1、2020 年高考模拟新高考数学模拟试卷（年高考模拟新高考数学模拟试卷（3 月份）月份） 一、选择题 1已知集合A，B，则AB（ ） A2，2 B（1，+） C（1，2 D（，1（2，+） 2设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则a的值为（ ） A3 B3 C1 D1 3”a2”是”x0，ax+”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4甲乙两名学生，六次数学测验成绩（百分制）如图所示 甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数； 甲同学的平均分比乙同学高； 甲同学的平均分比乙同学低； 甲同学成绩方差小于乙同学成绩的方差 上面说法正确的是（ ） A B C D
2、 5刘徽（约公元 225 年295 年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人 之一他在割圆术中提出的，”割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆 周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个 圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形（如图所示），当n变得很大时，这n个等腰 直角三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到 sin2的近似值为 （ ） A B C D 6 已知函数的一个零点在区间 （1， 2） 内， 则实数a的取值范围是 （ ） A（1，3） B（1，2） C（0，3） D（0，2） 7 已知圆M：x 2+y22ay0
3、 （a0） 截直线 x+y0 所得线段的长度是 2， 则圆M与圆N： （x1） 2+（y1）21 的位置关系是（ ） A内切 B相交 C外切 D相离 8九章算术中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧 棱垂直于底面的四棱锥 如图， 在堑堵ABCA1B1C1中，ACBC，AA12，当阳马BACC1A1 体积为时，堑堵ABCA1B1C1的外接球的体积的最小值为（ ） A B C D 二、多项选择题 9下列函数中，既是偶函数，又在（0，+）上单调递增的是（ ） A Bye x+ex Cyx 2+1 Dycosx+3 10已知的展开式中第 5 项与第七项的二项数系数相等，且展开
4、式的 各项系数之和为 1024，则下列说法正确的是（ ） A展开式中奇数项的二项式系数和为 256 B展开式中第 6 项的系数最大 C展开式中存在常数项 D展开式中含x 15项的系数为 45 11 在ABC中，D在线段AB上， 且AD5，BD3， 若CB2CD， cosCDB， 则 （ ） A BABC的面积为 8 CABC的周长为 DABC为钝角三角形 12如图，在四棱锥PABCD中，PC底面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，ABCD，AB AD，AB2AD2CD2，F是AB的中点，E是PB上的一点，则下列说法正确的是（ ） A若PB2PE，则EF平面PAC B若PB2PE，则四棱锥PAB
5、CD的体积是三棱锥EACB体积的 6 倍 C三棱锥PADC中有且只有三个面是直角三角形 D平面BCP平面ACE 三、填空题 13已知向量 （2，m）， （1，2），且 ，则实数m的值是 14已知数列an的前n项和公式为Sn2n 2n+1，则数列a n的通项公式为 15已知双曲线的左、右焦点和点P（2a，b）为某个等腰三 角形的三个顶点，则双曲线C的离心率为 16设定义域为 R 的函数f（x）满足f（x）f（x），则不等式e x1f（x）f（2x1） 的解为 四、解答题 17已知函数在 R 上的最大值为 3 （1）求m的值及函数f（x）的单调递增区间 （2）若锐角ABC中角A、B，C所对的边分别
6、为a、b、c，且f（A）0，求的取值范 围 18已知数列an的前n项和，bn是等差数列，且anbn+bn+1 （1）求数列an，bn的通项公式； （2）令，求数列cn的前n项和Tn 19如图，已知四棱锥PABCD的底面是等腰梯形，ADBC，AD2，BC4，ABC60， PAD为等边三角形，且点P在底面ABCD上的射影为AD的中点G，点E在线段BC上， 且CE：EB1：3 （1）求证：DE平面PAD （2）求二面角APCD的余弦值 20某单位准备购买三台设备，型号分别为A，B，C已知这三台设备均使用同一种易耗品， 提供设备的商家规定：可以在购买设备的同时购买该易耗品，每件易耗品的价格为 100
7、元，也可以在设备使用过程中，随时单独购买易耗品，每件易耗品的价格为 200 元为 了决策在购买设备时应週肘购买的易耗品的件数该单仿调查了这三种型号的设备各 60 台，调査每台设备在一个月中使用的易耗品的件数，并得到统计表如表所示 每台设备一个月中使用的易耗品的件数 6 7 8 型号 4 30 30 0 频数 型号B 20 30 10 型号C 0 45 15 将调查的每种型号的设备的频率视为概率，各台设备在易耗品的使用上相互独立 （1）求该单位一个月中A，B，C三台设备使用的易耗品总数超过 21 件的概率； （2）以该单位一个月购买易耗品所需总费用的期望值为决策依据，该单位在购买设备时 应同时购
8、买 20 件还是 21 件易耗品？ 21已知直线x+y1 过椭圆的右焦点，且交椭圆于A，B两点，线 段AB的中点是， （1）求椭圆的方程； （2）过原点的直线l与线段AB相交（不含端点）且交椭圆于C，D两点，求四边形ACBD 面积的最大值 22已知函数，a，bR （1）当b1 时，讨论函数f（x）的零点个数； （2）若f（x）在（0，+）上单调递增，且ce 2a+b，求 c的最大值 参考答案 一、单项选择题 1已知集合A，B，则AB（ ） A2，2 B（1，+） C（1，2 D（，1（2，+） 解：集合Ax|2x2， Bx|x1， ABx|1x2（1，2 故选：C 2设i是虚数单位，若复数是纯
9、虚数，则a的值为（ ） A3 B3 C1 D1 解：a+为纯虚数， a+10，即a1 故选：D 3”a2”是”x0，ax+”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解：x0，ax+， 由yx+，（x0）， 故a2， a2 是a2 的充分不必要条件， 故选：A 4甲乙两名学生，六次数学测验成绩（百分制）如图所示 甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数； 甲同学的平均分比乙同学高； 甲同学的平均分比乙同学低； 甲同学成绩方差小于乙同学成绩的方差 上面说法正确的是（ ） A B C D 解：根据茎叶图数据知， 甲同学成绩的中位数是 81，乙同学成绩的中位数
10、是 87.5， 甲的中位数小于乙的中位数； 甲同学的平均分是81， 乙同学的平均分是85， 乙的平均分高； 甲同学的平均分是81 乙同学的平均分是85， 甲比乙同学低； 甲同学成绩数据比较集中，方差小，乙同学成绩数据比较分散，方差大 正确的说法是 故选：A 5刘徽（约公元 225 年295 年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人 之一他在割圆术中提出的，”割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆 周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个 圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形（如图所示），当n变得很大时，这n个等腰 直角三角形的面积之和
11、近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到 sin2的近似值为 （ ） A B C D 解：将一个单位圆分成 180 个扇形， 则每个扇形的圆心角度数均为 2， 这 180 个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似于单位圆的面积， 18090sin2， sin2 故选：A 6 已知函数的一个零点在区间 （1， 2） 内， 则实数a的取值范围是 （ ） A（1，3） B（1，2） C（0，3） D（0，2） 解：由题意可得f（1）f（2）（0a）（3a）0，解得 0a3， 故实数a的取值范围是（0，3）， 故选：C 7 已知圆M：x 2+y22ay0 （a0） 截直线 x+y0 所得线段的长度是 2，
12、 则圆M与圆N： （x1） 2+（y1）21 的位置关系是（ ） A内切 B相交 C外切 D相离 解：圆的标准方程为M：x 2+（ya）2a2 （a0）， 则圆心为（0，a），半径Ra， 圆心到直线x+y0 的距离d， 圆M：x 2+y22ay0（a0）截直线 x+y0 所得线段的长度是 2， 2222， 即，即a 24，a2， 则圆心为M（0，2），半径R2， 圆N：（x1） 2+（y1）21 的圆心为 N（1，1），半径r1， 则MN， R+r3，Rr1， RrMNR+r， 即两个圆相交 故选：B 8九章算术中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧 棱垂直于底面的四
13、棱锥 如图， 在堑堵ABCA1B1C1中，ACBC，AA12，当阳马BACC1A1 体积为时，堑堵ABCA1B1C1的外接球的体积的最小值为（ ） A B C D 解：设ACx，BCy，则阳马BA1ACC1体积V， xy2， 把堑堵ABCA1B1C1补形为长方体， 则长方体的对角线长L， 当且仅当xy时上式取“” 堑堵ABCA1B1C1的外接球的体积的最小值为 故选：B 二、多项选择题 9下列函数中，既是偶函数，又在（0，+）上单调递增的是（ ） A Bye x+ex Cyx 2+1 Dycosx+3 解：A不是偶函数，f（x）f（x）， B，f（x）e x+exf（x）偶函数，且（0，+）上
14、单调递增， C，f（x）（x） 2+1f（x），偶函数，（0，+）上单调递增， D，f（x）cos（x）+3f（x），偶函数，因为具有周期性，不在（0，+）上单 调递增， 故选：BC 10已知的展开式中第 5 项与第七项的二项数系数相等，且展开式的 各项系数之和为 1024，则下列说法正确的是（ ） A展开式中奇数项的二项式系数和为 256 B展开式中第 6 项的系数最大 C展开式中存在常数项 D展开式中含x 15项的系数为 45 解：因为的展开式中第 5 项与第七项的二项数系数相等； n10； 展开式的各项系数之和为 1024， （a+1） 101024； a0； a1 原二项式为： （x
15、2+ ） 10；其展开式的通项公式为：T r+1（x 2）10r x； 展开式中奇数项的二项式系数和为：1024521；故A错； 因为本题中二项式系数和项的系数一样，且展开式有 11 项，故展开式中第 6 项的系数最 大，B对； 令 20r0r8，即展开式中存在常数项，C对； 令 20r15r2，45，D对； 故选：BCD 11 在ABC中，D在线段AB上， 且AD5，BD3， 若CB2CD， cosCDB， 则 （ ） A BABC的面积为 8 CABC的周长为 DABC为钝角三角形 解：由 cosCDB可得 sinCDB，故A错误； 设CDx，CB2x， 在CBD中由余弦定理可得， 整理可
16、得， 解可得，x，即CD，CB2， 所以SABCSBCD+SADC8，故B正确； 由余弦定理可知，cosB， 即，解可得，AC2，故周长AB+AC+BC8+2 8+4，故C正确； 由余弦定理可得，cosC0， 故C为钝角，D正确， 故选：BCD 12如图，在四棱锥PABCD中，PC底面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，ABCD，AB AD，AB2AD2CD2，F是AB的中点，E是PB上的一点，则下列说法正确的是（ ） A若PB2PE，则EF平面PAC B若PB2PE，则四棱锥PABCD的体积是三棱锥EACB体积的 6 倍 C三棱锥PADC中有且只有三个面是直角三角形 D平面BCP平面ACE
17、解：在A中，F是AB的中点，E是PB上的一点， 若PB2PE，则EFPA， 又EF平面PAC，PA平面PAC，EF平面PAC，故A正确； 在B中，若PB2PE， 则四棱锥PABCD的体积V， 三棱锥EACB体积为：VPACB， 四棱锥PABCD的体积是三棱锥EACB体积的 3 倍，故B错误； 在C中，三棱锥PADC中，ADC，PCD，PCA，是直角三角形，故C正确； 在D中，AC 2+BC21+1+1+14AB2，ACAB， PC平面ABCD，BCPC， PCACC，BC平面PAC， BC平面BCP，平面BCP平面ACE，故D正确 故选：ACD 三、填空题 13已知向量 （2，m）， （1，2
18、），且 ，则实数m的值是 1 解：； ； m1 故答案为：1 14已知数列an的前n项和公式为Sn2n 2n+1，则数列a n的通项公式为 an 解：由Sn2n 2n+1，可得：n2 时，a nSnSn12n 2n+12（n1）2（n1） +14n3， n1 时，a1S121+12 则数列an的通项公式为an 故答案为：an 15已知双曲线的左、右焦点和点P（2a，b）为某个等腰三 角形的三个顶点，则双曲线C的离心率为 解：由题意可得左右焦点分别为：F1（c，0），F2（c，0）， 因为P在y轴的右侧，所以相等的两边为PF1F1F2或PF2F1F2 由题意可得： （2a+c） 2+b24c2整
19、理可得：2c24ac3a20，即 2e24e30，e1， 解得e， 或（2ac） 2+b24c2可得：2e2+4e30，e1，解得 e1，不符合双曲线 的条件； 综上所述，离心率e， 故答案为： 16设定义域为 R 的函数f（x）满足f（x）f（x），则不等式e x1f（x）f（2x1） 的解为 （1，+） 解：令g（x），则g（x）0， 故g（x）在R递增， 不等式e x1f（x）f（2x1）， 即， 故g（x）g（2x1）， 故x2x1，解得：x1， 故答案为：（1，+） 四、解答题 17已知函数在 R 上的最大值为 3 （1）求m的值及函数f（x）的单调递增区间 （2）若锐角ABC中角A
20、、B，C所对的边分别为a、b、c，且f（A）0，求的取值范 围 解：（1） ， 由已知 2+m3，m1， 因此， 令，得， 因此函数f（x）的单调递增区间为 （2）由已知， 由得， 因此， ， 为锐角三角形ABC，解得， 因此，那么， 求的取值范围为 18已知数列an的前n项和，bn是等差数列，且anbn+bn+1 （1）求数列an，bn的通项公式； （2）令，求数列cn的前n项和Tn 解：（1）由题意知当2 时，anSnSn16n+5， 当n1 时，a1S111，所以an6n+5 设数列bn的公差为d， 由，即，可解得b14，d3， 所以bn3n+1 （2）由（1）知 cn3（n+1）2 n
21、+1， 所以Tn322 2+323+424+525+（n+1）2n+1， 2Tn322 3+324+425+（n+1）2n+2， 两式作差，得Tn322 2+23+24+2n+1（n+1）2n+2 34+（n+1）2 n+23n2n+2， 所以Tn3n2 n+2 19如图，已知四棱锥PABCD的底面是等腰梯形，ADBC，AD2，BC4，ABC60， PAD为等边三角形，且点P在底面ABCD上的射影为AD的中点G，点E在线段BC上， 且CE：EB1：3 （1）求证：DE平面PAD （2）求二面角APCD的余弦值 【解答】（1）证明：等腰梯形ABCD中，点E在线段BC上，且CE：EB1：3， 点E
22、为BC上靠近C点的四等分点 由平面几何知识可得DEAD点P在底面ABCD上的射影为AD的中点G，连接PG， PG平面ABCDDE平面ABCD，PGDE 又ADPGG，AD平面PAD，PG平面PADDE平面PAD； （2）解：取BC的中点F，连接GF，以G为原点，GA所在直线为x轴， GF所在直线为y轴，GP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图 由（1）易知，DECB，CE1 又ABCDCB60，AD2，PAD为等边三角形， 则G（0，0，0），A（1，0，0），D（1，0，0）， ， 设平面APC的法向量为 （x1，y1，z1）， 则，即， 令，则y13，z11， 设平面DPC的法向量为
23、（x2，y2，z2）， 则，即 令，则y21，z21， 设平面APC与平面DPC的夹角为 ，则， 二面角APCD的余弦值为 20某单位准备购买三台设备，型号分别为A，B，C已知这三台设备均使用同一种易耗品， 提供设备的商家规定：可以在购买设备的同时购买该易耗品，每件易耗品的价格为 100 元，也可以在设备使用过程中，随时单独购买易耗品，每件易耗品的价格为 200 元为 了决策在购买设备时应週肘购买的易耗品的件数该单仿调查了这三种型号的设备各 60 台，调査每台设备在一个月中使用的易耗品的件数，并得到统计表如表所示 每台设备一个月中使用的易耗品的件数 6 7 8 型号 4 30 30 0 频数
24、型号B 20 30 10 型号C 0 45 15 将调查的每种型号的设备的频率视为概率，各台设备在易耗品的使用上相互独立 （1）求该单位一个月中A，B，C三台设备使用的易耗品总数超过 21 件的概率； （2）以该单位一个月购买易耗品所需总费用的期望值为决策依据，该单位在购买设备时 应同时购买 20 件还是 21 件易耗品？ 解：（1）由题中的表格可知 A型号的设备一个月使用易耗品的件数为 6 和 7 的频率均为， B型号的设备一个月使用易耗品的件数为 6， 7， 8 的频率均为， C型号的设备一个月使用易耗品的件数为 7 和 8 的频率均为， 设该单位一个月中A，B，C三台设备使用易耗品的件数
25、分别为x，y，z， 则， ， 设该单位三台设备一个月中使用易耗品的件数总数为X， 则P（X21）P（X22）+P（X23）， 而P（X22）P（x6，y8，z8）+P（x7，y7，z8）+P（x7，y8，z7） ， ， 故， 即该单位一个月中A，B，C三台设备使用的易耗品总数超过 21 件的概率为； （2）以题意知，X所有可能的取值为 19，20，21，22，23， ， P（X20）P（x6，y6，z8）+P（x6，y7，z7）+P（x7，y6，z7） ， P（X21）P（x6，y7，z8）+P（x6，y8，z7）+P（x7，y6，z8） +P（x7，y7，z7）， 由（1）知， 若该单位在肋
26、买设备的同时购买了 20 件易耗品， 设该单位一个月中购买易耗品所需的总 费用为Y1元，则Y1的所有可能取值为 2000，2200，2400，2600， ， ， ， ， ， 若该单位在肋买设备的同时购买了 21 件易耗品， 设该单位一个月中购买易耗品所需的总 费用为Y2元，则Y2的所有可能取值为 2100，2300，2500， ， ， ， ， 故EY2EY1，所以该单位在购买设备时应该购买 21 件易耗品 21已知直线x+y1 过椭圆的右焦点，且交椭圆于A，B两点，线 段AB的中点是， （1）求椭圆的方程； （2）过原点的直线l与线段AB相交（不含端点）且交椭圆于C，D两点，求四边形ACBD
27、面积的最大值 解：（1）直线x+y1 与x轴交于点（1，0），所以椭圆右焦点的坐标为（1，0），故c 1 设A（x1，y1），B（x2，y2），则， 又，所以， 则，得a 22b2， 又a 2b2+c2，c1， 所以a 22，b21， 因此椭圆的方程为 （2）联立方程，得，解得或 不妨令，易知直线l的斜率存在， 设直线l：ykx，代入，得（2k 2+1）x22， 则或， 设C（x3，y3），D（x4，y4），则 则，到直线ykx 的距离分别是， 由于直线l与线段AB（不含端点）相交，所以，即， 所以， 四边形ACBD的面积， 令k+1t，则，2k 2+1 2t 2 4t+3， ， 当，即时，
28、符合题意，因此四边形ACBD面积的最大值为 22已知函数，a，bR （1）当b1 时，讨论函数f（x）的零点个数； （2）若f（x）在（0，+）上单调递增，且ce 2a+b，求 c的最大值 解：（1）当b1 时，定义域为（0，+）， 由f（x）0 可得， 令，则， 由g（x）0，得 0xe，由g（x）0，得xe， 所以g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+）上单调递减， 则g（x）的最大值为， 且当xe时，当 0xe时， 由此作出函数g（x）的大致图象，如图所示 由图可知，当时，直线和函数g（x）的图象有两个交点，即函数f（x） 有两个零点； 当或，即或a0 时，直线和函数g（x）的图象有
29、一个交点，即函 数f（x）有一个零点； 当即时，直线与函数g（x）的象没有交点，即函数f（x）无零点 （2）f（x）在（0，+）上单调递增，即f（x）ax+blnx0 在（0，+）上恒成 立 设h（x）ax+blnx，则 若a0，则h（x）0，h（x）在（0，+）上单调递减，显然f（x）blnx0 在（0，+）上不恒成立， 若a0，则h（x）0，h（x）在（0，+）上单调递减，当时， ax+b0，lnx0，故h（x）0，f（x）单调递减，不符合题意 若a0，当时，h（x）0，h（x）单调递减， 当时，h（x）0，h（x）单调递增， 所以， 由h（x）min0，得 2a+b2a1lna， 设m（x）2x1lnx，x0，则， 当时，m（x）0，m（x）单调递减， 当时，m（x）0，m（x）单调递增， 所以，所以 2a+bln2， 又ce 2a+b，所以 c2，即c的最大值为 2
