1、人教版小学三年级数学下册同步复习与测试讲义人教版小学三年级数学下册同步复习与测试讲义 第八第八章章 数学广角数学广角-搭配（二）搭配（二） 【知识点归纳总结】【知识点归纳总结】 简单的排列、组合 1排列组合的概念： 所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序 组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序 排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数 2解决排列、组合问题的基本原理： 分类计数原理与分步计数原理 （1）分类计数原理（也称加法原理）： 指完成一件事有很多种方法，各种方法相互独立，但用其中任何一种方法都可以做完这件事 那么各种不同
2、的方法数加起来，其和就是完成这件事的方法总数 如从甲地到乙地，乘火车有 3 种走法，乘汽车有 2 种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地， 所以共有 3+2=5 种不同的走法 （2）分步计数原理（也称乘法原理）： 指完成一件事，需要分成多个步骤，每个步骤中又有多种方法，各个步骤中的方法相互依存， 只有各个步骤都完成才算做完这件事 那么，每个步骤中的方法数相乘，其积就是完成这件事的方法总数 如从甲地经过丙地到乙地，先有 3 条路可到丙地，再有 2 路可到乙地，所以共有 32=6 种不 同的走法 【典型例题】 例 1：有 4 支足球队，每两支球队打一场比赛，一共要比赛（ ） A、4 场 B、6 场
3、C、8 场 分析：两两之间比赛，每只球队就要打 3 场比赛，一共要打 43 场比赛，这样每场比赛就被算了 2 次，所 以再除以 2 就是全部的比赛场次 解：432， =122， =6（场）； 故选：B 点评：甲与乙比赛和乙与甲的比赛是同一场比赛，所以要再除以 2 例 2： 小华从学校到少年宫有 2 条路线， 从少年宫到公园有 3 条路线， 那么小华从学校到公园一共有 （ ） 条路线可以走 A、3 B、4 C、5 D、6 分析：小华从学校到公园分两个步骤完成，第一步小华从学校到少年宫有 2 条路线即有两种方法，第二步 从少年宫到公园有 3 条路线即有 3 种方法，根据乘法原理，即可得解 解：23
4、=6， 答：小华从学校到少年宫有 2 条路线，从小年宫到公园有 3 条路线，那么小华从学校到公园一共有 6 条路 线可以走； 故选：D 点评：此题考查了简单的排列组合，分步完成用乘法原理 【同步测试】【同步测试】 单元同步测试题单元同步测试题 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1从 A 点到 C 点共有（ ）种走法 A3 B4 C2 24 个同学照相，每两人照一张，一共照了（ ）张 A4 B5 C6 D7 33 只小动物排队，一共有（ ）种排法 A3 B6 C9 4学习小组有 6 人，若从中挑选 3 人去参加一项体验活动，则共计有（ ）种选择方法 A12 B15 C18 D20 5
5、算盘的一个上珠表示 5，一个下珠表示 1（如图），现在用 1 个上珠和 2 个下珠，一共可以表示出（ ） 种不同的三位数 A6 B12 C21 6由两个 8 和两个 6 可以组成（ ）个不同四位数 A8 B7 C6 78 位老朋友聚会，每两人之间握一次手，一共握了（ ）次手 A16 B24 C28 D40 8用 2，4，7 这三个数字，一共可以组成（ ）个最简分数，【分子、分母每次分别只能使用一个数字】 A4 B6 C5 D3 9用 4、0、5 三张数字卡片可以组成（ ）个不同的三位数 A4 B5 C6 10今年“国庆七日长假”，陆老师想参加“千岛湖双日游”，哪两天去呢，陆老师共有多少种不同的
6、选 择？（ ） A5 种 B6 种 C4 种 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 11由 1、2、3 这三个数字能组成的三位数一共有 个，它们的和是 12用三张卡片，一共能组成 个三位数，其中最大的数是 13盒子里有除颜色外其他都相同的 6 个红色的小球和 4 个蓝色的小球，从中任意摸出一个小球，有 种可能；从中任意摸出两个小球，有 种可能 14用 0、1、3、5、7、9 最多可组成 个不同的六位数，最大的是 ，最小的是 15有三把锁和三把钥匙，现在用三把钥匙去打开三把锁，最多要试 次 16在一块并排 10 垄的田地中，选择 2 垄种植 A、B 两种作物，每种作物种植一垄为有利于作物生
7、长， 要求 A、B 两种作物的间隔不小于 6 垄，则不同的选垄种植方法有 种 17六年级 4 个班之间将举行拔河比赛，采用单循环制进行比赛，全年级一共要进行 场比赛 18有一楼梯共 12 级，如规定每次只能跨上一级或两级，要登上第 12 级，共有 不同的走法 三判断题（共三判断题（共 5 小题）小题） 19用 0、1、5、9 四个数字组成的四位数中，最小的是 1059 （判断对错） 20用 3、0、5 可以组成 6 个不同的两位数 （判断对错） 21用数字 1、6、0、8、4 组成的一个最大的五位数是 86410 （判断对错） 22用 0、1、2 能组成 4 个没有重复的两位数 （判断对错）
8、23用 2、5、0、9 这四个数字所能够组成的三位数和四位数的个数一样多，都是 18 个 （判断对 错） 四应用题（共四应用题（共 4 小题）小题） 24用 1、2、3 这三个数字中的两个或三个，你能写出哪些小数部分只有一位的小数？ 25用 4、0、7 这三个数字和小数点可以组成多少个小于 1 的两位小数？如果组成大于 4 的两位小数呢？ （把能够组成的小数依次写下来） 26学校举行乒乓球单打比赛，参赛者有 7 个同学，每个同学都要与其他同学比赛场，请问一共要比赛多 少场？ 27用 0、1、5、8 这四个数字，可以组成多少个不同的四位数？从小到大排列，1850 是第几个？ 五解答题（共五解答题
9、（共 2 小题）小题） 28想一想，试一试 用 2、0、3、5、8 这五张数字卡片组成最大的五位数和最小的五位数，然后用计算器算一算他们的差与 和各是多少？ 29三人想代表我们三年 1 班，进行“一带一”的跳绳比赛，这三个人有 种组合方案请在上面的 图上连一连 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1【分析】从 A 点开始到 C 点结束，共有两条路可走：ABC，ADC，据此解答即可 【解答】解：从 A 点到 C 点共有 2 种走法：ABC，ADC 故选：C 【点评】本题关键是明确行走路线中各点的顺序 2【分析】先不考虑重复的情况，每两人照一张，每个
10、人要和其他 3 人照 3 次，一共照了 3412 张； 由于每个人重复多算了 1 次，所以实际上一共照了（1226）张 【解答】解：根据题意可得： 342， 6（张）； 答：一共照了 6 张 故选：C 【点评】本题考查了组合知识，要注意不能重复计数，关键要理解：在不考虑重复的情况每个人要和其 他 3 人照 3 次 3【分析】每种小动物排在第一名都有 2 种排法，那么 3 个小动物排队，一共有（23）种排法 【解答】解：假设是甲、乙、丙 3 只小动物排队，就有以下排法： 甲 ， 乙 ， 丙 ； 所以一共的排法是： 326（种） 故选：B 【点评】本题考查了排列知识，要注意排列的顺序，关键要理解每
11、种小动物排在第一名都有 2 种排法 4【分析】从 6 个中先选 1 个，有 6 种选法；再从剩余 5 个中再选 1 个，有 5 种选法；再从剩余 4 个中选 1 个，有 4 种选法；总选法有 654120 种，重复的次数：3 个人可以排列出 326 种可能，相除 即可得到答案 【解答】解：从 6 个中先选 1 个，有 6 种选法；再从剩余 5 个中再选 1 个，有 5 种选法；再从剩余 4 个 中选 1 个，有 4 种选法； 总选法：654120（种） 重复的次数：3 个人可以排列出 326（种） 120620（种） 故选：D 【点评】这道题中先计算出 6 个人中选出 3 个人进行有顺序的排列
12、，得到 120 种，再计算出重复计算的 次数，相除即可得到答案 5【分析】此题可以分类列举，可以分为： 1 个上珠在百位，2 个下珠都在十位、2 个下珠都在个位、1 个下珠在十位，1 个在个位，共 3 种情况； 1 个上珠和 1 个下珠在百位，1 个下珠在个位、1 个下珠在十位，共 2 种情况； 1 个上珠和 2 个下珠都在百位，只有 1 中情况； 1 个下珠在百位，1 个上珠与 1 个下珠在十位、1 个上珠与 1 个下珠在个位、1 个上珠在十位与 1 个下 珠在个位、1 个下珠在十位与 1 个上珠在个位，共 4 种情况； 2 个下珠在百位，1 个上珠在十位、1 个上珠在个位，共 2 种情况；
13、 然后再把这 5 类三位数的个数加起来即可 【解答】解：根据分析可得： 520，502，511； 601，610； 700； 160，106，151，115； 250，205； 一个可以表示：3+2+1+4+212（种） 故选：B 【点评】此题考查了有关简单的排列、组合的知识，对于这类问题，应注意恰当分类 6【分析】写出用 8、8、6、6 组成的不同四位数，进而求出个数 【解答】解：用 8、8、6、6 组成的不同四位数有： 8866，8686，8668； 6886，6868，6688； 一共是 6 个 故选：C 【点评】列举四位数时，要注意按照一定顺序写，做到不重复、不漏写 7【分析】每个人都
14、要和其他所有人握手，所以 8（81）56（次），这样重复算了一次，再除以 2 即可 【解答】解：每个人都要和其他所有人握手，所以 8（81）56（次） 56228（次） 故选：C 【点评】在这道题中，先计算出每个人和其他人握手，再求和，这样就出现了重复计算，一定要除以 2， 才能得到正确答案 8【分析】从 3 个数中任取一个作分子，再从剩下 2 个中任取 1 个作分母，可以取 2 次，每次组成（31） 个分数，由于和不是最简分数，所以先计算出组成分数的个数，再减去不是最简分数的分数个数即 可 【解答】解：组成的分数的个数： 3（31） 32 6（个） 由于和不是最简分数，所以一共可以组成 62
15、4 个最简分数 答：一共可以组成 4 个最简分数 故选：A 【点评】解答此题要注意组成的分数中有两个不是最简分数 9【分析】根据百位上数字的不同，我们可以将它们分成两类： 1、百位上是 4 时，能组成哪些三位数； 2、百位上是 5 时，能组成哪些三位数 【解答】解：1、百位上是 4 时，组成的数有：450、405； 2、百位上是 3 时，组成的数有：504，540 共有 4 个 答：一共可以组 4 个不同的三位数 故选：A 【点评】此题考查了有关简单的排列知识，对于这类问题，注意分类思想的运用，做到不重复不遗漏 10【分析】度假的这两天是相邻的两天，只要不把第一天放在 10 月 7 日（最后一
16、天）即可 【解答】解：陆老师可以选择以下的两天去旅游： 10 月 1 日和 10 月 2 日；10 月 2 日和 10 月 3 日；10 月 3 日和 0 月 4 日；10 月 4 日和 10 月 5 日；10 月 5 日和 10 月 6 日；10 月 6 日和 10 月 7 日 共 6 种选择 故选：B 【点评】本题只要理解这两天是相邻的两天，问题不难解决 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 11【分析】（1）求能组成的三位数共有几个，分下列几种情况：“1”在首位；“2”在首位；“3” 在首位； （2）求和，把求出的这几个数加起来即可 【解答】解：（1）“1”在首位：123，132；
17、“2”在首位：213，231；“3”在首位：312，321； 因此，共有 6 个； （2）123+132+213+231+312+321， （100+200+300）2+（23+32+13+31+12+21）， 1200+132， 1332 故答案为：6，1332 【点评】此题考查了数的组成以及简单的排列组合知识如果有 4 个数字，能组成三位数的个数，可以 这样计算：4321；如果有 n 个数字，能组成三位数的个数，也可以用简便的算法求出 12【分析】写出这个样的三位数全部可能，进而求解；要求最大的三位数，就要把所给的数字从高位到 低位按从大到小的顺序排列，即 530；据此解答 【解答】解：用
18、 3、0、5 组成的三位数有：305、350、530、503，共有 4 个；最大的三位数是 530 故答案为：4，530 【点评】解答此题应注意“0”不能放在首位的情况 13【分析】盒子里有除颜色外其他都相同的 6 个红色的小球和 4 个蓝色的小球，从中任意摸出一个小球， 有 2 种可能，要么是红球，要么是篮球；从中任意摸出两个小球，有 3 种可能，1 红 1 篮，两红，两篮； 由此解答即可 【解答】解：盒子里有除颜色外其他都相同的 6 个红色的小球和 4 个蓝色的小球，从中任意摸出一个小 球，有 2 种可能；从中任意摸出两个小球，有 3 种可能 故答案为：2，3 【点评】此题考查了简单的排列
19、组合，根据题意进行列举，运用列举法，是解答此题的关键 14 【分析】 根据题意， 用六个不同的自然数最多可以组成的六位数的个数为： 654321720 （个） ， 但是，这组数中有 0，0 不能放在最高位，所以要去掉：54321120（个），所以组成六位数的 个数为：720120600（个）要想使这个六位数大，较大的数字应该在高位，所以是：975310；要想 使这个六位数小，较小的数字应该在高位，但是 0 不能在最高位，所以是 103579 【解答】解：65432154321 720120 600（个） 最大是：975310，最小是：103579 故答案为：600；975310；103579
20、【点评】本题主要考查简单的排列组合，关键利用乘法原理计算 15【分析】从最坏的情况考虑：每次都到试到最后一把锁才打开，则拿 3 把钥匙开第一把锁，至少要试 3 次，进一步用剩下的 2 把钥匙开第二把锁，至少要试 2 次，最后一把只需 1 次就可打开，由此解决问题 【解答】解：3+2+16（次） 答：最多要试 6 次 故答案为：6 【点评】解决此题的关键在于要考虑最坏的结果，用运用类推的方法解答问题 16【分析】如下图所示，满足条件的情况有 6 种可能，当 A 或 B 种在第一垄，要求 A、B 两种作物的间 隔不小于 6 垄，则 B 或 A 有 3 种可能，即种在第八或第九或第十垄； 当 A 或
21、 B 种在第二垄，要求 A、B 两种作物的间隔不小于 6 垄，则 B 或 A 有 2 种可能，即种在第九或第 十垄； 当 A 或 B 种在第一垄，要求 A、B 两种作物的间隔不小于 6 垄，则 B 或 A 有 1 种可能，即种在第十垄； 因此得解 【解答】解：（3+2+1）26212（种）； 答：则不同的选垄种植方法有 12 种 故答案为：12 【点评】此题考查了简单的排列、组合分类完成工作，每一类中的方法可以独立完成工作，用加法 17【分析】由于采用单循环制进行比赛，所以每个班都要和其它三个班赛一场，即进行 3 场比赛；四个 班一共要有 3412 场比赛，又因为每两个班重复计算了一次，所以实
22、际全年级一共要进行了 122 6 场比赛 【解答】解：342， 122， 6（场）； 答：全年级一共要进行 6 场比赛 故答案为：6 【点评】本题考查了加法原理即完成一件事情有 n 类方法，第一类中又有 M1种方法，第二类中又有 M2 种方法，第 n 类中又有 Mn种方法，那么完成这件事情就有 M1+M2+Mn种方法 18【分析】从最简单的 1 级开始分析，逐一到 2 级、3 级找出规律解决问题 【解答】解：1 级：1 种； 2 级：2 种；（走 1 级或走 2 级） 3 级：3 种；（全走 1 级，走 1+2 或 2+1） 4 级：5 种；（全走 1 级，2+1+1，1+2+1，1+1+2，
23、2+2） 5 级：8 种；（全走 1 级，2+1+1+1，1+2+1+1，1+1+2+1，1+1+1+2，2+2+1，2+1+2，1+2+2） 【兔子数列】 1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233 答：共有 233 种不同的走法 【点评】此题考查了简单的排列、组合，认真分析题意，得出结论 三判断题（共三判断题（共 5 小题）小题） 19【分析】要想组成的数最小，要把数按照从小到大的顺序从高位到低位排下来，但是最高位不能是零 【解答】解：用 0、1、5、9 组成四位数， 如果组成的四位数最小，那么 0 不能在千位上， 最小的数只能填上 1，然后从小到大的把其它三个数字写
24、出来组成的四位数就是最小的， 所以最小的数是 1059 故答案为： 【点评】此题主要考查整数的组成，求组成的最小的数，该数从最高位到最低位，数字选择由小到大， 但最高位上的数字不能为 0 20【分析】用 3、0、5 可以组成不同的两位数，由于最高位不能为 0，所以十位数只能是 3 或 5，运用穷 举法写出所有的可能，再判断 【解答】解：用 3、0、5 三个数能组成的两位数有 30、35、50、53，共有 4 个 所以题干说法错误 故答案为： 【点评】本题是简单的排列问题，注意 0 不能放在最高位十位上 21【分析】要使用数字 1、6、0、8、4 组成的五位数最大，则最高位上是五个数字中的最大数
25、 8，其余的 数位上的数分别是 6、4、1、0 【解答】解：因为用数字 1、6、0、8、4 组成的一个最大的五位数是 86410， 所以题中说法正确 故答案为： 【点评】此题主要考查了简单的排列、组合问题，以及整数的组成，要熟练掌握 22【分析】运用穷举法写出所有的可能，注意不能重复和遗漏 【解答】解：用 0、1、2 能组成的没有重复数字的两位数有： 10，12，20，21；一共是 4 个 原题说法正确 故答案为： 【点评】本题是简单的排列问题，注意 0 不能放在最高位十位上 23【分析】用 2、5、0、9 这四个数字所能够组成的三位数：先排百位，因为 0 不能放在百位上，所以有 3 种排法；
26、再排十位，有 3 种排法；再排个位，有 2 种排法；共有 33218 种； 用 2、5、0、9 这四个数字所能够组成的四位数先排千位，因为 0 不能放在千位上，所以有 3 种排法；再 排百位，有 3 种排法；再排十位，有 2 种排法；再排个位，有 1 种排法，共有 332118 种排法， 即有 18 个不同的四位数据此解答 【解答】解：根据分析可得， 用 2、5、0、9 这四个数字所能够组成的三位数和四位数的个数都是： 33218（种） 332118（种） 所以用 2、5、0、9 这四个数字所能够组成的三位数和四位数的个数一样多，都是 18 个说法正确 故答案为： 【点评】本题考查了复杂的乘法
27、原理即做一件事情，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有 M1种不同 的方法，做第二步有 M2种不同的方法，做第 n 步有 Mn种不同的方法，那么完成这件事就有 M1 M2Mn种不同的方法 四应用题（共四应用题（共 4 小题）小题） 24【分析】用 1、2、3 这三个数字中的两个或三个组成小数部分只有一位的小数，可以分取 2 个数字、3 个数字来组数，分别列举出所有能组成的一位小数即可 【解答】解：取 2 个数字可以组成：1.2、2.1、1.3、3.1、2.3、3.2， 取 3 个数字可以组成：12.3、21.3、23.1、32.1、13.2、31.2 【点评】此题考查了简单的排列组合，注意按
28、一定的顺序列举，不要遗漏 25【分析】用 4、0、7 这三个数字和小数点可以组成小于 1 的两位小数，则个位上只能是 0，可以组成 0.47、0.74，如果组成大于 4 的两位小数，则个位上只能是 4，可以组成 4.07、4.70，据此解答 【解答】解：用 4、0、7 这三个数字和小数点可以组成小于 1 的两位小数是 0.47、0.74， 如果组成大于 4 的两位小数，可以组成 4.07、4.70 【点评】解答此题关键是确定个位数，注意是组成两位小数 26【分析】由于每两名运动员之间都要进行一场比赛，也就是每个人都要和另外的（71）个人进行一 场比赛，一共要进行 7642（场），但是每两个人之
29、间重复计数了一次，所以实际一共要进行 422 21（场）比赛据此解答 【解答】解：7（71）2 762 422 21（场）， 答：一共要比赛 21 场 【点评】本题先从一个人进行的比赛场次入手易于寻找答案，再在每个人进行的比赛场次都相同的基础 上，去掉重复计数的情况，即可解答 27【分析】先排千位，因为 0 不能放在千位上，所以有 3 种排法；再排百位，有 3 种排法；再排十位， 有 2 种排法；再排个位，有 1 种排法，共有 332118 种； 先看比 1850 小的数有多少个，千位只能是 1，百位为 0 时，有 2 个；百位为 5 时，有 2 个；百位为 8 时， 有 1 个，共 2+2+
30、15 个，所以 1850 是第 6 个 【解答】解：根据分析可得， 332118（种）， 可以组成 18 个不同的四位数 由分析可得比 1850 小的数有 2+2+15 个， 所以从小到大排列，1850 是第 6 个 【点评】本题考查了复杂的乘法原理即做一件事情，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有 M1种不同 的方法，做第二步有 M2种不同的方法，做第 n 步有 Mn种不同的方法，那么完成这件事就有 M1 M2Mn种不同的方法 五解答题（共五解答题（共 2 小题）小题） 28【分析】要想组成的数最大，要把数按照从大到小的顺序从高位到低位排下来；要想组成的数最小， 要把数按照从小到大的顺序从
31、高位到低位排下来， 但是零不能放在最高位 然后再求他们的差与和即可 【解答】解：用 2、0、3、5、8 五个数字卡片组成最大的五位数是：85320，最小的五位数是：20358； 853202035864962 85320+20358105678 答：最大的五位数是 85320，最小的五位数是 20358；他们的差是 64962，和是 105678 【点评】要求最大的几位数，从给出数字中，数字大的在最高位，从左向右以此类推即可；要求最小的 几位数，从给出数字中，数字小的在最高位，从左向右以此类推即可，注意最高位上不能是 0 29【分析】每两个进行重新组合，可看作是两两握手，每个人都要和另外的 2 个人组合一次，3 个人共组 合 326 次，去掉重复的情况，实际只组合了 623 种，据此解答 【解答】解：（31）32 62 3（种）； 答：一共有 3 种组合方法 故答案为：3 【点评】本题是典型的握手问题，如果数目比较少，可以用枚举法解答；如果数目比较多，可以用公式： n（n1）2 解答
