1、第第 3 课时课时 椭圆中的定点椭圆中的定点、定值及定值及存在存在性问题性问题 题型一 定点问题 例 1 设椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 e 2 2 ，且过点 1， 6 2 . (1)求椭圆 E 的方程； (2)设椭圆 E 的左顶点是 A，若直线 l：xmyt0 与椭圆 E 相交于不同的两点 M，N(M，N 与 A 均不重合)，若以 MN 为直径的圆过点 A，试判定直线 l 是否过定点，若过定点，求出该 定点的坐标. 考点 椭圆中的定值、定点问题 题点 椭圆中的定点问题 解 (1)由 e2c 2 a2 a2b2 a2 1 2， 可得 a22b2， 椭圆方程为 x2
2、2b2 y2 b21， 代入点 1， 6 2 可得 b22，a24， 故椭圆 E 的方程为x 2 4 y2 21. (2)由 xmyt0 得 xmyt， 把它代入 E 的方程得(m22)y22mtyt240， 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则 y1y2 2mt m22，y1y2 t24 m22， x1x2m(y1y2)2t 4t m22， x1x2(my1t)(my2t) m2y1y2tm(y1y2)t22t 24m2 m22 . 因为以 MN 为直径的圆过点 A， 所以 AMAN， 所以AM AN (x 12，y1) (x22，y2)x1x22(x1x2)4y1y2 2t 24m
3、2 m22 2 4t m224 t24 m22 3t28t4 m22 t23t2 m22 0. 因为 M，N 与 A 均不重合，所以 t2， 所以 t2 3，直线 l 的方程是 xmy 2 3，直线 l 过定点 T 2 3，0 ， 由于点 T 在椭圆内部，故满足判别式大于 0， 所以直线 l 过定点 T 2 3，0 . 反思感悟 求定点问题，需要注意两个方面： 一是抓“特值”，涉及的定点多在两条坐标轴上，所以可以先从斜率不存在或斜率为 0 的特 殊情况入手找出定点，为解题指明方向. 二是抓“参数之间的关系”，定点问题多是直线过定点，所以要抓住问题的核心，实质就是 求解直线方程中参数之间的关系，
4、所以要熟悉直线方程的特殊形式，若直线的方程为 ykx b，则直线 ykxb 恒过点(0，b)，若直线方程为 yk(xa)，则直线恒过点(a，0). 跟踪训练 1 已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率 e 2 2 ，短轴长为 2 2. (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)如图所示，椭圆 C 的左顶点为 A，过原点 O 的直线(与坐标轴不重合)与椭圆 C 交于 P，Q 两点，直线 PA，QA 分别与 y 轴交于 M，N 两点.试问以 MN 为直径的圆是否经过定点(与直线 PQ 的斜率无关)？并说明理由. 考点 题点 解 (1)由椭圆 C 的短轴长为 2 2，得 b 2， 又
5、由 ec a a2b2 a 2 2 ，得 a24， 椭圆 C 的标准方程为x 2 4 y2 21. (2)设 P(x0，y0)，则 Q(x0，y0)，且x 2 0 4 y20 21， 即 x202y204. 易知 A(2，0)，直线 PA 的方程为 y y0 x02(x2)， M 0， 2y0 x02 ， 直线 QA 的方程为 y y0 x02(x2)， N 0， 2y0 x02 . 可得 MN 的中点为 0，2x0y0 x204 ， 根据两点间距离公式可得|MN| 8y0 x204 ， 以 MN 为直径的圆的方程为 x2 y2x0y0 x204 2 4y0 x204 2， 即 x2y24x0
6、y0 x204y 4y20 x2040， 又x2042y20， 以 MN 为直径的圆的方程为 x2y22x0 y0 y20， 令 y0，则 x220，解得 x 2， 以 MN 为直径的圆过定点( 2，0)和( 2，0). 题型二 定值问题 例 2 已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21 过 A(2，0)，B(0，1)两点. (1)求椭圆 C 的方程及离心率； (2)设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N，求证：四边形 ABNM 的面积为定值. 考点 椭圆中的定值、定点问题 题点 椭圆中的定值问题 (1)解 由题意得 a2，
7、b1， 所以椭圆 C 的方程为x 2 4y 21. 又 c a2b2 3，所以离心率 ec a 3 2 . (2)证明 设 P(x0，y0)(x00)上一点，F1，F2 分别为 C 的左、右焦点， 且|F1F2|4，F1MF260 ，F1MF2的面积为4 3 3 . (1)求椭圆 C 的方程； (2)设 N(0，2)，过点 P(1，2)作直线 l，交椭圆 C 于异于 N 的 A，B 两点，直线 NA，NB 的斜率分别为 k1，k2，证明：k1k2为定值. (1)解 在F1MF2中，由1 2|MF1|MF2|sin 60 4 3 3 ，得|MF1|MF2|16 3 . 由余弦定理，得 |F1F2
8、|2|MF1|2|MF2|22|MF1|MF2| cos 60 (|MF1|MF2|)22|MF1|MF2|(1cos 60 )， 解得|MF1|MF2|4 2. 从而 2a|MF1|MF2|4 2，即 a2 2. 由|F1F2|4 得 c2，从而 b2， 故椭圆 C 的方程为x 2 8 y2 41. (2)证明 当直线 l 的斜率存在时， 设斜率为 k，显然 k0，则其方程为 y2k(x1)， 由 x2 8 y2 41， y2kx1， 得(12k2)x24k(k2)x2k28k0. 56k232k0， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1x24kk2 12k2 ，x1x22k
9、28k 12k2 . 从而 k1k2y12 x1 y22 x2 2kx1x2k4x1x2 x1x2 2k(k4) 4kk2 2k28k 4. 当直线 l 的斜率不存在时，可得 A 1， 14 2 ，B 1， 14 2 ，得 k1k24. 综上，k1k2为定值. 题型三 存在性问题 例 3 已知椭圆 E：x 2 a2 y2 b21 的右焦点为 F(c，0)且 abc0，设短轴的一个端点为 D，原点 O 到直线 DF 的距离为 3 2 ，过原点和 x 轴不重合的直线与椭圆 E 相交于 C，G 两点，且|GF | |CF |4. (1)求椭圆 E 的方程； (2)是否存在过点 P(2， 1)的直线
10、l 与椭圆 E 相交于不同的两点 A， B 且使得OP 24PA PB成立？ 若存在，试求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由. 解 (1)由椭圆的对称性知|GF |CF |2a4，a2. 又原点 O 到直线 DF 的距离为 3 2 ， bc a 3 2 ，bc 3， 又 a2b2c24，abc0，b 3，c1. 故椭圆 E 的方程为x 2 4 y2 31. (2)当直线 l 与 x 轴垂直时不满足条件. 故可设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 直线 l 的方程为 yk(x2)1， 代入椭圆方程得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80， x1x28k2k1 34k2 ，x
11、1x216k 216k8 34k2 ， 32(6k3)0，k1 2. OP 24PA PB， 即 4(x12)(x22)(y11)(y21)5， 4(x12)(x22)(1k2)5， 即 4x1x22(x1x2)4(1k2)5， 4 16k216k8 34k2 28k2k1 34k2 4 (1k2)444k 2 34k25， 解得 k 1 2，k 1 2不符合题意，舍去. 存在满足条件的直线 l，其方程为 y1 2x. 反思感悟 解决探索性问题的注意事项 探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存 在. (1)当条件和结论不唯一时要分类讨论； (2)当给出
12、结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件； (3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法. 跟踪训练 3 已知椭圆 C：x 2 b2 y2 a21(ab0)的离心率为 3 2 ，椭圆 C 的短轴的一个端点 P 到 焦点的距离为 2. (1)求椭圆 C 的方程； (2)已知直线 l：ykx 3与椭圆 C 交于 A，B 两点，是否存在实数 k，使得以线段 AB 为直 径的圆恰好经过坐标原点 O？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由. 考点 题点 解 (1)椭圆的离心率为 3 2 ，椭圆 C 的短轴的一个端点 P 到焦点的距离为 2， c a 3 2 ， b2c2a24， a2， b1， 椭圆 C 的方程为 x2y 2 41. (2)存在.将 ykx 3代入椭圆方程， 可得(4k2)x22 3kx10， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1，x2是上述方程的两个根， x1x22 3k 4k2，x1x2 1 4k2. 由题意知 OAOB，则 x1x2y1y20， 又 y1kx1 3，y2kx2 3， x1x2y1y2(1k2)x1x2 3k(x1x2)30， (1k2) 1 4k2 3k 2 3k 4k2 30， k 11 2 .
