1、4 曲线与方程曲线与方程 学习目标 1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.理解方程的曲线和曲线的 方程的概念.3.了解用坐标法研究几何问题的常用思路与方法.4.掌握根据已知条件求曲线方程 的方法. 知识点一 曲线的方程与方程的曲线 在平面直角坐标系中，如果某曲线 C(看作点满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个 二元方程 f(x，y)0 的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上， 那么，这个方程叫作曲线的方程；这条曲线叫作方程的曲线. 知识点二 求曲线方程的步骤 思考 1 求曲线方程时，建立的坐标系不同，所得
2、的曲线方程相同吗？ 答案 不相同，但都是该曲线的方程. 思考 2 如果原题没有确定坐标系，如何建立适当的坐标系？ 答案 通常选取特殊位置的点为原点，如线段的端点或中点、直角顶点处等，相互垂直的直 线为坐标轴. 1.若曲线 C 上的点满足方程 f(x，y)0，则坐标不满足方程 f(x，y)0 的点不在曲线 C 上. ( ) 2.方程 xy20 是以 A(2，0)，B(0，2)为端点的线段的方程.( ) 3.化简方程“|x|y|”为“yx”是恒等变形.( ) 题型一 曲线与方程概念的解读 例 1 (1)已知坐标满足方程 f(x，y)0 的点都在曲线 C 上，那么( ) A.曲线 C 上的点的坐标都
3、适合方程 f(x，y)0 B.凡坐标不适合 f(x，y)0 的点都不在曲线 C 上 C.不在曲线 C 上的点的坐标必不适合 f(x，y)0 D.不在曲线 C 上的点的坐标有些适合 f(x，y)0，有些不适合 f(x，y)0 考点 曲线与方程的概念 题点 点在曲线上的应用 答案 C (2)分析下列曲线上的点与相应方程的关系： 与两坐标轴的距离的积等于 5 的点与方程 xy5 之间的关系； 第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程 xy0 之间的关系. 考点 曲线与方程的概念 题点 点在曲线上的应用 解 与两坐标轴的距离的积等于 5 的点的坐标不一定满足方程 xy5，但以方程 xy5 的 解为坐标的
4、点一定满足与两坐标轴的距离之积等于 5.因此，与两坐标轴的距离的积等于 5 的 点的轨迹方程不是 xy5. 第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足 xy0；反之，以方程 xy0 的解 为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角平分线上.因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点 的轨迹方程是 xy0. 反思感悟 判断方程是不是曲线的方程的两个关键点： 一是检验点的坐标是否适合方程； 二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上. 跟踪训练 1 判断下列命题是否正确. (1)以坐标原点为圆心，r 为半径的圆的方程是 y r2x2； (2)过点 A(2，0)平行于 y 轴的直线 l 的方程为|x|2. 考点
5、 曲线与方程的概念 题点 曲线方程的求解与证明 解 (1)不正确.设(x0，y0)是方程 y r2x2的解，则 y0 r2x20，即 x20y20r2.两边开平方 取算术平方根，得 x20y20r，即点(x0，y0)到原点的距离等于 r，点(x0，y0)是这个圆上的点. 因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上的点.但是，以原点为圆心、r 为半径的圆上的一 点如点 r 2， 3 2 r 在圆上，却不是 y r2x2的解，这就不满足曲线上的点的坐标都是方程 的解.所以，以原点为圆心，r 为半径的圆的方程不是 y r2x2，而应是 y r2x2. (2)不正确.直线 l 上的点的坐标都是方程|x|2
6、 的解.然而，坐标满足|x|2 的点不一定在直线 l 上，因此|x|2 不是直线 l 的方程，直线 l 的方程为 x2. 题型二 曲线与方程的应用 例 2 已知方程 x2(y1)210. (1)判断点 P(1，2)，Q( 2，3)是否在上述方程表示的曲线上； (2)若点 M m 2，m 在上述方程表示的曲线上，求 m 的值. 考点 曲线与方程的概念 题点 点在曲线上的应用 解 (1)12(21)210，( 2)2(31)2610， 点 P(1，2)在方程 x2(y1)210 表示的曲线上， 点 Q( 2，3)不在方程 x2(y1)210 表示的曲线上. (2)点 M m 2，m 在方程 x 2
7、(y1)210 表示的曲线上， m 2 2(m1)210， 解得 m2 或 m18 5 . 引申探究 本例中曲线方程不变，若点 N(a，2)在圆外，求实数 a 的取值范围. 解 结合点与圆的位置关系，得 a2(21)210，即 a29， 解得 a3， 故所求实数 a 的取值范围为(，3)(3，). 反思感悟 判断曲线与方程关系的问题时，可以利用曲线与方程的定义，也可利用互为逆否 关系的命题的真假性一致判断. 跟踪训练 2 若曲线 y2xy2xk0 过点(a，a)(aR)，求 k 的取值范围. 考点 曲线与方程的概念 题点 点在曲线上的应用 解 曲线 y2xy2xk0 过点(a，a)， a2a2
8、2ak0， k2a22a2 a1 2 21 2， k1 2， k 的取值范围是 ，1 2 . 题型三 求曲线的方程 命题角度 1 直接法求曲线的方程 例 3 一个动点 P 到直线 x8 的距离是它到点 A(2，0)的距离的 2 倍.求动点 P 的轨迹方程. 考点 求曲线的方程的方法 题点 直接法求曲线方程 解 设 P(x，y)，则|8x|2|PA|， 则|8x|2 x22y02， 化简，得 3x24y248， 故动点 P 的轨迹方程为 3x24y248. 引申探究 若本例中的直线改为“y8”，求动点 P 的轨迹方程. 解 设 P(x，y)， 则 P 到直线 y8 的距离 d|y8|， 又|PA
9、|x22y02， 故|y8|2 x22y02， 化简，得 4x23y216x16y480. 故动点 P 的轨迹方程为 4x23y216x16y480. 反思感悟 直接法求动点轨迹的关键及方法 (1)关键：建立恰当的平面直角坐标系；找出所求动点满足的几何条件. (2)方法： 求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤， 在实际求解时可简化为三大步骤： 建系、 设点；根据动点满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明. 特别提醒：直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化. 跟踪训练 3 已知两点 M(1，0)，N(1，0)，且点 P 使MP MN ，PM PN ，NM NP 成公差小于 零的等差
10、数列，求点 P 的轨迹方程. 考点 求曲线的方程的方法 题点 直接法求曲线方程 解 设点 P(x，y)，由 M(1，0)，N(1，0)， 得PM MP (1x，y)，PN NP(1x，y)，MN NM (2，0). MP MN 2(x1)，PM PN x2y21，NM NP 2(1x). 于是，MP MN ，PM PN ，NM NP 成公差小于零的等差数列等价于 x2y211 22x121x， 21x2x10. 点 P 的轨迹方程为 x2y23(x0). 命题角度 2 相关点法求曲线的方程 例 4 动点 M 在曲线 x2y21 上移动，M 和定点 B(3，0)连线的中点为 P，求 P 点的轨迹
11、方 程. 考点 求曲线的方程的方法 题点 相关点法求曲线方程 解 设 P(x，y)，M(x0，y0)， 因为 P 为 MB 的中点，所以 xx03 2 ， yy0 2， 即 x02x3， y02y， 又因为 M 在曲线 x2y21 上， 所以 x20y201， 所以(2x3)24y21. 所以点 P 的轨迹方程为(2x3)24y21. 反思感悟 相关点法求解轨迹方程的步骤 (1)设动点 P(x，y)，相关动点 M(x0，y0). (2)利用条件求出两动点坐标之间的关系 x0fx，y， y0gx，y. (3)代入相关动点的轨迹方程. (4)化简、整理，得所求轨迹方程. 跟踪训练 4 对任意平面向
12、量AB (x， y)， 把AB绕其起点沿逆时针方向旋转 角得到向量AP (xcos ysin ，xsin ycos )，叫做把点 B 绕点 A 逆时针方向旋转 角得到点 P.设平面内 曲线 C 上的每一点绕原点沿逆时针方向旋转 4后得到的点的轨迹是曲线 x 2y22，则原来曲 线 C 的方程是( ) Axy1 Bxy1 Cy2x22 Dy2x21 考点 题点 答案 A 解析 设平面内曲线 C 上的点 P(x，y)， 则其绕原点沿逆时针方向旋转 4后得到点 P 2 2 xy， 2 2 xy ， 点 P在曲线 x2y22 上， 2 2 xy 2 2 2 xy 22， 整理得 xy1. 由方程判断曲
13、线 典例 方程(xy1) x2y240 所表示的曲线的轨迹是( ) 考点 曲线与方程的概念 题点 由方程判断曲线 答案 D 解析 原方程等价于 xy10， x2y24 或 x2y24. 其中当 xy10 时， x2y24需有意义，等式才成立， 即 x2y24，此时它表示直线 xy10 上不在圆 x2y24 内的部分； 当 x2y24 时方程表示整个圆， 所以方程对应的曲线是 D. 素养评析 (1)由具体的方程判断曲线的步骤为： (2)由方程判断曲线是建立起数与形的联系，提升数形结合能力，形成数学直观想象的素养. 1.若命题“曲线 C 上点的坐标都是方程 f(x，y)0 的解”是真命题，则下列命
14、题为真命题的 是( ) A.方程 f(x，y)0 所表示的曲线是曲线 C B.方程 f(x，y)0 所表示的曲线不一定是曲线 C C.f(x，y)0 是曲线 C 的方程 D.以方程 f(x，y)0 的解为坐标的点都在曲线 C 上 考点 曲线与方程的意义 题点 方程是否表示同一曲线 答案 B 解析 “曲线 C 上点的坐标都是方程 f(x，y)0 的解”，但以方程 f(x，y)0 的解为坐标的 点不一定在曲线 C 上，故 A，C，D 都为假命题，B 为真命题. 2.已知直线 l：xy30 及曲线 C：(x3)2(y2)22，则点 M(2，1)( ) A.在直线 l 上，但不在曲线 C 上 B.在直
15、线 l 上，也在曲线 C 上 C.不在直线 l 上，也不在曲线 C 上 D.不在直线 l 上，但在曲线 C 上 考点 曲线与方程的概念 题点 点在曲线上的应用 答案 B 解析 将 M(2，1)代入直线 l 和曲线 C 的方程，由于 2130，(23)2(12)22，所以 点 M 既在直线 l 上又在曲线 C 上，故选 B. 3.关于方程 x(x2y21)0 和 x2(x2y21)20 所表示的图形叙述正确的是( ) A.表示的图形都是一条直线和一个圆 B.表示的图形都是两个点 C.前者表示一条直线和一个圆，后者表示两个点 D.前者表示两个点，后者表示一条直线和一个圆 考点 曲线与方程的意义 题
16、点 方程是否表示同一曲线 答案 C 解析 x(x2y21)0x0 或 x2y21， 表示直线 x0 和圆 x2y21. x2(x2y21)20 x0， x2y210 x0， y 1， 表示点(0，1)，(0，1).故选 C. 4.等腰三角形底边的两个顶点分别是 B(2， 1)， C(0， 3)， 则另一个顶点 A 的轨迹方程是( ) A.x2y10(x0) B.y2x1 C.x2y10(y1) D.x2y10(x1) 考点 求曲线的方程的方法 题点 直接法求曲线方程 答案 D 解析 设 A(x，y)，依题意，知|AB|AC|， 所以 x22y12 x2y32， 化简得 x2y10. 又因为 A
17、，B，C 三点不能共线，所以 x1，故选 D. 5.已知定长为 6 的线段，其端点 A，B 分别在 x 轴、y 轴上移动，线段 AB 的中点为 M，则 M 点的轨迹方程为_. 考点 求曲线的方程的方法 题点 几何法求曲线方程 答案 x2y29 解析 作出图像如图所示，根据直角三角形的性质可知|OM|1 2|AB|3. 所以 M 的轨迹为以原点 O 为圆心，以 3 为半径的圆， 故 M 点的轨迹方程为 x2y29. 1.定义中两个条件的理解 (1)“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”，阐明曲线上没有坐标不满足方程的点(纯粹性). (2)“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”，阐明符合条件的所有的点都在曲线上，毫无 遗漏(完备性). 2.求动点的轨迹方程的实质是将产生曲线的几何条件逐步转化为代数方程，即： 文字语言中的几何条件 解析化 数学符号语言中的等式 坐标化 数学符号语言中含动点坐标(x，y) 的代数方程 f(x，y)0 等价变形简化了的含 x，y 的代数方程 f(x，y)0.
