1、2020 年武汉市华师一附中关谷分校中考数学模拟试卷（年武汉市华师一附中关谷分校中考数学模拟试卷（3 月份）月份） 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1 九章算术中注有“今两算得失相反，要令正负以名之” ，意思是：今有两数若其意义 相反， 则分别叫做正数与负数 如果水位上升 2 米记为+2 米， 则水位下降 3 米记为 （ ） A+3 米 B3 米 C+2 米 D2 米 2要使分式有意义，则 x 的取值范围是（ ） Ax1 Bx1 Cx1 Dx1 3同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面向上的概率为（ ） A B C D 4下列四个图案中，是轴对称图形的是（ ） A B C
2、D 5如图几何体的俯视图是（ ） A B C D 6如图，已知抛物线 yx2+2x3，把此抛物线沿 y 轴向上平移，平移后的抛物线和原抛物 线与经过点（2，0） ， （2，0）且平行于 y 轴的两条直线所围成的阴影部分的面积为 s， 平移的距离为 m，则下列图象中，能表示 s 与 m 的函数关系的图象大致是（ ） A B C D 7某个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是 09 这十个数字中的一个，只有当三 个数字与所设定的密码及顺序完全相同时，才能将锁打开如果仅忘记了锁设密码的最 后那个数字，那么一次就能打开该密码的概率是（ ） A B C D 8如图，直线 ykx（k0）与双曲线 y交
3、于 A，B 两点，BCx 轴于 C，连接 AC 交 y 轴于 D，下列结论：A、B 关于原点对称；ABC 的面积为定值；D 是 AC 的中 点；SAOD其中正确结论的个数为（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 9如图，半径为 4 的O 中，CD 为直径，弦 ABCD 且过半径 OD 的中点，点 E 为O 上一动点，CFAE 于点 F当点 E 从点 B 出发顺时针运动到点 D 时，点 F 所经过的路 径长为（ ） A B C D 10将正整数按如图所示的位置顺序排列，根据图中的排列规律，2020 应在（ ） AA 位 BB 位 CC 位 DD 位 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小
4、题） 11计算的结果是 12某班体育委员统计了全班 45 名同学一周的体育锻炼时间（单位：小时） ，并绘制了如图 的折线统计图，这组数据的中位数是 ，极差是 ，平均数是 13计算： 14E 为ABCD 边 AD 上一点，将ABE 沿 BE 翻折得到FBE，点 F 在 BD 上，且 EF DF若C52，那么ABE 15已知 a26a50 和 b26b50 中，ab，则的值是 16如图，O 的半径为 2，弦 AB 的长为 2，点 C 是优弧 AB 上的一动点，BDBC 交 直线 AC 于点 D，当点 C 从ABC 面积最大时运动到 BC 最长时，点 D 所经过的路径长 为 三解答题（共三解答题（共
5、 8 小题）小题） 17计算：x2 （x3）4 18如图，点 B 在 DC 上，BE 平分ABD，ABEC，求证：BEAC 19为弘扬中华传统文化，了解学生整体数学阅读能力，某校组次阅读理解大赛的初赛，从 中抽取部分学生的成绩进行统计分析，根据测试成绩绘制出了频数分布表和频数分布直 方图 分组/分 频数 频率 A 组 50x60 6 0.12 B 组 60x70 a 0.28 C 组 70x80 16 0.32 D 组 80x90 10 0.20 E 组 90x100 4 0.08 （1）表中的 a ；抽取部分学生的成绩的中位数在 组； （2）把上面的频数分布直方图补充完整； （3）如果成绩达
6、到 90 及 90 分以上者为优秀，可推荐参加决赛，那么请你估计该校进入 决赛的学生大约有多少人 20如图，在下列 77 的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，例如 A（1，2） 、 B（3，3）都是格点 （1）将线段 AB 向下平移 2 个单位长度，得到线段 CD，请画出四边形 ABDC，并写出该 四边形的面积； （2）要求在图中仅用无刻度的直尺作图：作出正方形 ABEF，并写出点 E，F 的坐标； （3） 记平行四边形ABDC的面积为S1， 平行四边形CDEF的面积为S2， 则 21已知：如图，在ABC 中，ABAC，AE 是角平分线，BM 平分ABC 交 AE 于点 M， 经过 B，
7、M 两点的O 交 BC 于点 G，交 AB 于点 F，FB 恰为O 的直径 （1）求证：AE 与O 相切； （2）当 BC4，cosC时，求O 的半径 22某客商准备采购一批特色商品，经调查，用 16000 元采购 A 型商品的件数是用 7500 元 采购 B 型商品的件数的 2 倍，一件 A 型商品的进价比一件 B 型商品的进价多 10 元 （1）求一件 A，B 型商品的进价分别为多少元？ （2）若该客商购进 A，B 型商品共 250 件进行试销，其中 A 型品的件数不大于 B 型商品 的件数，且不小于 80 件，已知 A 型商品的售价为 240 元/件，B 型商品的售价为 220 元/ 件
8、，且全部售出，设购进 A 型商品 m 件，求该客商销售这批商品的利润 y 与 m 之间的函 数关系式，并写出 m 的取值范围； （3）在（2）的条件下，客商决定在试销活动中每售出一件 A 型商品，就从一件 A 型商 品的利润中捐献慈善资金 a 元（0a80） ，若该客商售完所有商品并捐献资金后获得的 最大收益是 17100 元，求的 a 值 23如图 1，在ABC 中，ACnAB，CAB，点 E，F 分别在 AB，AC 上且 EFBC， 把AEF 绕点 A 顺时针旋转到如图 2 的位置连接 CF，BE （1）求证：ACFABE； （2）若点 M，N 分别是 EF，BC 的中点，当 90时，求证
9、：BE2+CF24MN2； （3）如图 3，点 M，N 分别在 EF，BC 上且，若 n，135，BE ，直接写出 MN 的长 24已知抛物线 yax22ax+b 与 x 轴交于点 A（3，0） ，与 y 轴相交于点 B（0，） （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，P 为抛物线上的点，且在第二象限，若POA 的面积等于POB 的面积的 2 倍，求点 P 的坐标； （3）如图 2，C 为抛物线的顶点，在 y 轴上是否存在点 D 使DAC 为直角三角形？若存 在，求出所有符合条件的 D 点的坐标；若不存在，请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题
10、）小题） 1 九章算术中注有“今两算得失相反，要令正负以名之” ，意思是：今有两数若其意义 相反， 则分别叫做正数与负数 如果水位上升 2 米记为+2 米， 则水位下降 3 米记为 （ ） A+3 米 B3 米 C+2 米 D2 米 【分析】根据题意，可以知道负数表示下降，问题得以解决 【解答】解：水位上升 2 米记为+2 米， 3 米表示水位下降 3 米， 故选：B 2要使分式有意义，则 x 的取值范围是（ ） Ax1 Bx1 Cx1 Dx1 【分析】分式有意义的条件是分母不等于零 【解答】解：分式有意义， x10 解得；x1 故选：B 3同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面向上的概
11、率为（ ） A B C D 【分析】画树状图展示所有 4 种等可能的结果数，再找出两枚硬币全部正面向上的结果 数，然后根据概率公式求解 【解答】解：画树状图为： 共有 4 种等可能的结果数，其中两枚硬币全部正面向上的结果数为 1， 所以两枚硬币全部正面向上的概率 故答案为， 故选：A 4下列四个图案中，是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形的概念求解如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重 合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴 【解答】解：A、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折 叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的
12、定义不符合题意； B、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两 旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义不符合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两 旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义不符合题意 故选：C 5如图几何体的俯视图是（ ） A B C D 【分析】找到从几何体的上面看所得到图形即可 【解答】解：从上面看得到图形为， 故选：C 6如图，已知抛物线 yx2+2x3，把此抛物线沿 y 轴向上平移，平移后的抛物线和原抛物 线与经过点（2，0） ， （2，0）且平行于 y
13、 轴的两条直线所围成的阴影部分的面积为 s， 平移的距离为 m，则下列图象中，能表示 s 与 m 的函数关系的图象大致是（ ） A B C D 【分析】根据图形平移后形状不变的性质，可把不规则阴影部分的面积转化为规则图形 （矩形）即可判断 【解答】解：如图，我们把抛物线沿 y 轴向上平移，平移后的抛物线和原抛物线及直线 x 2， x2 所围成的阴影部分的面积 S 可以看做和矩形 BBCC 等积， 于是可以看出 S 与 m 是正比例函数关系 故选：B 7某个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是 09 这十个数字中的一个，只有当三 个数字与所设定的密码及顺序完全相同时，才能将锁打开如果仅忘记了
14、锁设密码的最 后那个数字，那么一次就能打开该密码的概率是（ ） A B C D 【分析】 最后一个数字可能是 09 中任一个， 总共有十种情况， 其中开锁只有一种情况， 利用概率公式进行计算即可 【解答】解：共有 10 个数字， 一共有 10 种等可能的选择， 一次能打开密码的只有 1 种情况， 一次能打开该密码的概率为 故选：A 8如图，直线 ykx（k0）与双曲线 y交于 A，B 两点，BCx 轴于 C，连接 AC 交 y 轴于 D，下列结论：A、B 关于原点对称；ABC 的面积为定值；D 是 AC 的中 点；SAOD其中正确结论的个数为（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分
15、析】根据反比例函数的对称性、函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐 标轴作垂线所围成的直角三角形面积 S 的关系即 S|k|及三角形中位线的判定作答 【解答】解：反比例函数与正比例函数若有交点，一定是两个，且关于原点对称，所 以正确； 根据 A、B 关于原点对称，SABC为即 A 点横纵坐标的乘积，为定值 1，所以正确； 因为 AOBO，ODBC，所以 OD 为ABC 的中位线，即 D 是 AC 中点，所以正确； 在ADO 中，因为 AD 和 y 轴并不垂直，所以面积不等于 k 的一半，即不会等于， 所以错误 因此正确的是：， 故选：C 9如图，半径为 4 的O 中，CD 为直径，弦 A
16、BCD 且过半径 OD 的中点，点 E 为O 上一动点，CFAE 于点 F当点 E 从点 B 出发顺时针运动到点 D 时，点 F 所经过的路 径长为（ ） A B C D 【分析】连接 AC，AO，由 ABCD，利用垂径定理得到 G 为 AB 的中点，由中点的定义 确定出 OG 的长，在直角三角形 AOG 中，由 AO 与 OG 的长，利用勾股定理求出 AG 的 长，进而确定出 AB 的长，由 CO+GO 求出 CG 的长，在直角三角形 AGC 中，利用勾股 定理求出 AC 的长，由 CF 垂直于 AE，得到三角形 ACF 始终为直角三角形，点 F 的运动 轨迹为以 AC 为直径的半圆，如图中
17、红线所示，当 E 位于点 B 时，CGAE，此时 F 与 G 重合；当 E 位于 D 时，CAAE，此时 F 与 A 重合，可得出当点 E 从点 B 出发顺时针运 动到点 D 时，点 F 所经过的路径长，在直角三角形 ACG 中，利用锐角三角函数定义 求出ACG 的度数，进而确定出所对圆心角的度数，再由 AC 的长求出半径，利用弧 长公式即可求出的长，即可求出点 F 所经过的路径长 【解答】解：连接 AC，AO， ABCD， G 为 AB 的中点，即 AGBGAB， O 的半径为 4，弦 ABCD 且过半径 OD 的中点， OG2， 在 RtAOG 中，根据勾股定理得：AG2， 又CGCO+G
18、O4+26， 在 RtAGC 中，根据勾股定理得：AC4， CFAE， ACF 始终是直角三角形，点 F 的运动轨迹为以 AC 为直径的半圆， 当 E 位于点 B 时，CGAE，此时 F 与 G 重合；当 E 位于 D 时，CAAE，此时 F 与 A 重合， 当点 E 从点 B 出发顺时针运动到点 D 时，点 F 所经过的路径长， 在 RtACG 中，tanACG， ACG30， 所对圆心角的度数为 60， 直径 AC4， 的长为， 则当点 E 从点 B 出发顺时针运动到点 D 时，点 F 所经过的路径长为 故选：C 10将正整数按如图所示的位置顺序排列，根据图中的排列规律，2020 应在（
19、） AA 位 BB 位 CC 位 DD 位 【分析】观察数的位置，发现规律：被 4 除余数是 1 的排在 D 位，被 4 除余数是 2 的排 在 A 位，被 4 除余数是 3 的排在 B 位，被 4 正出的排在 C 位利用规律即可求解 【解答】解：被 4 除余数是 1 的排在 D 位，被 4 除余数是 2 的排在 A 位，被 4 除余数是 3 的排在 B 位，被 4 整除的排在 C 位 20204505， 所以 2020 排在 C 位 故选：C 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 11计算的结果是 2 【分析】根据算术平方根的定义把原式进行化简即可 【解答】解：224， 2 故答案为：
20、2 12某班体育委员统计了全班 45 名同学一周的体育锻炼时间（单位：小时） ，并绘制了如图 的折线统计图，这组数据的中位数是 9 ，极差是 4 ，平均数是 9 【分析】此题根据中位数，极差，平均数的定义解答 【解答】 解：由图可知，把 45 个数据从小到大排列， 中位数是第 23 位数， 第 23 位是 9， 所以中位数是 9 这组数据中最大值是 11，最小值是 7，所以极差是 1174 平均数是（75+88+918+1010+114）459，所以平均数是 9 故答案为 9，4，9 13计算： 【分析】先通分，再根据同分母的分式相加减法则进行计算，再求出即可 【解答】解：原式 ， 故答案为：
21、 14E 为ABCD 边 AD 上一点，将ABE 沿 BE 翻折得到FBE，点 F 在 BD 上，且 EF DF若C52，那么ABE 51 【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出BFEA52，FBEABE， 由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出EDFDEFBFE26， 由三角 形内角和定理求出ABD102，即可得出ABE 的度数 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， AC52， 由折叠的性质得：BFEA52，FBEABE， EFDF， EDFDEFBFE26， ABD180AEDF102， ABEABD51； 故答案为：51 15已知 a26a50 和 b26b50 中，ab，
22、则的值是 【分析】由 a26a50 和 b26b50 中，ab，可知 a、b 为方程 x26x50 的 两个根，结合根与系数的关系可得出 a+b6，ab5，将变化成只含 a+b 与 ab 的算式，代入数据即可得出结论 【解答】解：由已知可得：a、b 为方程 x26x50 的两个根， a+b6，ab5 ， 故答案为： 16如图，O 的半径为 2，弦 AB 的长为 2，点 C 是优弧 AB 上的一动点，BDBC 交 直线 AC 于点 D，当点 C 从ABC 面积最大时运动到 BC 最长时，点 D 所经过的路径长 为 【分析】如图，以 AB 为边向上作等边三角形ABF，连接 OA，OB，OF，DF，
23、OF 交 AB 于 H说明点 D 的运动轨迹是以 F 为圆心，FA 为半径的圆，再利用弧长公式求解即 可 【解答】解：如图，以 AB 为边向上作等边三角形ABF，连接 OA，OB，OF，DF，OF 交 AB 于 H FAFB，OAOB， OFAB，AHBH， sinBOH， BOHAOH60， AOB120 CAOB60， DBBC， DBC90， CDB30， AFB60， ADBAFB， 点 D 的运动轨迹是以 F 为圆心，FA 为半径的圆， 当点 C 从ABC 面积最大时运动到 BC 最长时，BC 绕点 B 顺时针旋转了 30， BD 绕点 B 也旋转了 30， 点 D 的轨迹所对的圆心
24、角为 60， 运动路径的长， 故答案为 三解答题（共三解答题（共 8 小题）小题） 17计算：x2 （x3）4 【分析】原式利用幂的乘方及积的乘方运算法则计算，再利用同底数幂的乘方法则计算 即可得到结果 【解答】解：原式x2x12x14 18如图，点 B 在 DC 上，BE 平分ABD，ABEC，求证：BEAC 【分析】欲证 BEAC，在图中发现 BE、AC 被直线 AB 所截，且已知 BE 平分ABD， ABEC，故可按同位角相等，两直线平行进行判断 【解答】解：BE 平分ABD， DBEABE； ABEC， DBEC， BEAC 19为弘扬中华传统文化，了解学生整体数学阅读能力，某校组次阅
25、读理解大赛的初赛，从 中抽取部分学生的成绩进行统计分析，根据测试成绩绘制出了频数分布表和频数分布直 方图 分组/分 频数 频率 A 组 50x60 6 0.12 B 组 60x70 a 0.28 C 组 70x80 16 0.32 D 组 80x90 10 0.20 E 组 90x100 4 0.08 （1）表中的 a 14 ；抽取部分学生的成绩的中位数在 C 组； （2）把上面的频数分布直方图补充完整； （3）如果成绩达到 90 及 90 分以上者为优秀，可推荐参加决赛，那么请你估计该校进入 决赛的学生大约有多少人 【分析】 （1）由 A 组频数及其频率可得总人数，总人数乘以 B 组频率可得
26、 a 的值，根据 中位数的定义可得答案； （2）根据以上所求数据可补全图形； （3）利用样本估计总体思想求解可得 【解答】解： （1）样本容量为 60.1250， a500.2814， 被调查的总人数为 50，其中位数为第 25、26 个数据的平均数， 而第 25、26 个数据均落在 C 组， 这组数据的中位数落在 C 组， 故答案为：14、C； （2）补全频数分布直方图如下： （3）估计该校进入决赛的学生大约有 100080（人） 20如图，在下列 77 的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，例如 A（1，2） 、 B（3，3）都是格点 （1）将线段 AB 向下平移 2 个单位长度，得到
27、线段 CD，请画出四边形 ABDC，并写出该 四边形的面积； （2）要求在图中仅用无刻度的直尺作图：作出正方形 ABEF，并写出点 E，F 的坐标； （3） 记平行四边形 ABDC 的面积为 S1， 平行四边形 CDEF 的面积为 S2， 则 【分析】 （1）直接利用平移的性质得出 C，D 点坐标进而得出答案； （2）直接利用正方形的性质得出 E，F 点的位置进而得出答案； （3）分别得出 S1和 S2的值，进而得出答案 【解答】解： （1）如图所示：四边形 ABDC 即为所求，该四边形的面积为：248； （2）如图所示：正方形 ABEF 即为所求，点 E，F 的坐标分别为： （4，1） ，
28、（0，2） ； （3）平行四边形 ABDC 的面积为 S18，平行四边形 CDEF 的面积为 S235 141214129， 故答案为： 21已知：如图，在ABC 中，ABAC，AE 是角平分线，BM 平分ABC 交 AE 于点 M， 经过 B，M 两点的O 交 BC 于点 G，交 AB 于点 F，FB 恰为O 的直径 （1）求证：AE 与O 相切； （2）当 BC4，cosC时，求O 的半径 【分析】 （1）连接 OM，证明 OMBE，再结合等腰三角形的性质说明 AEBE，进而证 明 OMAE； （2）结合已知求出 AB，再证明AOMABE，利用相似三角形的性质计算 【解答】 （1）证明：连
29、接 OM，则 OMOB 12 BM 平分ABC 13 23 OMBC AMOAEB 在ABC 中，ABAC，AE 是角平分线 AEBC AEB90 AMO90 OMAE 点 M 在圆 O 上， AE 与O 相切； （2）解：在ABC 中，ABAC，AE 是角平分线 BEBC，ABCC BC4，cosC BE2，cosABC 在ABE 中，AEB90 AB6 设O 的半径为 r，则 AO6r OMBC AOMABE 解得 O 的半径为 22某客商准备采购一批特色商品，经调查，用 16000 元采购 A 型商品的件数是用 7500 元 采购 B 型商品的件数的 2 倍，一件 A 型商品的进价比一件
30、 B 型商品的进价多 10 元 （1）求一件 A，B 型商品的进价分别为多少元？ （2）若该客商购进 A，B 型商品共 250 件进行试销，其中 A 型品的件数不大于 B 型商品 的件数，且不小于 80 件，已知 A 型商品的售价为 240 元/件，B 型商品的售价为 220 元/ 件，且全部售出，设购进 A 型商品 m 件，求该客商销售这批商品的利润 y 与 m 之间的函 数关系式，并写出 m 的取值范围； （3）在（2）的条件下，客商决定在试销活动中每售出一件 A 型商品，就从一件 A 型商 品的利润中捐献慈善资金 a 元（0a80） ，若该客商售完所有商品并捐献资金后获得的 最大收益是
31、17100 元，求的 a 值 【分析】 （1）设一件 B 型商品的进价为 x 元，则一件 A 型商品的进价为（x+10）元根 据 16000 元采购 A 型商品的件数是用 7500 元采购 B 型商品的件数的 2 倍， 列出方程即可 解决问题； （2）根据总利润两种商品的利润之和，列出式子即可解决问题； （3）设利润为 w 元则 w（80a）m+70（250m）（10a）m+17500，分三种 情形讨论即可解决问题，把 w17100 代入解答即可 【解答】解： （1）设一件 B 型商品的进价为 x 元，则一件 A 型商品的进价为（x+10）元 由题意：， 解得 x150， 经检验 x150 是
32、分式方程的解， 答：一件 B 型商品的进价为 150 元，则一件 A 型商品的进价为 160 元； （2）因为客商购进 A 型商品 m 件，所以客商购进 B 型商品（250m）件 由题意：y80m+70（250m）10m+17500， 80m250m， 80m125； （3）设利润为 w 元则 w（80a）m+70（250m）（10a）m+17500， 当 10a0 时，即 0a10 时，w 随 m 的增大而增大，所以 m125 时，最大利润 为（18750125a）元 当 10a0 时，最大利润为 17500 元 当 10a0 时，即 10a80 时，w 随 m 的增大而减小，所以 m80
33、时，最大利润 为（1830080a）元 18750125a17100 或 1830080a17100， 解得 a13.2（不合题意，舍去）或 15 答：若该客商售完所有商品并捐献资金后获得的最大收益是 17100 元，则 a 值为 15 23如图 1，在ABC 中，ACnAB，CAB，点 E，F 分别在 AB，AC 上且 EFBC， 把AEF 绕点 A 顺时针旋转到如图 2 的位置连接 CF，BE （1）求证：ACFABE； （2）若点 M，N 分别是 EF，BC 的中点，当 90时，求证：BE2+CF24MN2； （3）如图 3，点 M，N 分别在 EF，BC 上且，若 n，135，BE ，
34、直接写出 MN 的长 【分析】 （1）证明CAFBAE 即可解决问题 （2）延长 BE 交 CF 的延长线于 H，连接 BF，取 BF 的中点 J，连接 NJ，JM，设 AC 交 BH 于点 O首先证明 CFBE，利用三角形的中位线定理证明NJM 是直角三角形，利 用勾股定理即可解决问题 （3）如图 3 中，延长 BE 交 CF 的延长线于 H，连接 BF，在 FB 上取一点 J，使得 FJ： JB1：2，连接 NJ，JM证明MJN45，NJ，MJ，如图 4 中，在NJM 中，作 MKNJ 于 K，解直角三角形求出 MN 即可 【解答】 （1）证明：由如图 1 中可知，EFBC， ， ， 如图
35、 2 中， CABEAF， CAFBAE， ， CAFBAE， ACFABE （2）证明：延长 BE 交 CF 的延长线于 H，连接 BF，取 BF 的中点 J，连接 NJ，JM，设 AC 交 BH 于点 O OCHOBA，COHBOA， HOAB90， CFBE， CNBN，FJJB， JNCF，JNCF， FMME，FJJB， MJBE，MJBE， CFBE， NJJM， NJM90， JN2+JM2MN2， （CF）2+（BE）2MN2， BE2+CF24MN2 （3）解：如图 3 中，延长 BE 交 CF 的延长线于 H，连接 BF，在 FB 上取一点 J，使得 FJ：JB1：2，连接
36、 NJ，JM 同法可证HCAB135， CN：BNFJ：JB1：2， NJCF，NJCF， FM：MEFJ：JB1：2， MJBE，MJBE， MJN 中MJN 的外角为 135， MJN45， 由题意 BE，CF2， NJ，MJ， 如图 4 中，在NJM 中，作 MKNJ 于 K JJMK45，MJ， MKKJ， NKNJKJ1， MN 24已知抛物线 yax22ax+b 与 x 轴交于点 A（3，0） ，与 y 轴相交于点 B（0，） （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，P 为抛物线上的点，且在第二象限，若POA 的面积等于POB 的面积的 2 倍，求点 P 的坐标； （3）如图 2
37、，C 为抛物线的顶点，在 y 轴上是否存在点 D 使DAC 为直角三角形？若存 在，求出所有符合条件的 D 点的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）把已知坐标代入抛物线求出 a，b 的值后易求抛物线的解析式 （2）求出 OA，OB 的值后可求出 S1，S2根据题意求出点 P 的坐标 （3）易求出 C 点的坐标，过点 C 作 CEy 轴于点 E，CGx 轴于点 G，要使ADC 为 直角三角形，可分三种情况讨论（以 AC 为斜边，则 D 在以 AC 为直径的圆上，取 AC 的 中点 H，OE 的中点 F，连接 HF；以 CD 为斜边，过点 A 作 AD1AC 交 y 轴于点 D1； 以 A
38、D 为斜边，过点 C 作 CD2AC 交 y 轴于点 D2） ，利用相似三角形的判定以及线段比 求解 【解答】解： （1）抛物线 yax22ax+b 过 A（3，0） ，B（0，） ， 09a6a+bb， 解得 a，b， 抛物线解析式为 y （2） （xp，yp） ，PDA 的面积为 S1，POB 的面积为 S2， A（3，0） ，B（0，） ， OA3，OB， S1OA|yp|yp|，S2OB|xp|xp|，3 分 P 点在第二象限， S1yp，S2xp， S12s2 ypxp， 点 P 在抛物线上， ypxp2xp， xpxp2xp， 解得，xp（舍去） ，xp， 当 xp时，yP， 点
39、P 的坐标为（，） （3）C 为抛物线的顶点， C 点的坐标为（1，3） ，过点 C 作 CEy 轴于点 E，CGx 轴于点 G，则 CE1， CG3， 要使ADC 为直角三角形，分三种情况讨论： 以 AC 为斜边， 则 D 在以 AC 为直径的圆上， 取 AC 的中点 H， OE 的中点 F， 连接 HF， 则 HF 为直角梯形 OECA 的中位线，HF（EC+OA）2，即圆心 H 到 y 轴的距离为 2， 在 RtCGA 中， CG3，AG2， AC，AH， 2， y 轴与H 相离， y 轴上不存在符合条件的 D 点 以 CD 为斜边，过点 A 作 AD1AC 交 y 轴于点 D1， D1AO+OAC90，GCA+GAC90， D1AOACG， AOCG， RtD1A0RtACG， D1OAG2， y 轴上存在点 D1（0，2）使D1AC 为直角三角形 以 AD 为斜边，过点 C 作 CD2AC 交 y 轴于点 D2， D2CA90，GCE90， D2GEACG， RtACGRtD2CE， ， CE1， ED2， OE3， OD2OEED2， y 轴上存在点 D2（0，）使D2AC 为直角三角形
