1、3.1 双曲线及其标准方程,第三章 3 双曲线,学习目标,XUEXIMUBIAO,1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程. 2.掌握双曲线的标准方程及其求法. 3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,自主学习,题型探究,达标检测,1,自主学习,PART ONE,知识点一 双曲线的定义 1.定义：平面内到两定点F1，F2的距离之差的 等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合. 2.定义的集合表示：M|MF1|MF2|2a，02a|F1F2|. 3.焦点：两个 . 4.焦距： 的距离，表示为|F1F2|.,绝对值,定点F1，F2,两焦
2、点间,知识点二 双曲线的标准方程,(a0，b0),(a0，b0),(c，0)，(c，0),(0，c)，(0，c),a2b2,1.平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线.( ) 2.平面内到点F1(0，4)，F2(0，4)的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线. ( ) 3.平面内到点F1(0，4)，F2(0，4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( ) 4.在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系与椭圆中a，b，c之间的关系相同.( ),思考辨析 判断正误,SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU,2,题型探究,PART TWO,题型一 求双曲线
3、的标准方程,例1 根据下列条件，求双曲线的标准方程：,解 当焦点在x轴上时，,当焦点在y轴上时，,把点A的坐标代入，得b29.,解 因为焦点在x轴上，,解得a28，b24，,解 设双曲线的方程为Ax2By21，AB0. 因为点P，Q在双曲线上，,反思感悟 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出a，b的值.若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂.若双曲线过两定点，可设其方程为mx2ny21(mn0)，通过解方程组即可确定m，n，避免了讨论，从而简化求解过程.,跟踪训练1 求适合下列条件的
4、双曲线的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是(5，0)，(5，0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8；,解 由双曲线的定义知，2a8，所以a4， 又知焦点在x轴上，且c5， 所以b2c2a225169，,解得a23，b25.,题型二 双曲线定义的应用,命题角度1 双曲线中的焦点三角形问题,多维探究,(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；,由双曲线的定义得|MF1|MF2|2a6， 又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16， 假设点M到另一个焦点的距离等于x， 则|16x|6，解得x10或x22. 故点M到另一个焦点的距离为10或22.,
5、(2)如图，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|PF2|32，试求F1PF2的面积.,解 将|PF2|PF1|2a6两边平方得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36， 则|PF1|2|PF2|2362|PF1|PF2|36232100.,所以F1PF290，,引申探究 将本例(2)中的条件“|PF1|PF2|32”改为“F1PF260”，求F1PF2的面积.,由双曲线的定义和余弦定理得|PF2|PF1|6， |F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60， 所以102(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|， 所以|PF1|PF2|64，,反思感悟 求双曲线
6、中焦点三角形面积的方法 (1)方法一： 根据双曲线的定义求出|PF1|PF2|2a； 利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式； 通过配方，利用整体的思想求出|PF1|PF2|的值；,跟踪训练2 已知双曲线x2y21，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1PF2，则|PF1|PF2|的值为_.,解析 不妨设点P在双曲线的右支上， 因为PF1PF2，,又|PF1|PF2|2，所以(|PF1|PF2|)24， 可得2|PF1|PF2|4，则(|PF1|PF2|)2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|12，,命题角度2 利用定义确定与双曲线有关的
7、轨迹方程,由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去右顶点).,反思感悟 (1)求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：列出等量关系，化简得到方程；寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程. (2)求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：双曲线的焦点所在的坐标轴；检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.,跟踪训练3 如图所示，已知定圆F1：(x5)2y21，定圆F2：(x5)2y242，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程.,解 圆F1：(x5)2y21，圆心F1(5，0)，半径r11； 圆F2：(x5)2y242，圆心F2(5，0)，半径r24. 设动圆M的
8、半径为R， 则有|MF1|R1，|MF2|R4， |MF2|MF1|310|F1F2|.,核心素养之数学建模,HEXINSUYANGZHISHUXUEJIANMO,双曲线在生活中的应用,典例 “神舟”九号飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排了三个救援中心(记A，B，C)，A在B的正东方向，相距6千米，C在B的北偏西30方向，相距4千米，P为航天员着陆点.某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距P远，在此4秒后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1千米/秒，求在A处发现P的方位角.,解 因为|PC|PB|
9、， 所以P在线段BC的垂直平分线上. 又因为|PB|PA|46|AB|， 所以P在以A，B为焦点的双曲线的右支上. 以线段AB的中点为坐标原点，AB的垂直平分线所在直线为y轴，正东方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示.,所以P点在A点的北偏东30方向.,素养评析 利用双曲线解决实际问题的基本步骤如下： (1)建立适当的坐标系； (2)求出双曲线的标准方程； (3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题. 注意：解答与双曲线有关的应用问题时，除要准确把握题意，了解一些实际问题的相关概念，同时还要注意双曲线的定义及性质的灵活应用. 实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着的变量范围
10、.,3,达标检测,PART THREE,1,2,3,4,5,1.已知F1(8，3)，F2(2，3)，动点P满足|PF1|PF2|10，则P点的轨迹是 A.双曲线 B.双曲线的一支 C.直线 D.一条射线,解析 F1，F2是定点，且|F1F2|10， 所以满足条件|PF1|PF2|10的点P的轨迹应为一条射线.,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,A.4a B.4am C.4a2m D.4a2m,解析 不妨设|AF2|AF1|，由双曲线的定义， 知|AF2|AF1|2a，|BF2|BF1|2a， 所以|AF2|BF2|(|AF1|BF1|)4am4a， 于是ABF2的周长l|AF2|BF2|AB|4a2m.故选C.,1,2,3,4,5,解析 设双曲线的方程为mx2ny21(mn0)，,课堂小结,KETANGXIAOJIE,1.双曲线定义中|PF1|PF2|2a(2ab不一定成立.要注意与椭圆中a，b，c的区别.在椭圆中a2b2c2，在双曲线中c2a2b2. 3.用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出关于a，b，c的方程组.如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2ny21(mn0)的形式求解.,