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3.1.2 第3课时 椭圆中的定点、定值及存在性问题 学案(含答案)

1、第第 3 课时课时 椭圆中的定点椭圆中的定点、定值及定值及存在存在性问题性问题 题型一 定点问题 例 1 设椭圆 E:x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 e 2 2 ,且过点 1, 6 2 . (1)求椭圆 E 的方程; (2)设椭圆 E 的左顶点是 A,若直线 l:xmyt0 与椭圆 E 相交于不同的两点 M,N(M,N 与 A 均不重合),若以 MN 为直径的圆过点 A,试判定直线 l 是否过定点,若过定点,求出该 定点的坐标. 考点 椭圆中的定值、定点问题 题点 椭圆中的定点问题 解 (1)由 e2c 2 a2 a2b2 a2 1 2, 可得 a22b2, 椭圆方程为 x2

2、2b2 y2 b21, 代入点 1, 6 2 可得 b22,a24, 故椭圆 E 的方程为x 2 4 y2 21. (2)由 xmyt0 得 xmyt, 把它代入 E 的方程得(m22)y22mtyt240, 设 M(x1,y1),N(x2,y2), 则 y1y2 2mt m22,y1y2 t24 m22, x1x2m(y1y2)2t 4t m22, x1x2(my1t)(my2t) m2y1y2tm(y1y2)t22t 24m2 m22 . 因为以 MN 为直径的圆过点 A, 所以 AMAN, 所以AM AN (x 12,y1) (x22,y2)x1x22(x1x2)4y1y2 2t 24m

3、2 m22 2 4t m224 t24 m22 3t28t4 m22 t23t2 m22 0. 因为 M,N 与 A 均不重合,所以 t2, 所以 t2 3,直线 l 的方程是 xmy 2 3,直线 l 过定点 T 2 3,0 , 由于点 T 在椭圆内部,故满足判别式大于 0, 所以直线 l 过定点 T 2 3,0 . 反思感悟 求定点问题,需要注意两个方面: 一是抓“特值”,涉及的定点多在两条坐标轴上,所以可以先从斜率不存在或斜率为 0 的特 殊情况入手找出定点,为解题指明方向. 二是抓“参数之间的关系”,定点问题多是直线过定点,所以要抓住问题的核心,实质就是 求解直线方程中参数之间的关系,

4、所以要熟悉直线方程的特殊形式,若直线的方程为 ykx b,则直线 ykxb 恒过点(0,b),若直线方程为 yk(xa),则直线恒过点(a,0). 跟踪训练 1 已知椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率 e 2 2 ,短轴长为 2 2. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)如图所示,椭圆 C 的左顶点为 A,过原点 O 的直线(与坐标轴不重合)与椭圆 C 交于 P,Q 两点,直线 PA,QA 分别与 y 轴交于 M,N 两点.试问以 MN 为直径的圆是否经过定点(与直线 PQ 的斜率无关)?并说明理由. 考点 题点 解 (1)由椭圆 C 的短轴长为 2 2,得 b 2, 又

5、由 ec a a2b2 a 2 2 ,得 a24, 椭圆 C 的标准方程为x 2 4 y2 21. (2)设 P(x0,y0),则 Q(x0,y0),且x 2 0 4 y20 21, 即 x202y204. 易知 A(2,0),直线 PA 的方程为 y y0 x02(x2), M 0, 2y0 x02 , 直线 QA 的方程为 y y0 x02(x2), N 0, 2y0 x02 . 可得 MN 的中点为 0,2x0y0 x204 , 根据两点间距离公式可得|MN| 8y0 x204 , 以 MN 为直径的圆的方程为 x2 y2x0y0 x204 2 4y0 x204 2, 即 x2y24x0

6、y0 x204y 4y20 x2040, 又x2042y20, 以 MN 为直径的圆的方程为 x2y22x0 y0 y20, 令 y0,则 x220,解得 x 2, 以 MN 为直径的圆过定点( 2,0)和( 2,0). 题型二 定值问题 例 2 已知椭圆 C:x 2 a2 y2 b21 过 A(2,0),B(0,1)两点. (1)求椭圆 C 的方程及离心率; (2)设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上,直线 PA 与 y 轴交于点 M,直线 PB 与 x 轴交于点 N,求证:四边形 ABNM 的面积为定值. 考点 椭圆中的定值、定点问题 题点 椭圆中的定值问题 (1)解 由题意得 a2,

7、b1, 所以椭圆 C 的方程为x 2 4y 21. 又 c a2b2 3,所以离心率 ec a 3 2 . (2)证明 设 P(x0,y0)(x00)上一点,F1,F2 分别为 C 的左、右焦点, 且|F1F2|4,F1MF260 ,F1MF2的面积为4 3 3 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 N(0,2),过点 P(1,2)作直线 l,交椭圆 C 于异于 N 的 A,B 两点,直线 NA,NB 的斜率分别为 k1,k2,证明:k1k2为定值. (1)解 在F1MF2中,由1 2|MF1|MF2|sin 60 4 3 3 ,得|MF1|MF2|16 3 . 由余弦定理,得 |F1F2

8、|2|MF1|2|MF2|22|MF1|MF2| cos 60 (|MF1|MF2|)22|MF1|MF2|(1cos 60 ), 解得|MF1|MF2|4 2. 从而 2a|MF1|MF2|4 2,即 a2 2. 由|F1F2|4 得 c2,从而 b2, 故椭圆 C 的方程为x 2 8 y2 41. (2)证明 当直线 l 的斜率存在时, 设斜率为 k,显然 k0,则其方程为 y2k(x1), 由 x2 8 y2 41, y2kx1, 得(12k2)x24k(k2)x2k28k0. 56k232k0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1x24kk2 12k2 ,x1x22k

9、28k 12k2 . 从而 k1k2y12 x1 y22 x2 2kx1x2k4x1x2 x1x2 2k(k4) 4kk2 2k28k 4. 当直线 l 的斜率不存在时,可得 A 1, 14 2 ,B 1, 14 2 ,得 k1k24. 综上,k1k2为定值. 题型三 存在性问题 例 3 已知椭圆 E:x 2 a2 y2 b21 的右焦点为 F(c,0)且 abc0,设短轴的一个端点为 D,原点 O 到直线 DF 的距离为 3 2 ,过原点和 x 轴不重合的直线与椭圆 E 相交于 C,G 两点,且|GF | |CF |4. (1)求椭圆 E 的方程; (2)是否存在过点 P(2, 1)的直线

10、l 与椭圆 E 相交于不同的两点 A, B 且使得OP 24PA PB成立? 若存在,试求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. 解 (1)由椭圆的对称性知|GF |CF |2a4,a2. 又原点 O 到直线 DF 的距离为 3 2 , bc a 3 2 ,bc 3, 又 a2b2c24,abc0,b 3,c1. 故椭圆 E 的方程为x 2 4 y2 31. (2)当直线 l 与 x 轴垂直时不满足条件. 故可设 A(x1,y1),B(x2,y2), 直线 l 的方程为 yk(x2)1, 代入椭圆方程得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80, x1x28k2k1 34k2 ,x

11、1x216k 216k8 34k2 , 32(6k3)0,k1 2. OP 24PA PB, 即 4(x12)(x22)(y11)(y21)5, 4(x12)(x22)(1k2)5, 即 4x1x22(x1x2)4(1k2)5, 4 16k216k8 34k2 28k2k1 34k2 4 (1k2)444k 2 34k25, 解得 k 1 2,k 1 2不符合题意,舍去. 存在满足条件的直线 l,其方程为 y1 2x. 反思感悟 解决探索性问题的注意事项 探索性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存 在. (1)当条件和结论不唯一时要分类讨论; (2)当给出

12、结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件; (3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要开放思维,采取另外合适的方法. 跟踪训练 3 已知椭圆 C:x 2 b2 y2 a21(ab0)的离心率为 3 2 ,椭圆 C 的短轴的一个端点 P 到 焦点的距离为 2. (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知直线 l:ykx 3与椭圆 C 交于 A,B 两点,是否存在实数 k,使得以线段 AB 为直 径的圆恰好经过坐标原点 O?若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由. 考点 题点 解 (1)椭圆的离心率为 3 2 ,椭圆 C 的短轴的一个端点 P 到焦点的距离为 2, c a 3 2 , b2c2a24, a2, b1, 椭圆 C 的方程为 x2y 2 41. (2)存在.将 ykx 3代入椭圆方程, 可得(4k2)x22 3kx10, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1,x2是上述方程的两个根, x1x22 3k 4k2,x1x2 1 4k2. 由题意知 OAOB,则 x1x2y1y20, 又 y1kx1 3,y2kx2 3, x1x2y1y2(1k2)x1x2 3k(x1x2)30, (1k2) 1 4k2 3k 2 3k 4k2 30, k 11 2 .