北京四中九年级下册数学二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象与性质—知识讲解(基础)

上传人:hua****011 文档编号:129728 上传时间:2020-03-28 格式:DOC 页数:6 大小:223KB
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1、 第 1 页 共 6 页 二次函数二次函数 y=axy=ax 2 2+bx+c(a +bx+c(a0)0)的图的图象象与性质与性质知识讲解知识讲解(基础)(基础) 【学习目标】【学习目标】 1. 会用描点法画二次函数 2 (0)yaxbxc a的图象; 会用配方法将二次函数 2 yaxbxc的解 析式写成 2 ()ya xhk的形式; 2.通过图象能熟练地掌握二次函数 2 yaxbxc的性质; 3.经历探索 2 yaxbxc与 2 ()ya xhk的图象及性质紧密联系的过程, 能运用二次函数的图象 和性质解决简单的实际问题,深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想 【要点梳理】【要点梳理】 要点

2、一、要点一、二次函数二次函数 2 (0)yaxbxc a与与 2 ()(0)ya xhk a之间的相互关系之间的相互关系 1.1.顶点式化成一般式顶点式化成一般式 从函数解析式 2 ()ya xhk我们可以直接得到抛物线的顶点(h,k),所以我们称 2 ()ya xhk为顶点式,将顶点式 2 ()ya xhk去括号,合并同类项就可化成一般式 2 yaxbxc 2.2.一般式化成顶点式一般式化成顶点式 22 222 22 bbbb yaxbxca xxca xxc aaaa 2 2 4 24 bacb a x aa 对照 2 ()ya xhk,可知 2 b h a , 2 4 4 acb k a

3、 抛物线 2 yaxbxc的对称轴是直线 2 b x a ,顶点坐标是 2 4 , 24 bacb aa 要点诠释:要点诠释: 1抛物线 2 yaxbxc的对称轴是直线 2 b x a ,顶点坐标是 2 4 , 24 bacb aa ,可以当作公 式加以记忆和运用 2求抛物线 2 yaxbxc的对称轴和顶点坐标通常用三种方法:配方法、公式法、代入法,这 三种方法都有各自的优缺点,应根据实际灵活选择和运用 第 2 页 共 6 页 要点二、要点二、二次函数二次函数 2 (0)yaxbxc a的图的图象象的画法的画法 1.1.一般方法:列表、描点、连线;一般方法:列表、描点、连线; 2.2.简易画法

4、:五点定形法简易画法:五点定形法. . 其步骤为: (1)先根据函数解析式, 求出顶点坐标和对称轴, 在直角坐标系中描出顶点 M, 并用虚线画出对称轴 (2)求抛物线 2 yaxbxc与坐标轴的交点, 当抛物线与 x 轴有两个交点时,描出这两个交点 A、B 及抛物线与 y 轴的交点 C,再找到点 C 关于对 称轴的对称点 D,将 A、B、C、D 及 M 这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来 要点诠释:要点诠释: 当抛物线与 x 轴只有一个交点或无交点时,描出抛物线与 y 轴的交点 C 及对称点 D,由 C、M、D 三 点可粗略地画出二次函数图象的草图;如果需要画出比较精确的图象,可再描出

5、一对对称点 A、B,然后 顺次用平滑曲线连结五点,画出二次函数的图象, 要要点三、点三、二次函数二次函数 2 (0)yaxbxc a的图的图象象与性质与性质 1.1.二次函数二次函数 2 0()yaxbxc a图图象与象与性质性质 函数 二次函数 2 yaxbxc(a、b、c 为常数,a0) 图象 0a 0a 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 2 b x a 直线 2 b x a 顶点坐标 2 4 , 24 bacb aa 2 4 , 24 bacb aa 增减性 在对称轴的左侧, 即当 2 b x a 时, y 随 x 的增 大而减小;在对称轴的右侧,即当 2 b x a 时, y 随 x

6、 的增大而增大简记:左减右增 在对称轴的左侧,即当 2 b x a 时,y 随 x 的增大而增大;在对称轴的右侧, 即当 2 b x a 时,y 随 x 的增大而减 小简记:左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点,当 2 b x a 时,y 有最小值, 2 4 4 acb y a 最小值 抛物线有最高点,当 2 b x a 时,y 有 最大值, 2 4 4 acb y a 最大值 第 3 页 共 6 页 2.2.二次函数二次函数 2 0()yaxbxc a图图象象的特征与的特征与 a a、b b、c c 及及 b b 2 2- -4ac 4ac 的符号之间的关系的符号之间的关系 项目 字母 字

7、母的符号 图象的特征 a a0 开口向上 a0 开口向下 b ab0(a,b 同号) 对称轴在 y 轴左侧 ab0(a,b 异号) 对称轴在 y 轴右侧 c c=0 图象过原点 c0 与 y 轴正半轴相交 c0 与 y 轴负半轴相交 b 2-4ac b 2-4ac=0 与 x 轴有唯一交点 b 2-4ac0 与 x 轴有两个交点 b 2-4ac0 与 x 轴没有交点 要点四、要点四、求求二次函数二次函数 2 (0)yaxbxc a的最大的最大(小)值的方法(小)值的方法 如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大(或最小)值,即当 2 b x a 时, 2 4 4 acb y a

8、 最值 要点诠释:要点诠释: 如果自变量的取值范围是 x1xx2,那么首先要看 2 b a 是否在自变量的取值范围 x1xx2内,若 在此范围内,则当 2 b x a 时, 2 4 4 acb y a 最值 ,若不在此范围内,则需要考虑函数在 x1xx2范围 内的增减性,如果在此范围内,y 随 x 的增大而增大,则当 xx2时, 2 22 yaxbxc 最大值 ;当 xx1 时, 2 11 yaxbxc 最小值 , 如果在此范围内, y 随 x 的增大而减小, 则当 xx1时, 2 11 =ax +bx +yc 最大值 ; 当 xx2时, 2 22 =ax +bx +yc 最小值 ,如果在此范

9、围内,y 值有增有减,则需考察 xx1,xx2, 2 b x a 时 y 值的情况 第 4 页 共 6 页 【典型典型例题】例题】 类型一、类型一、二次函数二次函数 2 (0)yaxbxc a的图的图象与象与性质性质 1求抛物线 2 1 4 2 yxx 的对称轴和顶点坐标 【答案与解析】 解法 1(配方法) : 222 111 4(2 )4(21 1)4 222 yxxxxxx 2 11 (1)4 22 x 2 17 (1) 22 x 顶点坐标为 7 1, 2 ,对称轴为直线1x 解法 2(公式法) : 1 2 a ,1b,4c, 1 1 1 2 2() 2 b x a , 2 2 1 4(

10、4) 1 472 142 4 2 acb a 顶点坐标为 7 1, 2 ,对称轴为直线1x 解法 3(代入法) : 1 2 a ,1b,4c, 1 1 12 2 2 b x a 将1x 代入解析式中得, 2 17 114 22 y 顶点坐标为 7 1, 2 ,对称轴为直线1x 【总结升华】所给二次函数关系是一般式,求此类抛物线的顶点有三种方法: (1)利用配方法将一般式 化成顶点式; (2)用顶点公式 2 4 , 24 bacb aa 直接代入求解; (3)利用公式先求顶点的横坐 标,然后代入解析式求出纵坐标这三种方法都有各自的优缺点,应根据实际灵活选择和运用 第 5 页 共 6 页 举一反三

11、:举一反三: 【变式变式】把一般式 2 286yxx 化为顶点式 (1)写出其开口方向、对称轴和顶点D的坐标; (2)分别求出它与y轴的交点 C,与x轴的交点A、B的坐标. 【答案】 (1)向下;x=2;D (2,2). (2)C(0,-6) ;A(1,0) ;B(3,0). 2如图所示,抛物线的对称轴是 x1,与 x 轴交于 A、B 两点,点 B 的坐标为(3,0),则点 A 的坐标是_ 【答案】(23,0) 【解析】由抛物线的对称性知,A、B 两点关于直线 x1 对称,设点 A 的坐标是(x1,0)则有 1 3 1 2 x , 所以 1 23x ,即点 A 的坐标是(23,0) 【总结升华

12、】本题若由顶点(1,1)及( 3,0)B求出抛物线解析式,再令 y0 求出 A 点坐标,则运算量 很大,而利用抛物线的对称性解题简捷得多注意 A、B 关于直线 xa 对称,则 2 AB xx a 类型二、类型二、二次函数二次函数 2 (0)yaxbxc a的最值的最值 3求二次函数 2 11 3 22 yxx的最小值. 【答案与解析】 解法 1(配方法): 222 1111 (6 )(639) 2222 yxxxx 2 1 (3)4 2 x, 当 x-3 时,4y 最小 解法 2(公式法): 1 0 2 a ,b3, 1 2 c 第 6 页 共 6 页 当 3 3 1 2 2 2 b x a

13、时, 2 2 11 43 41 9 22 4 1 42 4 2 acb y a 最小 解法 3(判别式法): 2 11 3 22 yxx, 2 6(1 2 )0xxy x 是实数, 6 2-4(1-2y)0, y-4 y 有最小值-4,此时 2 690xx,即 x-3 【总结升华】在求二次函数最值时,可以从配方法、公式法、判别式法三个角度考虑,根据个人熟练程 度灵活去选择 举一反三:举一反三: 【变式变式】用总长 60m 的篱笆围成矩形场地矩形面积S随矩形一边长L的变化而变化当L是多少时, 矩形场地的面积S最大? 【答案】(30)SLL 2 (30 )LL 2 (15)225L (0L30)

14、15L(m)时,场地的面积 S 最大,为 225m 2 类型三、类型三、二次函数二次函数 2 (0)yaxbxc a性质的综合应用性质的综合应用 4已知二次函数 2 1yxbxc 的图象过点 P(2,1) (1)求证:24cb; (2)求 bc 的最大值 【答案与解析】 (1) 2 1yxbxc 的图象过点 P(2,1), 1=4+2b+c+1, c=-2b-4 (2) 22 ( 24)2(2 )2(1)2bcbbbbb 当1b时,bc 有最大值最大值为 2 【总结升华】 (1)将点 P(2,1)代入函数关系式,建立 b、c 的关系即可 (2)利用(1)中 b 与 c 的关系,用 b 表示 bc,利用函数性质求解

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