1、专题突破三 空间直角坐标系的构建策略,第二章 空间向量与立体几何,利用空间向量的方法解决立体几何问题，关键是依托图形建立空间直角坐标系，将其他向量用坐标表示，通过向量运算，判定或证明空间元素的位置关系，以及空间角、空间距离问题的探求.所以如何建立空间直角坐标系显得非常重要，下面简述空间建系的四种方法，希望同学们面对空间几何问题能做到有的放矢，化解自如. 一、利用共顶点的互相垂直的三条棱 例1 已知直四棱柱中，AA12，底面ABCD是直角梯形，DAB为直角，ABCD，AB4，AD2，DC1，试求异面直线BC1与DC所成角的余弦值.,解 如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x
2、轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz， 则D(0，0，0)，C1(0，1，2)，B(2，4，0)，C(0，1，0)，,点评 本例以直四棱柱为背景，求异面直线所成角.求解关键是从直四棱柱图形中的共点的三条棱互相垂直关系处着手，建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标和相关向量的坐标，再求两异面直线的方向向量的夹角即可.,跟踪训练1 如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，ABAC2，AA14，点D是BC的中点. (1)求异面直线A1B与C1D夹角的余弦值；,解 以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz， 则A(0，0，0)，B(2
3、，0，0)，C(0，2，0)，A1(0，0，4)，D(1，1，0)，C1(0，2，4)，,(2)求平面ADC1与平面ABA1夹角的正弦值.,设平面ADC1的法向量为n(x，y，z)，,取n(2，2，1). 设平面ADC1与平面ABA1的夹角为，,二、利用线面垂直关系,解 过点B作BP垂直BB1交C1C于点P， 因为AB平面BB1C1C，所以ABBP， 又BPBB1，BB1ABB， 且BB1，AB平面ABB1A1，所以BP平面ABB1A1， 以B为坐标原点，分别以BP，BB1，BA所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Bxyz.,点评 空间直角坐标系的建立，要尽量地使尽可能多的点落在坐
4、标轴上，这样建成的坐标系，既能迅速写出各点的坐标，又由于坐标轴上的点的坐标含有0，也为后续的运算带来了方便.本题已知条件中的垂直关系“AB平面BB1C1C”，可作为建系的突破口.,跟踪训练2 如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点.求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.,解 取BC的中点E，连接AE. 由ABAC得AEBC，,设n(x，y，z)为平面PMN的法向量，,三、利用面面垂直关系 例3 如图1，在等腰梯形ABCD中，ADBC，ABAD2，ABC60，E是BC的中点.将ABE沿AE折起，使平面BAE
5、平面AEC(如图2)，连接BC，BD.求平面ABE与平面BCD夹角的大小.,解 取AE中点M，连接BM，DM. 因为在等腰梯形ABCD中，ADBC，ABAD，ABC60，E是BC的中点， 所以ABE与ADE都是等边三角形， 所以BMAE，DMAE. 又平面BAE平面AEC，所以BMMD. 以M为坐标原点，分别以ME，MD，MB所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Mxyz，如图，,设平面BCD的法向量为m(x，y，z)，,取y1，得m(0，1，1)，,所以平面ABE与平面BCD夹角为45.,点评 本题求解关键是利用面面垂直关系，先证在两平面内共点的三线垂直，再构建空间直角坐标系，然后分别
6、求出两个平面的法向量，求出两法向量夹角的余弦值，即可得所求的两平面的夹角的大小.用法向量的夹角求两平面夹角时应注意： 已知平面1与2的法向量分别为n1与n2.,跟踪训练3 在四棱锥VABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD 底面ABCD. (1)证明：AB平面VAD；,证明 取AD的中点O作为坐标原点， 由题意知，VO底面ABCD， 分别以OA，OV所在直线为x轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.,又ABAD，ADVAA，AB平面VAD.,(2)求平面AVD与平面BVD夹角的余弦值.,设E为DV的中点，连接EA，EB，,又EADV， AEB为平面AVD与平面BVD
7、的夹角，,四、利用底面的中心与高所在的直线，构建空间直角坐标系 例4 如图所示，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面为正方形，O1，O分别为上、下底面的中心，且A1在底面ABCD上的射影是O. (1)求证：平面O1DC平面ABCD；,证明 如图所示，以O为坐标原点，OA，OB，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系. 设OA1，OA1a. 则A(1，0，0)，B(0，1，0)，A1(0，0，a)， C(1，0，0)，D(0，1，0)，O1(1，0，a).,设m(x1，y1，z1)，n(x2，y2，z2)分别是平面O1DC和平面ABCD的法向量.,故mn0，即平面O1DC
8、与平面ABCD的法向量垂直， 故平面O1DC平面ABCD.,(2)若点E，F分别在棱AA1，BC上，且AE2EA1，问点F在何处时，EFAD?,故点F的坐标为(，1，0)，,故当F为BC的三等分点(靠近B)时，有EFAD.,点评 依托于平行六面体的高所在直线与底面正方形的两对角线便可建立空间直角坐标系.,跟踪训练4 已知正四棱锥VABCD中，E为VC的中点，正四棱锥的底面边长为2a，高为h. (1)求DEB的余弦值；,解 如图所示，以V在底面ABCD内的正投影O为坐标原点建立空间直角坐标系，其中OxBC，OyAB.由AB2a，OVh，,(2)若BEVC，求DEB的余弦值.,达标检测,DABIA
9、OJIANCE,1.如图所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1，E，F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角为_.,45,1,2,3,1,2,3,解析 以D为原点，分别以射线DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴的非负半轴建立空间直角坐标系Dxyz如图所示， 设正方体的棱长为1，,异面直线EF和CD所成的角是45.,2.在底面为直角梯形的四棱锥SABCD中，ABC90，SA平面ABCD，SAABBC1， 则平面SCD与平面SAB夹角的余弦值为_.,1,2,3,1,2,3,解析 以A为坐标原点，AD，AB，AS所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，,3.如图所示，已知点P在正方体ABCDABCD的体对角线BD上，PDA60. (1)求DP与CC所成角的大小；,1,2,3,1,2,3,解 如图，以D为原点，DA，DC，DD所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为1， 则D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，C(0，1，1)，,连接BD，BD. 在平面BBDD中，延长DP交BD于H.,1,2,3,(2)求DP与平面AADD所成角的大小.,1,2,3,故DP与平面AADD所成的角为30.,
