB.,设平面ACM的法向量为n2(x1，y1，z1)，
4、,令x21，则n3(1,1,0)，所以n2n3110. 所以平面ACM平面PAB.,热点二 利用空间向量求空间角,设直线l，m的方向向量分别为a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2).平面，的法向量分别为(a3，b3，c3)，v(a4，b4，c4)(以下相同). (1)线线夹角,(2)线面夹角,(3)二面角,例2 (2019南昌模拟)如图，四棱台ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，CC1底面ABCD，且BAD60，CDCC12C1D14，E是棱BB1的中点. (1)求证：AA1BD；,证明 因为C1C底面ABCD，所以C1CBD. 因为底面ABCD是菱形，所以BDAC. 又A
5、CCC1C，AC，CC1平面ACC1A1， 所以BD平面ACC1A1. 又AA1平面ACC1A1， 所以BDAA1.,(2)求二面角EA1C1C的余弦值.,解 如图，设AC交BD于点O， 依题意，A1C1OC且A1C1OC， 所以四边形A1OCC1为平行四边形， 所以A1OCC1，且A1OCC1. 所以A1O底面ABCD. 以O为原点，OA，OB，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.,设n(x，y，z)为平面EA1C1的法向量，,取z3，得n(0,4,3)， 平面A1C1C的法向量m(0,1,0)， 又由图可知，二面角EA1C1C为锐二面角，,(1)求证：CDBF；,证明
6、E为CD中点，CD2AB，ABDE. 又ABCD，四边形ABED为平行四边形. BCBD，E为CD中点，BECD， 四边形ABED为矩形，ABAD. 由PAB90，得PAAB， 又PAADA，PA，AD平面PAD，AB平面PAD. ABCD，CD平面PAD. 又PD平面PAD，CDPD. EFPD，CDEF. 又CDBE，BEEFE，BE，EF平面BEF，CD平面BEF. 又BF平面BEF，CDBF.,(2)求直线PB与平面PCD所成的角的正弦值.,解 由(1)知AB平面PAD. 以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，平面PAD内过点A且与AD垂直的线为z轴建立空间直角坐标系Ax
7、yz，如图所示. PAD120，PAz30.,点P到z轴的距离为1.,设平面PCD的一个法向量为n(x，y，z)，,设直线PB与平面PCD所成的角为.,热点三 利用空间向量解决探索性问题,与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或二面角满足特定要求时的存在性问题.处理原则是：先建立空间直角坐标系，引入参数(有些是题中已给出)，设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断.,例3 (2019临沂模拟)如图，平面ABCD平面ABE，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE1，F为CE上的点，且BF平面ACE. (1)求证：AE
8、平面BCE；,证明 BF平面ACE，AE平面ACE， BFAE， 四边形ABCD是正方形， BCAB， 又平面ABCD平面ABE，平面ABCD平面ABEAB， CB平面ABE， AE平面ABE， CBAE， BFBCB，BF，BC平面BCE， AE平面BCE.,AE平面BCE，BE平面BCE，AEBE， 在RtAEB中，AB2，AE1， ABE30，BAE60， 以A为原点，建立空间直角坐标系Axyz， 设AMh，则0h2， AE1，BAE60，,设平面MCE的一个法向量n(x，y，z)，,平面ABE的一个法向量m(0,0,1)，,跟踪演练3 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，A
9、CBCAA12，点P为棱B1C1的中点，点Q为线段A1B上一动点. (1)求证：当点Q为线段A1B的中点时，PQ平面A1BC；,证明 连接AB1，AC1， 点Q为线段A1B的中点，A，Q，B1三点共线，且Q为AB1的中点， 点P为B1C1的中点，PQAC1. 在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC， BC平面ACC1A1， 又AC1平面ACC1A1，BCAC1. ACAA1，四边形ACC1A1为正方形，AC1A1C， 又A1C，BC平面A1BC，A1CBCC， AC1平面A1BC，而PQAC1， PQ平面A1BC.,解 由题意可知，CA，CB，CC1两两垂直， 以C为原点，分别以CA，CB，
10、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Cxyz， 连接B1Q，PB，设Q(x，y，z)， B(0,2,0)，A1(2,0,2)，P(0,1,2)，B1(0,2,2)，,点Q在线段A1B上运动， 平面A1PQ的法向量即为平面A1PB的法向量，,设平面A1PB的法向量为n1(x，y，z)，,令y2，得n1(1,2,1)， 设平面B1PQ的法向量为n2(x，y，z)，,取n2(1，0，)，,2,PART TWO,押题预测,真题体验,(2019全国，理，18)如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点. (1
11、)证明：MN平面C1DE；,真题体验,证明 连接B1C，ME. 因为M，E分别为BB1，BC的中点，,由题设知A1B1DC且A1B1DC，可得B1CA1D且B1CA1D， 故MEND且MEND， 因此四边形MNDE为平行四边形，MNED. 又MN平面C1DE，ED平面C1DE，所以MN平面C1DE.,(2)求二面角AMA1N的正弦值.,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，,押题预测,如图1，在梯形ABCD中，ABCD，过A，B分别作AECD，BFCD，垂足分别E，F，ABAE2，CD5，已知DE1，将梯形ABCD沿AE，BF同侧折起，得空间几何体ADEBCF，如图2. (1)若AFBD，证明
12、：DE平面ABFE；,证明 由已知得四边形ABFE是正方形，且边长为2，在图2中，AFBE， 由已知得AFBD，BEBDB，BE，BD平面BDE， AF平面BDE， 又DE平面BDE，AFDE， 又AEDE，AEAFA，AE，AF平面ABFE， DE平面ABFE.,解 在图2中，AEDE，AEEF，DEEFE，DE，EF平面DEFC， 即AE平面DEFC， 在梯形DEFC中，过点D作DMEF交CF于点M，连接CE， 由题意得DM2，CM1， 由勾股定理可得DCCF，,过E作EGEF交DC于点G， 可知GE，EA，EF两两垂直，,设平面ACD的一个法向量为n(x，y，z)，,设CP与平面ACD所成的角为，,本课结束,
