1、3.1 双曲线及其标准方程,第三章 3 双曲线,学习目标,XUEXIMUBIAO,1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程. 2.掌握双曲线的标准方程及其求法. 3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,自主学习,题型探究,达标检测,1,自主学习,PART ONE,知识点一 双曲线的定义 1.定义:平面内到两定点F1,F2的距离之差的 等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合. 2.定义的集合表示:M|MF1|MF2|2a,02a|F1F2|. 3.焦点:两个 . 4.焦距: 的距离,表示为|F1F2|.,绝对值,定点F1,F2,两焦
2、点间,知识点二 双曲线的标准方程,(a0,b0),(a0,b0),(c,0),(c,0),(0,c),(0,c),a2b2,1.平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线.( ) 2.平面内到点F1(0,4),F2(0,4)的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线. ( ) 3.平面内到点F1(0,4),F2(0,4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( ) 4.在双曲线标准方程中,a,b,c之间的关系与椭圆中a,b,c之间的关系相同.( ),思考辨析 判断正误,SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU,2,题型探究,PART TWO,题型一 求双曲线
3、的标准方程,例1 根据下列条件,求双曲线的标准方程:,解 当焦点在x轴上时,,当焦点在y轴上时,,把点A的坐标代入,得b29.,解 因为焦点在x轴上,,解得a28,b24,,解 设双曲线的方程为Ax2By21,AB0. 因为点P,Q在双曲线上,,反思感悟 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似,可以先根据其焦点位置设出标准方程,然后用待定系数法求出a,b的值.若焦点位置不确定,可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解,此方法思路清晰,但过程复杂.若双曲线过两定点,可设其方程为mx2ny21(mn0),通过解方程组即可确定m,n,避免了讨论,从而简化求解过程.,跟踪训练1 求适合下列条件的
4、双曲线的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是(5,0),(5,0),双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8;,解 由双曲线的定义知,2a8,所以a4, 又知焦点在x轴上,且c5, 所以b2c2a225169,,解得a23,b25.,题型二 双曲线定义的应用,命题角度1 双曲线中的焦点三角形问题,多维探究,(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,求点M到另一个焦点的距离;,由双曲线的定义得|MF1|MF2|2a6, 又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16, 假设点M到另一个焦点的距离等于x, 则|16x|6,解得x10或x22. 故点M到另一个焦点的距离为10或22.,
5、(2)如图,若P是双曲线左支上的点,且|PF1|PF2|32,试求F1PF2的面积.,解 将|PF2|PF1|2a6两边平方得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36, 则|PF1|2|PF2|2362|PF1|PF2|36232100.,所以F1PF290,,引申探究 将本例(2)中的条件“|PF1|PF2|32”改为“F1PF260”,求F1PF2的面积.,由双曲线的定义和余弦定理得|PF2|PF1|6, |F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60, 所以102(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|, 所以|PF1|PF2|64,,反思感悟 求双曲线
6、中焦点三角形面积的方法 (1)方法一: 根据双曲线的定义求出|PF1|PF2|2a; 利用余弦定理表示出|PF1|,|PF2|,|F1F2|之间满足的关系式; 通过配方,利用整体的思想求出|PF1|PF2|的值;,跟踪训练2 已知双曲线x2y21,点F1,F2为其两个焦点,点P为双曲线上一点,若PF1PF2,则|PF1|PF2|的值为_.,解析 不妨设点P在双曲线的右支上, 因为PF1PF2,,又|PF1|PF2|2,所以(|PF1|PF2|)24, 可得2|PF1|PF2|4,则(|PF1|PF2|)2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|12,,命题角度2 利用定义确定与双曲线有关的
7、轨迹方程,由双曲线的定义知,点C的轨迹为双曲线的右支(除去右顶点).,反思感悟 (1)求解与双曲线有关的点的轨迹问题,常见的方法有两种:列出等量关系,化简得到方程;寻找几何关系,由双曲线的定义,得出对应的方程. (2)求解双曲线的轨迹问题时要特别注意:双曲线的焦点所在的坐标轴;检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.,跟踪训练3 如图所示,已知定圆F1:(x5)2y21,定圆F2:(x5)2y242,动圆M与定圆F1,F2都外切,求动圆圆心M的轨迹方程.,解 圆F1:(x5)2y21,圆心F1(5,0),半径r11; 圆F2:(x5)2y242,圆心F2(5,0),半径r24. 设动圆M的
8、半径为R, 则有|MF1|R1,|MF2|R4, |MF2|MF1|310|F1F2|.,核心素养之数学建模,HEXINSUYANGZHISHUXUEJIANMO,双曲线在生活中的应用,典例 “神舟”九号飞船返回仓顺利到达地球后,为了及时将航天员安全救出,地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排了三个救援中心(记A,B,C),A在B的正东方向,相距6千米,C在B的北偏西30方向,相距4千米,P为航天员着陆点.某一时刻,A接收到P的求救信号,由于B,C两地比A距P远,在此4秒后,B,C两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1千米/秒,求在A处发现P的方位角.,解 因为|PC|PB|
9、, 所以P在线段BC的垂直平分线上. 又因为|PB|PA|46|AB|, 所以P在以A,B为焦点的双曲线的右支上. 以线段AB的中点为坐标原点,AB的垂直平分线所在直线为y轴,正东方向为x轴正方向建立平面直角坐标系,如图所示.,所以P点在A点的北偏东30方向.,素养评析 利用双曲线解决实际问题的基本步骤如下: (1)建立适当的坐标系; (2)求出双曲线的标准方程; (3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题. 注意:解答与双曲线有关的应用问题时,除要准确把握题意,了解一些实际问题的相关概念,同时还要注意双曲线的定义及性质的灵活应用. 实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着的变量范围
10、.,3,达标检测,PART THREE,1,2,3,4,5,1.已知F1(8,3),F2(2,3),动点P满足|PF1|PF2|10,则P点的轨迹是 A.双曲线 B.双曲线的一支 C.直线 D.一条射线,解析 F1,F2是定点,且|F1F2|10, 所以满足条件|PF1|PF2|10的点P的轨迹应为一条射线.,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,A.4a B.4am C.4a2m D.4a2m,解析 不妨设|AF2|AF1|,由双曲线的定义, 知|AF2|AF1|2a,|BF2|BF1|2a, 所以|AF2|BF2|(|AF1|BF1|)4am4a, 于是ABF2的周长l|AF2|BF2|AB|4a2m.故选C.,1,2,3,4,5,解析 设双曲线的方程为mx2ny21(mn0),,课堂小结,KETANGXIAOJIE,1.双曲线定义中|PF1|PF2|2a(2ab不一定成立.要注意与椭圆中a,b,c的区别.在椭圆中a2b2c2,在双曲线中c2a2b2. 3.用待定系数法求双曲线的标准方程时,要先判断焦点所在的位置,设出标准方程后,由条件列出关于a,b,c的方程组.如果焦点不确定要分类讨论,采用待定系数法求方程或用形如mx2ny21(mn0)的形式求解.,