著名机构初中数学培优讲义直线、射线、线段.第02讲(A级).教师版

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资源描述

1、 内容内容 基本要求基本要求 略高要求略高要求 较高要求较高要求 直线、射线、线直线、射线、线 段段 会表示点、线段、射线、直线, 知道它们之间的联系和区别;结 合图形理解两点之间的距离的概 念;会比较两条线段的大小,并 能进行与线段有关的简单计算 会用尺规作图:做一条线段等于 已知线段,做已知线段的垂直平 分线;会用线段中点的知识解决 简单问题;结合图形认识线段间 的数量关系 会运用两点间的 距离解决有关问 题 直线、射线、线段的概念:直线、射线、线段的概念: 在直线的基础上定义射线、线段: 直线上的一点和这点一旁的部分叫射线,这个点叫做射线的端点 直线上两点和中间的部分叫线段,这两个点叫线

2、段的端点 在线段的基础上定义直线、射线: 把线段向一方无限延伸所形成的图形叫射线, 把线段向两方无限延伸所形成的图形是直线 点与直线的关系:点与直线的关系:点在直线上;点在直线外 两个重要公理:两个重要公理: 经过两点有且只有一条直线,也称为“两点确定一条直线” 两点之间的连线中,线段最短,简称“两点之间,线段最短” 两点之间的距离:两点之间的距离:两点确定的线段的长度 点的表示方法:点的表示方法:我们经常用一个大写的英文字母表示点:A,B,C,D, 直线的表示方法:直线的表示方法: 用两个大写字母来表示,这两个大写字母表示直线上的点,不分先后顺序,如直线 AB,如下图 也可以写作直线 BA

3、(1) (2) lAB 用一个小写字母来表示,如直线l,如上图 注意:注意:在直线的表示前面必须加上“直线”二字;用两个大写字母表示时字母不分先后顺序 射线的表示方法:射线的表示方法: 用两个大写字母来表示第一个大写字母表示射线的端点,第二个大写字母表示射线上的点如射 线 OA,如图,但不能写作射线 AO 用一个小写字母来表示,如射线l,如图 例题精讲 中考要求 直线、射线、线段 (3) (4) lAO 注意:注意:在射线的表示前面必须加上“射线”二字用两个大写字母表示射线时字母有先后顺序,射线的 端点在前 线段的表示方法:线段的表示方法: 用两个大写字母来表示,这两个大写字母表示线段的两个端

4、点,无先后顺序之分,如线段 AB,如 图,也可以写作线段 BA 也可以用一个小写字母来表示:如线段l,如图 (5) (6) lAB 注意:注意:在线段的表示前面必须加上“线段”二字用两个大写字母表示线段时字母不分先后顺序 直线、射线、线段的主要区别:直线、射线、线段的主要区别: 类型 端点 延长线及反向延长线 用两个大写字母表示 直线 0个 无 无顺序 射线 1个 有反向延长线 第一个表示端点 线段 2个 两者都有 无顺序 中点:中点:把线段分成两条相等的线段的点叫做这条线段的中点 模块一 直线、射线、线段的概念 【例1】 下列说法正确的是( ) A. 直线上一点一旁的部分叫做射线 B. 直线

5、是射线的 2 倍 C. 射线AB与射线BA是同一条射线 D. 过两点PQ、可画出两条射线 【解析】略 【答案】A 【巩固】下列说法中正确的是( ) A. 直线的一半是射线 B. 延长线段AB至C,使BCAB C. 从北京到上海火车行驶的路程就是这两地的距离 D. 三条直线两两相交,有三个交点 【解析】略 【答案】C 【例2】 下列语句准确规范的是( ) A. 直线ab、相交于一点m B. 延长直线AB C. 反向延长射线AO (O是端点) D. 延长线段AB到C,使BCAB 【解析】略 【答案】D 【巩固】下面说法中错误的是( ) A. 直线AB和直线BA是同一条直线 B. 射线AB和射线BA

6、是同一条射线 C. 线段AB和线段BA是同一条线段 D. 把线段AB向两端无限延伸便得到直线BA 【解析】略 【答案】B 【巩固】下列叙述正确的是( ) A孙悟空在天上画一条十万八千里的直线 B笔直的公路是一条直线 C点A一定在直线A B上 D过点A、B可以画两条不同的直线,分别为直线A B和直线B A 【解析】略 【答案】C 【例3】 根据直线、射线、线段各自的性质,如下图,能够相交的是( ) D. C. D C BA D C BA B. D C BA A. DC B A 【解析】略 【答案】B 【巩固】下列四个图形中各有一条射线和一条线段,它们能相交的是( ) D. C. B.A. 【解析

7、】略 【答案】C 【巩固】下列叙述正确的是( ) A可以画一条长5cm的直线 B一根拉紧的线是一条直线 C直线 AB 经过 C 点 D直线 AB 与直线 BA 是不同的直线 【解析】略 【答案】C 【例4】 如图所示根据要求作图:连结 AB;作射线 AC;作直线 BC A B C 【解析】略 【答案】如图 A B C 模块二 直线公理 公理:两点确定一条直线 【例5】 如图,图中共有 条线段. EDFCBA 【解析】1234515. 【答案】15 【巩固】平面上有三个点,经过两点画一条直线,则可以画几条直线? 【解析】略 【答案】1 条或 3 条. 模块三 线段的相关计算 【例6】 如图所示,

8、M是线段A B的中点,则 1_ 2 AM,2 _ _ _ _ _2 _ _ _ _ _A B ABM 【解析】 1 2 AMAB,22A BA MB M 【答案】AM;AM;BM 【巩固】判断:若3 c mA BB C ,则说明B是A C的中点 【解析】错误,如图,虽然3 c mA BB C ,但B不是A C的中点,要明确点B把线段A C分成两条相等 的线段才可 【答案】错误 A BC 【巩固】判断:已知A,B,C三点在同一条直线上, 1 2 ACAB,那么C是A B的中点 【解析】错误,几何中的题目如果无图,要特别注意读准题意,适时分类求解 如下图,均满足题意 【答案】错误 (1) (2)

9、AABBCC 【例7】 如图, 已知线段AB上依次有三个点C D E, ,把线段AB分成2:3:4:5四个部分,56AB , 求BD 的长度. E DCBA 【解析】根据题意可设2345ACx CDx DEx EBx, 所以有:1456436ABACCDDEEBxxBDDEEB,. 【答案】36 【巩固】已知14cmAD ,B C,是AD上顺次两点,且:2:3:2AB BC CD ,E为AB的中点,F为CD 的中点,求EF的长. EDFCB A 【解析】设2ABx,3BCx,2CDx,23214xxx,2x ,510EFx 【答案】10 【例8】 如图, 已知线段A B上依次有三个点,C D

10、E把线段A B分成2:3:4:5四个部分,, , ,M PQN分 别是,A C C D D EE B的中点,若21,MN 求P Q的长度. NEQDPMCBA 【解析】根据题意可设234510.52123.57ACx CDx DEx EBx MNxxPQx, 【答案】7 【巩固】 摄影组从A市到B市有一天的路程, 计划上午比下午多走 100 千米到C市吃饭, 由于堵车, 中 午 才赶到一个小镇,只行驶了原计划的三分之一,过了小镇,汽车赶了 400 千米,傍晚才停下来休 息,司机说,再走从C市到这里路程的二分之一就到达目的地了,问A B,两市相距多少千米? EDCBA 【解析】根据题意画图,D为

11、中午赶到的小镇,E为傍晚赶到的地方, 根据题意可得: 11 400 22 ADDC BECE DE, 所以有 111 200 222 ADBEDCCEDE, 则600ABADDEEB(千米). 【答案】600 千米 模块四 两点之间线段最短 【例9】 从家到学校共有3条路可以走,如图所示,若想走最近的路,应选择 (填序号). 这是根据 学校 家 【解析】略 【答案】;两点之间,线段最短. 【例10】 如图,已知A B,在直线l的两侧,在l上求一点P,使PAPB最小; B A l 图1 【解析】如图,连接,AB,A B与l的交点即为所求的P点,利用“两点之间线段最短”, 教师不妨可在 其他出处取

12、一点P,显然A PB PA B . PP B A l 图1-1 【答案】如图 PP B A l 图1-1 【巩固】如图,有一个正方体的盒子 1111 ABCDABC D,在盒子内的顶点A处有一只蜘蛛,而在对角的顶 点 1 C处有一只苍蝇。蜘蛛应沿着什么路径爬行,才能在最短的时间内捕捉到苍蝇?(假设苍蝇在 1 C处不动) 图3 D1 C1 B1 A1 D C BA 【解析】把盒面展开,使包含点A和 1 C的两个盒面在同一平面内,如图 3-1 是其中的一种,根据两点之间 线段最短,只要连接 1 A C即可,设 1 A C与 1 B B交于点B,则A B BC就是最短路线. B 图3-1 C1 B1

13、A1 CB A 【答案】把盒面展开,使包含点A和 1 C的两个盒面在同一平面内,如图 3-1 是其中的一种,根据两点之间 线段最短,只要连接 1 A C即可,设 1 A C与 1 B B交于点B,则A B BC就是最短路线. B 图3-1 C1 B1A1 CB A 板块六 线段长度总和 数线段: ana3a2a1 如果直线上有n个点(含有(1)n 条基本线段,把相邻两点间的线段叫做基本线段) , 直线上的线段条数为: ( 1 ) ( 1 )( 2 )321 2 nn nn (条). 【例11】 如图, 直线上有三个不同的点A B C, , 且A B A C, 那么到A B C, ,三点距离的和

14、最小的点 ( ) A是B点 B是线段AC的中点 C是线段AC外的一点 D有无穷多个 C B A 【解析】略 【答案】A 【巩固】如图,C是线段AB上一点,D是线段CB的中点,已知图中所有线段的长度之和为23,线段AC 的长度和线段CB的长度都是正整数,则线段AC的长度为_。 DCB A 【解析】 设线段ACx CBy, 则有 7 22 y ADxDB, 于是有 7 323 2 xy。 上式中x y,均为正整数, 故y为偶数,又当6y时, 7 323 2 xy,故y只能取2或 4,当2y 时, 16 3 x 不是整数;于 是4y ,3x 。 【答案】3 【例12】 如图,线段1AB BC CD

15、DE厘米,那么图中所有线段长度之和等于多少厘米? EDCBA 【解析】所有线段和为:466420AB BC CD DE 【答案】20 【巩固】已知C D E, ,是线段AB上顺次三点,1234ACCDDEEB,则这个图形中所有线段的 长度之和为多少? 【解析】所有线段和为:46644 162634450ACCDDEEB 【答案】50 【例13】 一条直线从左到右依次排列着 2004 个点: 122004 PPP, , ,已知点 k P是线段 11kk PP 的等分点中最靠 近 1k P 的那个分点22003k .例如,点 5 P就是线段 46 P P的五等份点中最靠近 6 P的那个点,如 果线

16、段 12 PP的长度是 1,线段 20032004 PP的长度为L,求证: 2001 1 2 3 L P4P3 P2P1 【解析】略 【答案】由题意, 2 P应是 13 PP的二等份点,所以 1223 1PPP P, 3 P应是 24 P P的三等分点中最靠近 4 P的那个 点, 所以 3423 11 22 PPP P一般地, k P是 11kk PP 的k等份点中最靠近 1k P 的那个点, 所以 11111 11 kkkkkkkk P PPPPPP P kk 移项化简得: 11 11 kkkk k P PPP kk 即 11 1 1 kkkk P PPP k 试看4 5 6k ,具体情 有

17、: 453456456756 111111 332443255432 P PPPPPP PP PPP , 依次类推得, 2003200420022003 11 20022002200132 PPPPL 所以 2001 11 2 2002200133 L 【例14】 C是线段AB的中点,D是线段CB上的一点,如图所示,若所有线段的长度都是正整数,且线 段AB的所有可能数的乘积等于 140,则线段AB的所有可能的长度的和等于_ _ _ _ _ . DC B A 【解析】因为所有线段的长为正整数,且C是AB的中点,设CB的长度为x,则有24xABx2, (x 是正整数)又1402257 ,且140是

18、线段AB的所有可能的长度的乘积,所以 10AB 或 14AB .故AB的所有可能长度的和为101424. 【巩固】如图,已知B是线段AC上一点,M是线段AB的中点,N是线段AC的中点,P为NA的中点, Q为MA的中点,则:MN PQ等于( ) A1 B2 C3 D4 NM Q PCBA 【解析】略 【答案】B 【巩固】如图,A是直线上的一个点,请你在A点的右侧每隔 1 厘米取一个点,共取三个点,那么, (1)用B C D, ,三个字母任意标在所取的三个点上,一共有_中不同标法; (2)在每种标法中,ABBCCD的长度与AD的长度的比分别是_。 【解析】 (1)将B C D, ,三个字母任意标在

19、所取的三个点上,第一个点有 3 种标法,第二个点有 2 种标法, 第三个点有 1 中标法,所以共有32 16 种标法。 (2)下面是 6 种标法: ABCDABCD ABCDABCD ABCDDCBA 中,:1 1 1 :3 1:1ABBCCDAD 中,:12 1 :22:1ABBCCDAD 中,:2 1 2 :35:3ABBCCDAD 中,:32 1 :23:1ABBCCDAD 中,:2 12 :15:1ABBCCDAD 中,:3 1 1 :15:1ABBCCDAD 板块七 线段长短比较 (1)叠合法:比较两条线段AB、CD的长短,可把它们移到同一条直线上,使一个端点A和C重合, 另一个端点

20、B和D落在直线上A(或C)的同侧,若点B、D重合,则ABCD;若D 在线段AB上,则ABCD;若D在线段AB外,则ABCD。 (D) (C) B A(C)D B A (C)DBA (2)度量法:分别度量出每条线段的长度,再按长度的大小,比较线段的大小,线段的大小关系和它 们长度的大小关系是一致的。 【例15】 如图,线段 3 2 2 ABBC DAAB,M是AD中点,NN是AC中点,试比较MN和ABNB的大小. 小. NMDCBA 【解析】略 【答案】 23BCx ABx ADx, 111 3 222 MNADACABx 2322.5ABNBxxxx MNABNB 【巩固】如图,已知B,C是线

21、段AD上的任意两点,M是AB的中点,N是CD的中点, 请你说明:2MNBCAD. ABCDMN 【解析】略 【答案】根据题意可得:2 () ( )MNMNMBBCCNMNAMNDBCBCAD . 如图,C是A B上任意一点,D是A C的三等分点,E是B C的三等分点,1 2A Bc m,求D E的长度. ABCDE 【解析】 222 8cm 333 DEACBCAB 【答案】8cm 课后作业 . 如图,已知,AB在直线的同侧,在l上求一点P,使PAPB最小; B A l 图2 【解析】如图,作B关于l的对称点B,连接AB交l于点P,即为所求的点!教师可以另取任意一点P, 向学生说明为什么这样的

22、情况下符合提议! B PP B A l 图2-1 【答案】如图,P点即为所求 B PP B A l 图2-1 . 如图,B C D, ,依次是线段AE上三点,已知8.9cmAE ,3cmDB ,则图中所有线段长度之和是 多少? EDCBA 【解析】4241.6cmABACADAEBCBDBECDCEDEAEBD 【答案】41.6cm . 已知: 如图,ABC中,D,E,F,G均为BC边上的点, 且BDCG, 1 2 DEGFBD,3EFDE, 若1 ABC S,则图中所有三角形的面积之和为 A D E F G CB 【解析】如图所示的所有三角形均以A为一个顶点,一个底边在B C上,因此所有三角形都具有相等的高, 于是可将计算所有三角形面积之和的问题转化为计算B C上所有线段长度之和的问题因为所有 线段长之和是B C的n倍, 则图中所有三角形面积之和就是 A B C S 的n倍 设D E F G x,2B DC G x ,3EFx,9BCx 图中共有123451 5 个三角形,则它们在线段B C上的底边之和为: ( ) ( ) ( ) ( ) BCBDDC BEEC BFFC BGGC ()() DG DE EG DF FG EF 95533xxx 63x 已知1 ABC S,故图中所有三角形的面积之和为7 【答案】7

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