1、 2019 届上学期高三开学摸底考试数学（文）试题一、选择题：本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是（ Axa230BxABa）A. B. C. D. 1a1222. 已知复数 ，则 的虚部为（ ）A B C D3. 下列判断错误的是 （ ）A “ ”是“ a b”的充分不必要条件 B若 为假命题，则 p，q 均为假命题C命题“ ”的否定是“ ”“若 a=1，则直线 和直线 互相垂直”的逆否命题为真命题4. 已知非向量 ，则 或 是向量 与 夹角为锐角的（ ）,2,xb0x4abA充分
2、不必要条件 B必要不充分条件 C. 充要条件 D既不充分也不必要条件5.已知 ，则 为（ ） 00:,51npNpA B C. D,510nN00,51nN00,n6. 将函数 的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，则下列说法正确的是cos2yx2yfx（ ）A 是奇函数 yfxB 的周期为 2C 的图象关于直线 对称 yfx2xD 的图象关于点 的对称(,0)7. 执行如图的程序框图，则输出的 值为SA. B. C. D.1231208. F1，F 2分别是双曲线 的左、右焦点，过)0,(bayxF1的直线 与双曲线的左、右两支分别交于 A、B 两点若ABF 2是等l边三角形，则该双曲线
3、的离心率为（A） （B） （C） （D）23579. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A B 36624C. D45310. 将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到函数)2)(2sin)( xf )0(的图象,若 的图象都经过点 ,则 的值可以是（ ）)(xg)(,gf)30(PA B C D35652611.已知双曲线 的左顶点为 ，虚轴长为 8，右焦点为 ，且 与双曲线的渐2109xybAF:近线相切，若过点 作 的两条切线，切点分别为 ，则 （ ）F:,MNA8 B C. D42234312. 已知函数 ，若存在实数 使得不等式 成立，求实数的取值范围为（ ）A B
4、C. D 二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上13. 已知 满足对 ，且 时， （ 为常数） ，则fx,0Rfxfxxfem的值为 ln514. 已知函数 ，若 ，则 。15. 在ABC 中，AB 边上的中线 CO=4，若动点 P 满足 ，则的最小值是 .16. 已知数列 中， ，则其前 项和 三、解答题 ：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60分.17. 已知在数列 中， ， .na112nna（1）求数列 的通项公式；（2
5、）若 ，数列 的前 项和为 ，求 .2lognnbnbnS甲 乙 丙 丁10021720018. 某超市随机选取 1000 位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“”表示购买， “”表示未购买 （1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率；（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？19. 如图，四棱台 中， 底面1ABCD1A，平面 平面1,3,2,ABC1C为 的中点.DM（1）证明： ；1（2）若 ，且 ，求点 到平面 的距离.03ABCBCA1BC20. 椭圆 上的点 满
6、足 ，其中 A,B是椭圆的左右焦点。(1)求椭圆 C的标准方程；(2)与圆 相切的直线 交椭圆于 、 两点，若椭圆上一点 满足，求实数 的取值范围。.21. 已知函数 .afx（1）判断函数 的单调性；（2）设函数 ，证明:当 且 时， .ln1gx0,xafxg（二）选考题：共 10分.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，并用 2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.300859822. 选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10分）已知曲线 的参数方程为 （ 为参数， ），以坐标原点
7、 O为极点，x1C1cos3inxtyt0轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .2C2sin4（1）若极坐标为 的点 在曲线 上，求曲线 与曲线 的交点坐标；2,4A11C2（2）若点 的坐标为 ，且曲线 与曲线 交于 两点，求P1,32,BD.PBD23. 设函数 解不等式 ；若 对任意的实数 x 恒成立，求 的取值范围试卷答案1-5: DDBBB 6-10: CDDCB 11、12：DA13. -4 14. 或 2 15. -8 16 16. 2)1(1nn17. 【答案】(1) (2) 当 为奇数时， ,当 为偶数时， .12,.na是 奇是 偶 nnS24nS24试题解析
8、：（1）因为 ，所以当 时， ，所以 ，1nn2112nna12na所以数列 的奇数项构成等比数列，偶数项也构成等比数列.又 ， ，na 121所以当 为奇数时， ； 当 为偶数时， ，12nn2na所以 .12, na是 奇是 偶（2）因为 ， ， ，所以 .112nna2lognba1nb讨论：当 为奇数时， ；123451n nS 210244n当 为偶数时， .n12341n nbbb2318.【答案】 （1）从统计表可得，在这 1000 名顾客中，同时购买乙和丙的有 200 人，故顾客同时购买乙和丙的概率为 =0.2（2）在这 1000 名顾客中，在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商
9、品的有 100+200=300（人） ，故顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率为 =0.3（3）在这 1000 名顾客中，同时购买甲和乙的概率为 =0.2，同时购买甲和丙的概率为 =0.6，同时购买甲和丁的概率为 =0.1，故同时购买甲和丙的概率最大【解析】（1）从统计表可得，在这 1000 名顾客中，同时购买乙和丙的有 200 人，从而求得顾客同时购买乙和丙的概率（2）根据在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的有 300 人，求得顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率（3）在这 1000 名顾客中，求出同时购买甲和乙的概率、同时购买甲和丙的概率、同时购买甲和丁
10、的概率，从而得出结论19.（1）证明：连接 ，1AC 为四棱台，四边形 四边形 ，ABD1ABCD:AB ，由 得， ，1122又 底面 ，四边形 为直角梯形，可求得 ，1C1 12C又 为 的中点，所以 ，,AM1AMC又平面 平面 ，平面 平面 ，11D111D 平面 平面 ，1,C ；1A（2）解：在 中， ，利用余弦定理可求得， 或 ，由于ABC023,3ACB4BC2，所以 ，从而 ，知 ，ACB422ABCABC又 底面 ，则平面 底面 为交线，1D1,D 平面 ，所以 ，由（1）知 ，1 1,MA 平面 （连接 ） ，1CABM平面 平面 ，过点 作 ，交 于点 ，1CANBN则
11、 平面 ，AN1B在 中可求得 ，所以 ，RtM3,15ABM215AN所以，点 到平面 的距离为 .1C220. 解：() 由椭圆的定义： ,得 ，又 在椭圆上得： ，解得 ， 4 分所以椭圆的标准方程为： 5 分() 因为直线 ： 与圆 相切所以 6 分把 代入 并整理得： 设 ， ， ， ，则有 = 8 分因为， ， ， 所以， ，又因为点 在椭圆上， 所以， 10 分因为 所以 所以 ，所以 的取值范围为 ， ， 12 分21.解：（1）因为 ，210axfx若 ， 在 为增函数；0,aff,若 ，则 或20xaxa，2 0fx函数 的单调递增区间为 ，,单调递减区间为 ；,0a（2）
12、令 ， ，ln10ahxfgxx221axahx设 的正根为 ，所以 ，20pa020a ， ，11x在 上为减函数，在 上为增函数，hx0,0,，2000 00minln1ln12lnxax x令 ，2lFx恒成立，所以 在 上为增函数，10xFx1,又 ， ，即 ，120F0Fxmin0hx所以，当 时， .,xfg22. 解：（1）点 对应的直角坐标为 ， 2,41,由曲线 的参数方程知：曲线 是过点 的直线，故曲线 的方程为 ，C1C,31C20xy而曲线 的直角坐标方程为 ，联立得 ，解得：220xy20xy，故交点坐标分别为 120xy， ,2.（2）由判断知： 在直线 上，将 代入方程 得：P1C1+cos3inxty20xy，设点 对应的参数分别为 ，则 ,而 ，4cosin60tt,BD12,t12,PBtDt126t所以 121=.BD23. 23. 【答案】解： 由已知得 ，即 ，则有 ， 或 ，故不等式的解集是 ；由已知，设，当 时，只需 恒成立，即 ， ， 恒成立，当 时，只需 恒成立，即 恒成立，只需 ， ，当 时，只需 恒成立，即 ， 恒成立， ，且无限趋近于 4，综上，a 的取值范围是
