1、 10.2 排列与组合排列与组合 最新考纲 考情考向分析 1.理解排列的概念及排列数公式，并能利用 公式解决一些简单的实际问题 2.理解组合的概念及组合数公式， 并能利用公 式解决一些简单的实际问题. 以理解和应用排列、组合的概念为主，常常 以实际问题为载体，考查分类讨论思想，考 查分析、解决问题的能力，题型以选择、填 空为主，难度为中档. 1排列与组合的概念 名称 定义 排列 从 n 个不同元素中取出 m(mn) 个元素 按照一定的顺序排成一列 组合 合成一组 2.排列数与组合数 (1)排列数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同排列的个数叫做从 n 个 不同元素中取出
2、 m 个元素的排列数，用 Am n表示 (2)组合数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用 Cm n表示 3排列数、组合数的公式及性质 公式 (1)Am nn(n1)(n2)(nm1) n！ nm！ (2)Cm nA m n Am m nn1n2nm1 m！ n！ m！nm！ 性质 (3)0！1；Annn！ (4)Cm nC nm n ；Cm n1C m nC m1 n _ 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列( ) (2)一个组合中取
3、出的元素讲究元素的先后顺序( ) (3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同( ) (4)(n1)！n！n n！.( ) (5)若组合式 CxnCm n，则 xm 成立( ) (6)kCknnCk 1 n1.( ) 题组二 教材改编 2P27A 组 T76 把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( ) A144 B120 C72 D24 答案 D 解析 “插空法”，先排 3 个空位，形成 4 个空隙供 3 人选择就座，因此任何两人不相邻的 坐法种数为 A3443224. 3P19 例 4用数字 1,2,3,4,5 组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为( ) A8
4、B24 C48 D120 答案 C 解析 末位数字排法有 A12种，其他位置排法有 A34种， 共有 A12A3448(种)排法，所以偶数的个数为 48. 题组三 易错自纠 4六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 ( ) A192 种 B216 种 C240 种 D288 种 答案 B 解析 第一类：甲在左端，有 A5554321120(种)排法； 第二类：乙在最左端，甲不在最右端，有 4A444432196(种)排法 所以共有 12096216(种)排法 5为发展国外孔子学院，教育部选派 6 名中文教师到泰国、马来西亚、缅甸任教中文，若每 个国家至少去
5、一人，则不同的选派方案种数为( ) A180 B240 C540 D630 答案 C 解析 依题意，选派方案分为三类：一个国家派 4 名，另两个国家各派 1 名，有C 4 6C 1 2C 1 1 A22 A33 90(种)；一个国家派 3 名，一个国家派 2 名，一个国家派 1 名，有 C36C23C11A33360(种)； 每个国家各派 2 名，有C 2 6C 2 4C 2 2 A33 A3390(种)， 故不同的选派方案种数为 9036090540. 6寒假里 5 名同学结伴乘动车外出旅游， 实名制购票，每人一座， 恰在同一排 A，B，C， D， E 五个座位(一排共五个座位)，上车后五人
6、在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己 车票相符座位的坐法有_种(用数字作答) 答案 45 解析 设 5 名同学也用 A，B，C，D，E 来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符的坐法， 设 E 同学坐在自己的座位上，则其他四位都不坐自己的座位，则有 BADC，BDAC，BCDA， CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA，共 9 种坐法，则恰有一人坐对与自己车票 相符座位的坐法有 9545(种). 题型一题型一 排列问题排列问题 1某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了 _条毕业留言(用数字作答) 答案 1 560 解析 由题意知两两
7、彼此给对方写一条毕业留言相当于从 40 人中任选两人的排列数， 所以全 班共写了 A24040391 560(条)留言 2用 1,2,3,4,5,6 组成一个无重复数字的六位数，要求三个奇数 1,3,5 有且只有两个相邻，则 不同的排法种数为( ) A18 B108 C216 D432 答案 D 解析 根据题意，分三步进行：第一步，先将 1,3,5 分成两组，共 C23A22种排法；第二步，将 2,4,6 排成一排，共 A33种排法；第三步，将两组奇数插入三个偶数形成的四个空位，共 A24种 排法综上，共有 C23A22A33A2432612432(种)排法，故选 D. 3将 7 个人(其中包
8、括甲、乙、丙、丁 4 人)排成一排，若甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、 丁两人必须相邻，则不同的排法共有( ) A1 108 种 B1 008 种 C960 种 D504 种 答案 B 解析 将丙、丁两人进行捆绑，看成一人将 6 人全排列有 A22A66种排法；将甲排在排头，有 A22A55种排法；乙排在排尾，有 A22A55种排法；甲排在排头，乙排在排尾，有 A22A44种排法则 甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须相邻的不同排法共有 A22A66A22A55A22A55 A22A441 008(种) 思维升华 排列应用问题的分类与解法 (1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置
9、分析法、元素分析法，在实际进行排列时 一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过 多的问题可以采用间接法 (2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件 的排列问题的常用方法. 题型二题型二 组合问题组合问题 典例 某市工商局对 35 种商品进行抽样检查，已知其中有 15 种假货现从 35 种商品中选取 3 种 (1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？ (2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？ (3)恰有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ (4)至少有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ (5
10、)至多有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ 解 (1)从余下的 34 种商品中， 选取 2 种有 C234561(种)取法， 某一种假货必须在内的不同取法有 561 种 (2)从 34 种可选商品中，选取 3 种，有 C334种或者 C335C234C3345 984(种)取法 某一种假货不能在内的不同取法有 5 984 种 (3)从 20 种真货中选取 1 种，从 15 种假货中选取 2 种有 C120C2152 100(种)取法 恰有 2 种假货在内的不同的取法有 2 100 种 (4)选取 2 种假货有 C120C215种， 选取 3 种假货有 C315种， 共有选取方式 C120C
11、215C3152 100455 2 555(种) 至少有 2 种假货在内的不同的取法有 2 555 种 (5)方法一 (间接法) 选取 3 种的总数为 C335，因此共有选取方式 C335C3156 5454556 090(种) 至多有 2 种假货在内的不同的取法有 6 090 种 方法二 (直接法) 共有选取方式 C320C220C115C120C2156 090(种) 至多有 2 种假货在内的不同的取法有 6 090 种 思维升华 组合问题常有以下两类题型变化： (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元 素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从
12、剩下的元素中去选取 (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多” 这两个关键词的含义，谨防重复与漏解用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类 复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理 跟踪训练 (1)在某校 2017 年举办的第 32 届秋季运动会上，甲、乙两位同学从四个不同的运 动项目中各选两个项目报名，则甲、乙两位同学所选的项目中至少有 1 个不相同的选法种数 为( ) A30 B36 C60 D72 答案 A 解析 因为甲、乙两位同学从四个不同的项目中各选两个项目的选法有 C24C24种 其中甲、乙所选的项目完全相同的选法有 C24种， 所以甲、乙
13、所选的项目中至少有 1 个不相同的选法共有 C24C24C2430(种)故选 A. (2)(2017 武汉二模)若从 1,2,3，9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数，则不 同的取法共有( ) A60 种 B63 种 C65 种 D66 种 答案 D 解析 共有 4 个不同的偶数和 5 个不同的奇数，要使和为偶数，则 4 个数全为奇数，或全为 偶数，或 2 个奇数和 2 个偶数，故不同的取法有 C45C44C25C2466(种) 题型三题型三 排列与组合问题的综合应用排列与组合问题的综合应用 命题点 1 相邻、相间及特殊元素(位置)问题 典例 (1)(2018 青岛模拟)在高
14、三某班进行的演讲比赛中， 共有 5 位选手参加， 其中 3 位女生， 2 位男生，如果 2 位男生不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种 数为_ 答案 60 解析 2 位男生不能连续出场的排法共有 N1A33A2472(种)，女生甲排第一个且 2 位男生 不连续出场的排法共有 N2A22A2312(种)，所以出场顺序的排法种数为 NN1N260. (2)(2017 上饶一模)大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子 的现象普遍存在某城市关系要好的 A，B，C，D 四个家庭各有两个孩子共 8 人，他们准备 使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，
15、每车限坐 4 名(乘同一辆车的 4 个孩子不 考虑位置)， 其中 A 家庭的孪生姐妹需乘同一辆车， 则乘坐甲车的 4 个孩子恰有 2 个来自于同 一个家庭的乘坐方式共有( ) A18 种 B24 种 C36 种 D48 种 答案 B 解析 根据题意，分两种情况讨论： A 家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭，可以在剩下的三 个家庭中任选 2 个，再从每个家庭的 2 个孩子中任选一个来乘坐甲车， 有 C23C12C1212(种)乘坐方式； A 家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选 1 个，让其 2 个孩子都在甲 车上，对于剩余的两个家庭，从每个家庭的 2
16、个孩子中任选一个来乘坐甲车，有 C13C12C12 12(种)乘坐方式， 故共有 121224(种)乘坐方式，故选 B. 命题点 2 分组与分配问题 典例 (1)国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生， 毕业后要分到相应的地区任教现有 6 个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到 3 所学 校去任教，有_种不同的分派方法 答案 90 解析 先把 6 个毕业生平均分成 3 组，有C 2 6C 2 4C 2 2 A33 15(种)方法，再将 3 组毕业生分到 3 所学 校，有 A336(种)方法，故 6 个毕业生平均分到 3 所学校，共有C 2 6C 2 4C 2
17、 2 A33 A3390(种)分派方法 (2)(2017 广州调研)有 4 名优秀学生 A，B，C，D 全部被保送到甲、乙、丙 3 所学校，每所学 校至少去一名，则不同的保送方案共有_种 答案 36 解析 先把 4 名学生分为 2,1,1 共 3 组，有C 2 4C 1 2C 1 1 A22 6(种)分法，再将 3 组对应 3 个学校，有 A336(种)情况，则共有 6636(种)不同的保送方案 思维升华 (1)解排列、组合问题要遵循的两个原则 按元素(位置)的性质进行分类； 按事情发生的过程进行分步具体地说，解排列、组合问题常以元素(位置)为主体，即先 满足特殊元素(位置)，再考虑其他元素(
18、位置) (2)分组、分配问题的求解策略 对不同元素的分配问题 a对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后 一定要除以 Ann(n 为均分的组数)，避免重复计数 b 对于部分均分， 解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数， 即若有 m 组元素个数相等， 则分组时应除以 m！ ，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数 c对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不 需要除以全排列数 对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法” 跟踪训练 (1)(2017 全国)安排 3 名志愿者完成 4 项工作，
19、每人至少完成 1 项， 每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有( ) A12 种 B18 种 C24 种 D36 种 答案 D 解析 由题意可知，其中 1 人必须完成 2 项工作，其他 2 人各完成 1 项工作，可得安排方式 为 C13 C24 A2236(种)，或列式为 C13 C24 C12343 2 236(种)故选 D. (2)(2017 浙江)从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人 服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，则共有_种不同的选法(用数字作答) 答案 660 解析 方法一 只有 1 名女生时，先选 1 名女生
20、，有 C12种方法；再选 3 名男生，有 C36种方 法；然后排队长、副队长位置，有 A24种方法由分步乘法计数原理知，共有 C12C36A24480(种) 选法 有 2 名女生时，再选 2 名男生，有 C26种方法；然后排队长、副队长位置，有 A24种方法由 分步乘法计数原理知，共有 C26A24180(种)选法所以依据分类加法计数原理知，共有 480 180660(种)不同的选法 方法二 不考虑限制条件，共有 A28C26种不同的选法， 而没有女生的选法有 A26C24种， 故至少有 1 名女生的选法有 A28C26A26C24840180660(种) (3)把 5 件不同的产品摆成一排，若产品 A 与产品 B 相邻，且产品 A 与产品 C 不相邻，则不 同的摆法有_种 答案 36 解析 将产品 A 与 B 捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有 A22A44种方法，将 产品 A，B，C 捆绑在一起，且 A 在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有 A22A33种方 法于是符合题意的摆法共有 A22A44A22A3336(种)
