1、第 1 页 共 11 页 中考总复习中考总复习：勾股定理及其逆定理：勾股定理及其逆定理(提高提高) 巩固练习巩固练习 【巩固练习】【巩固练习】 一、一、选择题选择题 1（2011 湖北黄石）将一个有 45 度角的三角板的直角顶点 C 放在一张宽为 3cm 的纸带边沿上，另一个 顶点 A 在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成 30 度角，如图，则三角板 的最大边的长为（ ）. A. 3cm B. 6cm C. 3cm D. 6cm 2在中，若，则是（ ）. . 锐角三角形 . 钝角三角形 . 等腰三角形 . 直角三角形 3. 如图，已知直角梯形 ABCD 中，ADBC，A
2、BBC，AD=2，BC=DC=5，点 P 在 BC 上移动，则当 PA+PD 取最小值时，APD 中边 AP 上的高为（ ）. A. B. C. D.3 4.如图， 分别以直角的三边为直径向外作半圆 设直线左边阴影部分的面 积为，右边阴影部分的面积和为，则（ ）. A B C D无法确定 5. （2014 春临沭县期中） 如图， 是一长、 宽都是 3cm， 高 BC=9cm 的长方体纸箱， BC 上有一点 P， PC= BC， 一只蚂蚁从点 A 出发沿纸箱表面爬行到点 P 的最短距离是（ ） 第 2 页 共 11 页 A6cm B3cm C10cm D12cm 6.（2012宁波）勾股定理是几
3、何中的一个重要定理在我国古书周髀算经中就有“若勾三，股 四，则弦五”的记载如图 1 是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证 勾股定理图 2 是由图 1 放入矩形内得到的，BAC=90，AB=3，AC=4，点 D，E，F，G，H，I 都在 矩形 KLMJ 的边上，则矩形 KLMJ 的面积为（ ）. A.90 B100 C110 D121 二、二、填空题填空题 7. 如图， 在由 12 个边长都为 1 且有一个锐角是 60的小菱形组成的网格中， 点 P 是其中的一个顶点， 以点 P 为直角顶点作格点直角三角形（即顶点均在格点上的三角形） ，请你写出所有可能的直角三角 形斜边
4、的长_ 8. 如图，已知点 F 的坐标为(3，0)，点 A、B 分别是某函数图象与 x 轴，y 轴的交点，点 P 是此图像上 的一动点，设点 P 的横坐标为 x，PF 的长为 d，且 d 与 x 之间满足关系：d=5x(0x5),则结论： AF=2； BF=5； OA=5； OB=3 中，正确结论的序号是_. 9.（2014达州）如图，折叠矩形纸片 ABCD，使点 B 落在边 AD 上，折痕 EF 的两端分别在 AB、BC 上（含 端点） ，且 AB=6cm，BC=10cm则折痕 EF 的最大值是 cm 第 3 页 共 11 页 10.勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣1955 年希
5、腊发行了二枚以勾股图为背景的邮 票所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理在右图的勾股 图中，已知ACB=90，BAC=30，AB=4作PQR 使得R=90，点 H 在边 QR 上，点 D，E 在边 PR 上，点 G，F 在边 PQ 上，那么PQR 的周长等于_. 11观察下列一组数： 列举：3、4、5，猜想：3 2=4+5； 列举：5、12、13，猜想：5 2=12+13； 列举：7、24、25，猜想：7 2=24+25； 列举：13、b、c，猜想：13 2=b+c； 请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得 b=_,c=_. 12.如图， 正方体的棱长为 2
6、， O 为 AD 的中点， 则 O， A1， B 三点为顶点的三角形面积为_ 三、解答三、解答题题 13. 作长为、的线段. 14.如图 A、B 为两个村庄，AB、BC、CD 为公路，BD 为田地，AD 为河宽，且 CD 与 AD 互相垂直。现要 从点 E 处开设通往村庄 A、村庄 B 的一条电缆，现在共有两种铺设方案：方案一：EDAB；方案 二：ECBA经测量得千米，BC=10 千米，BDC=45，ABD=15已知：地下电 缆的修建费为 2 万元千米，水下电缆的修建费为 4 万元千米 求：1)河宽 AD(结果保留根号)； 2)公路 CD 的长; 3)哪种方案铺设电缆的费用低?请说明理由。 第
7、 4 页 共 11 页 15. （2014 春朝阳区期末）如图，RtABC 中，ACB=90，BAC=30，AB=4，分别以 AB、BC、AC 为边作正方形 ABED、BCFK、ACGH，再作 RtPQR，使R=90，点 H 在边 QR 上，点 D、E 在边 PR 上， 点 G、F 在边 PQ 上，求 PQ 的长？ 16刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图、图中，B=90， A=30，BC=6cm；图中，D=90，E=45，DE=4cm图是刘卫同学所做的一个实验：他将 DEF 的直角边 DE 与ABC 的斜边 AC 重合在一起，并将DEF 沿 AC 方向移动在移动过程中，
8、D、E 两点始终在 AC 边上（移动开始时点 D 与点 A 重合） （1）在DEF 沿 AC 方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C 两点间的距离逐渐_. （填“不 变” 、 “变大”或“变小” ） （2）刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题： 问题：当DEF 移动至什么位置，即 AD 的长为多少时，F、C 的连线与 AB 平行？ 问题：当DEF 移动至什么位置，即 AD 的长为多少时，以线段 AD、FC、BC 的长度为三边长的三角 形是直角三角形？ 问题：在DEF 的移动过程中，是否存在某个位置，使得FCD=15？如果存在，求出 AD 的长度； 如果不存在，请说明理由 请你分别完成上述三
9、个问题的解答过程 第 5 页 共 11 页 【答案与解析】【答案与解析】 一选择题一选择题 1.【答案】D. 【解析】过点 A 作 AH 垂直于纸带边沿于点 H， 在直角AHC 中，AH=3，ACH=30， AC=2AH=6, 再在等腰直角ABC 中，AC=6, B=45， AB=. 故选 D. 2 【答案】D. 【解析】因为=4，所以， ，由勾股定理的逆定理可知：ABC 是直角三角形, 答案选 D. 3 【答案】C 【解析】如图，过 D 点作 DEBC 于 E,则 DE=AB，AD=BE,EC=BCBE=3 在 RtCDE 中，DE=, 延长 AB 至 F，使 AB=BF，连接 DF，交 B
10、C 于 P 点，连接 AP， 这时候 PA+PD 取最小值， ADBC，B 是 AF 中点， 在 RtABP 中，AP= =,故选 C. 4 【答案】A. 【解析】圆的面积为，设三条边长为 a,b,c,分别表示三块阴影部分面积，用勾股定理即可. 第 6 页 共 11 页 5 【答案】A 【解析】 （1）如图 1，AD=3cm，DP=3+6=9cm，在 Rt ADP 中，AP=3cm； （2）如图 2，AC=6cm，CP=3+3=6cm， Rt ADP 中，AP=6cm 综上，蚂蚁从点 A 出发沿纸箱表面爬行到点 P 的最短距离是 6cm故选 A 6 【答案】 C. 二填空题二填空题 7 【答案
11、】2，4，. 【解析】如下图，可能的直角三角形斜边长有 2，4，. 8 【答案】； ； . 【解析】令 x=0 得到 d=5,此时点 P 与点 B 重合，BF=5，由勾股定理的 OB=4.令 x=5 得到 d=2,此时点 P 与点 A 重合，可得 AO=5，AF=2. 9 【答案】. 【解析】如图，点 F 与点 C 重合时，折痕 EF 最大， 由翻折的性质得，BC=BC=10cm， 在 Rt BDC 中，BD=8cm， AB=ADBD=108=2cm， 设 BE=x，则 BE=BE=x， AE=ABBE=6x， 在 Rt ABE 中，AE2+AB2=BE2， 即（6x）2+22=x2， 第 7
12、 页 共 11 页 解得 x=， 在 Rt BEF 中，EF=cm 故答案为： 10 【答案】27+133 【解析】在直角ABC 中，根据三角函数即可求得 AC，进而由等边三角形的性质和正方形的性质及 三角函数就可求得 QR 的长，在直角QRP 中运用三角函数即可得到 RP、QP 的长，就可求出PQR 的周长 11.【答案】 84,85. 【解析】认真观察三个数之间的关系：首先发现每一组的三个数为勾股数，第一个数为从 3 开始 连续的奇数，第二、三个数为连续的自然数；进一步发现第一个数的平方是第二、三个数的和； 最后得出第 n 组数为（2n+1） ， （ 2 ( 21 ) 1 2 n ） ，
13、（ 2 ( 21 ) 1 2 n ） ，由此规律解决问题 12 【答案】6. 【解析】直角AA1O 和直角OBA 中，利用勾股定理可以得到 OA1=OB=5， 在直角A1AB 中，利用勾股定理得 A1B=22，过点 O 作高，交 A1B 与 M，连接 AM， 则AOM 是直角三角形，则 AM= 1 2 A1B=2，OM= 22 OAAM=3， OA1B 的面积= 1 2 A1BOM=6 三三. .综合题综合题 13 【解析】 作法作法：如图所示 第 8 页 共 11 页 （1）作直角边为 1（单位长度）的等腰直角ACB，使 AB 为斜边； （2）作以 AB 为一条直角边，另一直角边为 1 的
14、Rt。斜边为； （3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边、的长 度就是、. 14 【解析】1).过 B 作 BFAD 交 DA 延长线于 F， 在 RtABF 中，可知BAF=60，AB， BF=6， 在 RtBFD 中，BDF=45， DF=BF=6， 2).过 B 作 BGCD 于 G，则 BG=6，BC=10，有 CG=8， DC=CG+DG=14. 3).设 CE=x，则方案一、二费用分别为： ， ， 由可解得 当CE14 时，方案一较省； 当 0CE时，方案二较省； 当 CE=时，方案一、二均可 15 【解析】 解：延长 BA 交 QR 于点 M，连接 AR，AP 在 AB
15、C 和 GFC 中 ， ABCGFC（SAS） ， CGF=BAC=30， 第 9 页 共 11 页 HGQ=60， HAC=BAD=90， BAC+DAH=180， 又ADQR， RHA+DAH=180， RHA=BAC=30， QHG=60， Q=QHG=QGH=60， QHG 是等边三角形 AC=ABcos30=4=2， 则 QH=HA=HG=AC=2， 在直角 HMA 中，HM=AHsin60=2=3，AM=HAcos60=， 在直角 AMR 中，MR=AD=AB=4 QR=2+3+4=7+2， QP=2QR=14+4 故答案为：14+4 16. 【解析】 （1）变小； （2）问题：B
16、=90，A=30，BC=6cm AC=12 FDE=90，DEF=45，DE=4 DF=4cm 连接 FC，设 FCAB FCD=A=30 在 RtFDC 中，DC=43 AD=AC-DC=12-43 AD=12-43时，FCAB； 问题：设 AD=x，在 RtFDC 中，FC 2=DC2+FD2=（12-x）2+16 AC=12cm，DE=4cm， AD8cm， （I）当 FC 为斜边时， 由 AD 2+BC2=FC2得，x2+62=（12-x）2+16，x=31 6 ； 第 10 页 共 11 页 （II）当 AD 为斜边时， 由 FC 2+BC2=AD2得， （12-x）2+16+62=
17、x2，x=49 6 8（不合题意舍去） ； （III）当 BC 为斜边时， 由 AD 2+FC2=BC2得，x2+（12-x）2+16=36，x2-24x+160=0， 方程无解， 由（I） 、 （II） 、 （III）得，当 x= 31 6 时，以线段 AD、FC、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角 形； 另解：BC 不能为斜边， FCCD，FC+AD12 FC、AD 中至少有一条线段的长度大于 6， BC 不能为斜边， 由（I） 、 （II） 、 （III）得，当 x= 31 6 cm 时，以线段 AD、FC、BC 的 长度为三边长的三角形是直角三角形； 问题：解法一：不存在这样的位置
18、，使得FCD=15, 理由如下： 假设FCD=15 EFC=30 作EFC 的平分线，交 AC 于点 P 则EFP=CFP=15，DFE+EFP=60 PD=43，PC=PF=2FD=8 PC+PD=8+4312 不存在这样的位置，使得FCD=15; 解法二：不存在这样的位置，使得FCD=15 假设FCE=15AD=x 由FED=45 得EFC=30 作 EHFC，垂足为 H HE= 1 2 EF=22 CE=AC-AD-DE=8-x 且 FC 2=（12-x）2+16 FDC=EHC=90 DCF 为公共角 CHECDF EC FC = HE DF 又（ HE DF ） 2=（2 2 4 ） 2=1 2 第 11 页 共 11 页 （ EC FC ） 2=1 2 ，即 2 2 (8) (12)16 x x = 1 2 整理后，得到方程 x 2-8x-32=0 x1=4-430（不符合题意，舍去） x2=4+438（不符合题意，舍去） 不存在这样的位置，使得FCD=15
