1、2018 年广东省广州市黄埔区中考数学一模试卷年广东省广州市黄埔区中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分）分） 1 （3 分）2 的绝对值是（ ） A2 B2 C D 2 （3 分） 下面四个图形分别是节能、 节水、 低碳和绿色食品标志， 是轴对称图形的是 （ ） A B C D 3 （3 分）某小组 7 名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时间”的 这组数据，以下说法正确的是（ ） 劳动时间（小时） 3 3.5 4 4.5 人 数 1 1 3 2 A中位数是 4，众数是 4 B中
2、位数是 3.5，众数是 4 C平均数是 3.5，众数是 4 D平均数是 4，众数是 3.5 4 （3 分）下列计算正确的是（ ） Aa+2b2ab B+ Cx6x2x4 D （a+b）2a2+b2 5 （3 分）若一个三角形的两边长分别为 3 和 7，则第三边长可能是（ ） A2 B3 C4 D5 6 （3 分）将抛物线 yx2向下平移一个单位，得到的抛物线解析式为（ ） Ayx2+1 Byx21 Cy（x+1）2 Dy（x1）2 7 （3 分）在一个不透明的口袋中，装有 3 个相同的球，它们分别写有数字 1，2，3，从中 随机摸出一个球，若摸出的球上的数字为 2 的概
3、率记为 P1，摸出的球上的数字小于 4 的 概率记为 P2， 摸出的球上的数字为 5 的概率记为 P3， 则 P1， P2， P3的大小关系是 （ ） AP1P2P3 BP3P2P1 CP2P1P3 DP3P1P2 8 （3 分）在同一坐标系中，函数 y和 ykx+1 的图象大致是（ ） 第 2 页（共 28 页） A B C D 9 （3 分）下面给出四个命题：一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；两组相邻的角互补的四边形 是平行四边形；有一个角与相邻的角都互补的四边形是平行四边形其中，真命题的 个数是（
4、） A1 B2 C3 D4 10 （3 分）O 的直径 AB2cm，过点 A 有两条弦，弦 ACcm，弦 ADcm，则 CAD 所夹的圆内部分的面积是（ ） A （+）cm2 B （+）cm2或（+）cm2 C （+）cm2 D （+）cm2或（+）cm2 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）函数 y中，自变量 x 的取值范围是 12 （3 分）如图，在ABC 中，E，F 分别是 AB，AC 的中点，若中位线 EF2cm，则 BC 边的长是 13
5、 （3 分）小军用 50 元钱去买单价是 8 元的笔记本，则他剩余的钱 Q（元）与他买这种笔 第 3 页（共 28 页） 记本的本数 x 之间的关系是 Q 14 （3 分）如图，O 的直径 CDAB，AOC50，则CDB 大小为 15 （3 分）如图，正方形 ABCD 的边长是 16，点 E 在边 AB 上，AE3，点 F 是边 BC 上 不与点 B，C 重合的一个动点，把EBF 沿 EF 折叠，点 B 落在 B处若CDB恰为 等腰三角形，则 DB的长为 16 （3 分）如图，抛物线 yax2+bx+c 的对称轴是 x1，且过点（，0） 有下列结论：
6、abc0；25a10b+4c0；a2b+4c0；abm（amb） ；3b+2c0； 其中所有正确的结论是 （填写正确结论的序号） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，满分小题，满分 102 分）分） 17 （9 分）解不等组： 18 （9 分）如图，点 E，F 在 AC 上，且 AECF，ADBC，ADCB 求证：DFBE 第 4 页（共 28 页） 19 （10 分）已知：A（a+b）22a（a+b） （1）化简 A； （2）已知（a1）2+0，求 A 的值 20 （10 分）菱形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点 B 的坐标是（8，0） ，cos
7、 AOB （1）求点 A 的坐标； （2）若反比例函数 y的图象经过点 A，求 k 的值 21 （12 分）某校为了了解学生最喜欢的球类运动，对乒乓球、足球、篮球、排球四个项目 进行了调查，并将调查的结果绘制成了两幅统计图（说明：每位同学只选一种自己最喜 欢的球类） ，请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）这次接受调查的学生共 人； （2）喜欢篮球 人，喜欢排球 人，补全条形统计图； （3）在平时的乒乓球项目训练中，有 5 名学生表现优秀，5 名学生中有 3 名男生，2 名 女生现从这 5 名学生中任意抽取 2 名学生参加比赛，求出刚好抽到一男一
8、女的概率 22 （12 分）有一斜坡 AC，其坡度为 i1：2，顶部 A 处的高 AB 为 5m，B，C 在同一水平 地面上 第 5 页（共 28 页） （1）求斜坡 AC 的水平宽度 BC 的长； （2）矩形 DEFG 为长方体货柜的侧面图，其中 DE3m，EF2m将该货柜沿斜坡向 上运送，当 CF4m，求点 D 离地面的高 （结果精确到 0.1m） 23 （12 分）已知关于 x 的一元二次方程（m24）x2+（2m1）x+10 （1）m 为何值时，方程有实数根？ （2）若 x1，x2是方程的两个实数根，S+10，求 S 的取值 范围 24 （14 分）如图，在ABC 中，ABACm，AB
9、C30 （1）利用尺规作O，使O 经过点 A 和点 B，圆心 O 在线段 BC 上，该圆与 BC 的另 一交点为 D（保留作图痕迹，不写作法） （2）过点 O 作 OEAB 交 AC 于 E，连接 DE，求； （3）设 F 是线段 AB 上任意一点（不与 A，B 重合） ，连接 OF，当 AF+2OF 的最小值为 16 时，求 m 的值 25 （14 分）如图，抛物线 yax2+bx+6 与 x 轴交于点 A（6，0） ，B（1，0） ，与 y 轴交于 点 C （1）求抛物线的解析式； （2）若点 P 为该抛物线上一个动点； 动点 P 作 y 轴的垂线交直线 AC 于点 D，点 P 的坐标是多
10、少时，以 O 为圆心，OD 的 长为半径的O 与 AC 相切？ 是否存在点 P，使ACP 为直角三角形？若存在，有几个？写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，说明理由 第 6 页（共 28 页） 第 7 页（共 28 页） 2018 年广东省广年广东省广州市黄埔区中考数学一模试卷州市黄埔区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分）分） 1 （3 分）2 的绝对值是（ ） A2 B2 C D 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答 【解答】解：2 的绝对值是 2， 即
11、|2|2 故选：A 【点评】本题考查了绝对值的性质：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反 数；0 的绝对值是 0 2 （3 分） 下面四个图形分别是节能、 节水、 低碳和绿色食品标志， 是轴对称图形的是 （ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形的概念求解 【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，故本选项正确 故选：D 【点评】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分 沿对称轴折叠后可重合 3 （3 分）某小组 7 名同学在一周内参加家务劳动的时
12、间如下表所示，关于“劳动时间”的 这组数据，以下说法正确的是（ ） 劳动时间（小时） 3 3.5 4 4.5 人 数 1 1 3 2 A中位数是 4，众数是 4 B中位数是 3.5，众数是 4 第 8 页（共 28 页） C平均数是 3.5，众数是 4 D平均数是 4，众数是 3.5 【分析】根据众数和中位数的概念求解 【解答】解：这组数据中 4 出现的次数最多，众数为 4， 共有 7 个人， 第 4 个人的劳动时间为中位数， 所以中位数为 4， 故选：A 【点评】本题考查众数与中位数的意义，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；中 位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后
13、，最中间的那个数（最中间两个 数的平均数） ，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求 重新排列，就会出错 4 （3 分）下列计算正确的是（ ） Aa+2b2ab B+ Cx6x2x4 D （a+b）2a2+b2 【分析】直接利用二次根式加减运算法则以及同底数幂的除法运算法则以及完全平方公 式分别化简得出答案 【解答】解：A、a+2b 无法计算，故此选项错误； B、+无法计算，故此选项错误； C、x6x2x4，正确； D、 （a+b）2a2+2ab+b2，故此选项错误； 故选：C 【点评】 此题主要考查了二次根式加减运算以及同底数幂的除法运算以及完全平方公式
14、， 正确掌握相关运算法则是解题关键 5 （3 分）若一个三角形的两边长分别为 3 和 7，则第三边长可能是（ ） A2 B3 C4 D5 【分析】根据三角形三边关系，两边之和第三边，两边之差小于第三边即可判断 【解答】解：设第三边长为 x，由题意得： 73x7+3， 则 4x10， 故选：D 第 9 页（共 28 页） 【点评】本题考查三角形三边关系定理，记住两边之和第三边，两边之差小于第三边， 属于基础题，中考常考题型 6 （3 分）将抛物线 yx2向下平移一个单位，得到的抛物线解析式为（ ） Ayx2+1 Byx21 Cy（x+1）2 Dy（x1）2 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规
15、律，进而得出平移后抛物线的解析式即可 【解答】解：抛物线 yx2向下平移一个单位得到解析式：yx21 故选：B 【点评】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减 7 （3 分）在一个不透明的口袋中，装有 3 个相同的球，它们分别写有数字 1，2，3，从中 随机摸出一个球，若摸出的球上的数字为 2 的概率记为 P1，摸出的球上的数字小于 4 的 概率记为 P2， 摸出的球上的数字为 5 的概率记为 P3， 则 P1， P2， P3的大小关系是 （ ） AP1P2P3 BP3P2P1 CP2P1P3 DP3P1P2 【分析】由 1、2、3 这 3
16、 个小球中，数字为 2 的只有 1 个、数字小于 4 的有 3 个、数字 为 5 的个数为 0，利用概率公式分别计算，再比较大小可得 【解答】解：在 1、2、3 这 3 个小球中，数字为 2 的只有 1 个、数字小于 4 的有 3 个、 数字为 5 的个数为 0， P1、P21、P30， 则 P3P1P2， 故选：D 【点评】此题考查了概率公式的应用用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数 之比 8 （3 分）在同一坐标系中，函数 y和 ykx+1 的图象大致是（ ） A B 第 10 页（共 28 页） C D 【分析】根据 k 的情况对反比例函数与一次函数的图象位置进行讨论即可
17、 【解答】解：当 k0 时， 反比例函数的图象分布于一、三象限， 一次函数的图象经过一、二、三象限， 当 k0 时， 反比例函数的图象分布于二、四象限， 一次函数的图象经过一、二、四象限， 联立 可得：kx2+xk0， 1+4k20， 所以此时反比例函数与一次函数的有两个交点 故选：A 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的图象性质，解题的关键是根据 k 的值来分情 况讨论，本题属于基础题型 9 （3 分）下面给出四个命题：一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；两组相邻的角互补的四边形 是平行四边形；有一个角与相邻的角都互补的四边形
18、是平行四边形其中，真命题的 个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边 分别相等的四边形是平行四边形；两组邻角分别相等的四边形可能为梯形；对角线 互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形根据 判定定理进行推导即可 【解答】解：一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，例如等腰梯形 就不是平行四边形，故选项错误； 第 11 页（共 28 页） 一组对边平行，一组对角相等，则另一组对角也相等，根据平行四边形的判定方法， 两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故选项正确； 组邻角互补的四边形有可能
19、是梯形或平行四边形，故选项错误； 一个角和相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形，能得到两组对边互相平行，进 而推出此四边形是平行四边形，故选项正确； 故选：B 【点评】此题主要考查学生对平行四边形的判定的掌握情况在应用判定定理判定平行 四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避 免混用判定方法 10 （3 分）O 的直径 AB2cm，过点 A 有两条弦，弦 ACcm，弦 ADcm，则 CAD 所夹的圆内部分的面积是（ ） A （+）cm2 B （+）cm2或（+）cm2 C （+）cm2 D （+）cm2或（+）cm2 【
20、分析】根据题意画出图形，然后根据扇形面积以及三角形的面积公式即可求出答案 【解答】解：根据题意画出图形， AC，AD，AB2， CAO45，DAB30， DOB60， COD30， 当点 C、D 位于直径同一侧时， 扇形 COD 的面积为：， ACO 的面积为：11， ADB 的面积为：1， AOD 的面积为：SADB， 第 12 页（共 28 页） CAD 所夹的圆内部分的面积为：+ 当点 C、D 位于直径异侧时， 同理可求得：+ 故选：B 【点评】本题考查扇形的面积公式，解题的关键是画出图形，找出边角之间的关系，求 出扇形 COD 的面积，本题属于中等题型 二、填空题（本大题共二、填空题（
21、本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）函数 y中，自变量 x 的取值范围是 x2 【分析】函数关系中主要有二次根式根据二次根式的意义，被开方数是非负数即可求 解 【解答】解：根据题意得：x+20， 解得 x2 故答案为：x2 【点评】本题主要考查自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数 12 （3 分）如图，在ABC 中，E，F 分别是 AB，AC 的中点，若中位线 EF2c
22、m，则 BC 边的长是 4cm 【分析】由 E、F 分别是 AB、AC 的中点，可得 EF 是ABC 的中位线，直接利用三角形 第 13 页（共 28 页） 中位线定理即可求 BC 【解答】解：ABC 中，E、F 分别是 AB、AC 的中点，EF2cm， EF 是ABC 的中位线 BC2EF224cm 故答案是：4cm 【点评】本题考查了三角形中位线的性质，三角形的中位线是指连接三角形两边中点的 线段，中位线的特征是平行于第三边且等于第三边的一半 13 （3 分）小军用 50 元钱去买单价是 8 元的笔记本，则他剩余的钱 Q（元）与他买这种笔 记本的本数 x 之间的关系是 Q 508x 【分析
23、】由：剩余的钱原有的钱用去的钱，可列出函数关系式 【解答】解：依题意得， 剩余的钱 Q（元）与买这种笔记本的本数 x 之间的关系为：Q508x 故答案为：508x 【点评】关键是明确剩余的钱与用去的钱之间的等量关系 14 （3 分）如图，O 的直径 CDAB，AOC50，则CDB 大小为 25 【分析】本题关键是理清弧的关系，找出等弧，则可根据“同圆中等弧对等角”求解 【解答】解：由垂径定理，得：； CDBAOC25； 故应填 25 【点评】此题综合考查垂径定理和圆周角的求法及性质 15 （3 分）如图，正方形 ABCD 的边长是 16，点 E 在边 AB 上，AE3，点 F 是边 BC 上
24、不与点 B，C 重合的一个动点，把EBF 沿 EF 折叠，点 B 落在 B处若CDB恰为 等腰三角形，则 DB的长为 16 或 4 第 14 页（共 28 页） 【分析】根据翻折的性质，可得 BE 的长，根据勾股定理，可得 CE 的长，根据等腰三 角形的判定，可得答案 【解答】解： （i）当 BDBC 时， 过 B点作 GHAD，则BGE90， 当 BCBD 时，AGDHDC8， 由 AE3，AB16，得 BE13 由翻折的性质，得 BEBE13 EGAGAE835， BG12， BHGHBG16124， DB4 （ii）当 DBCD 时，则 DB16（易知点 F 在 BC 上且不与点 C、B
25、 重合） （iii） 当 CBCD 时， 则 CBCB， 由翻折的性质， 得 EBEB， 点 E、 C 在 BB 的垂直平分线上，EC 垂直平分 BB，由折叠，得 EF 也是线段 BB的垂直平分线， 点 F 与点 C 重合，这与已知“点 F 是边 BC 上不与点 B，C 重合的一个动点”不符， 故此种情况不存在，应舍去 综上所述，DB的长为 16 或 4 故答案为：16 或 4 第 15 页（共 28 页） 【点评】本题考查了翻折变换，利用了翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的判定 16 （3 分）如图，抛物线 yax2+bx+c 的对称轴是 x1，且过点（，0） 有下列结论： abc0；25a
26、10b+4c0；a2b+4c0；abm（amb） ；3b+2c0； 其中所有正确的结论是 （填写正确结论的序号） 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与 y 轴的交点判定系数符号，及运用一些特 殊点解答问题 【解答】解：由抛物线的开口向下可得：a0， 根据抛物线的对称轴在 y 轴左边可得：a，b 同号，所以 b0， 根据抛物线与 y 轴的交点在正半轴可得：c0， abc0，故正确； 抛物线 yax2+bx+c 的对称轴是 x1且过点（，0） ， 抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（，0） ， 当 x时，y0，即 a（）2b+c0， 整理得：25a10b+4c0，故正确； 直线 x1 是抛物线
27、 yax2+bx+c（a0）的对称轴，所以1，可得 b2a， 第 16 页（共 28 页） a2b+4ca4a+4c3a+4c， a0， 3a0， 3a+4c0， 即 a2b+4c0，故错误； x1 时，函数值最大， ab+cm2amb+c， abm（amb） ，所以正确； b2a，a+b+c0， b+b+c0， 即 3b+2c0，故错误； 故答案是： 【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数 形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标 满足抛物线的解析式 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，满分
28、小题，满分 102 分）分） 17 （9 分）解不等组： 【分析】分别解两个不等式，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小 找不了”的规则找两个不等式的解得公共部分，即可得到答案 【解答】解：解不等式 3x+4x 得：x2， 解不等式 5x54x2 得：x3， 不等式组的解集为：2x3 【点评】本题考查解一元一次不等式组，掌握找不等式组解集的规则“同大取大，同小 取小，大小小大中间找，大大小小找不了”是解决本题的关键 18 （9 分）如图，点 E，F 在 AC 上，且 AECF，ADBC，ADCB 求证：DFBE 第 17 页（共 28 页） 【分析】根据 SAS 证明ADFCBE
29、，再利用全等三角形的性质证明即可 【解答】证明：ADBC， AC， AECF， AE+EFCF+EF， 即 AFEC， 在ADF 和CBE 中， ， ADFCBE， DFBE 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是正确 寻找全等三角形，属于基础题，中考常考题型 19 （10 分）已知：A（a+b）22a（a+b） （1）化简 A； （2）已知（a1）2+0，求 A 的值 【分析】 （1）直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式分别化简得出答案； （2）首先利用偶次方以及二次根式的性质得出 a，b 的值，进而代入求出答案 【解答】解： （1）A（a+b）22a（
30、a+b） a2+2ab+b22a22ab b2a2； （2）（a1）2+0， a1，b2， A（2）2123 【点评】此题主要考查了单项式乘以多项式以及偶次方的性质等知识，正确化简是解题 第 18 页（共 28 页） 关键 20 （10 分）菱形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点 B 的坐标是（8，0） ，cos AOB （1）求点 A 的坐标； （2）若反比例函数 y的图象经过点 A，求 k 的值 【分析】 （1）利用菱形的性质得出 H 点坐标，再利用勾股定理得出 A 点坐标； （2）利用反比例函数图象上点的坐标性质得出答案 【解答】解： （1）连接 AC，AC 交 OB 于
31、H， 四边形 OABC 为菱形， OB 垂直平分 AC， B 的坐标是（8，0） ， H（4，0） ， 在 RtAHD 中，AHO90，cosAOB，OH4， AO5， AH3， 点 A 的坐标为： （4，3） ； （2）点 A 的坐标为： （4，3） ，在反比例函数 y的图象上， 3， 解得：k14 第 19 页（共 28 页） 【点评】此题主要考查了菱形得性质以及勾股定理和反比例函数图象上点的坐标性质， 得出 H 点坐标是解题关键 21 （12 分）某校为了了解学生最喜欢的球类运动，对乒乓球、足球、篮球、排球四个项目 进行了调查，并将调查的结果绘制成了两幅统计图（说明：每位同学只选一种自己
32、最喜 欢的球类） ，请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）这次接受调查的学生共 200 人； （2）喜欢篮球 80 人，喜欢排球 20 人，补全条形统计图； （3）在平时的乒乓球项目训练中，有 5 名学生表现优秀，5 名学生中有 3 名男生，2 名 女生现从这 5 名学生中任意抽取 2 名学生参加比赛，求出刚好抽到一男一女的概率 【分析】 （1）读图可知喜欢足球的有 40 人，占 20%，求出总人数； （2）根据总人数求出喜欢乒乓球的人数所占的百分比，得出喜欢排球的人数，再根据喜 欢篮球的人数所占的百分比求出喜欢篮球的人数，从而补全统计图； （3）用列表法求出总的事件所发生的数目，再根据
33、概率公式即可求出刚好抽到一男一女 的概率 【解答】解： （1）喜欢足球的有 40 人，占 20%， 一共调查了：4020%200（人） ， 故答案为：200； （2）喜欢篮球的人数20040%80（人） ， 喜欢排球的人数20060408020（人） 条形图如图所示： 第 20 页（共 28 页） 故答案为 80，20 （3）根据题意画图如下： 由图可知总有 20 种等可能性结果，其中抽到一男一女的情况有 12 种，所以抽到一男一 女的概率为 P（一男一女） 【点评】本题考查学生的读图能力和求随机事件的概率，解题的关键是必须认真观察、 分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，难度适中
34、22 （12 分）有一斜坡 AC，其坡度为 i1：2，顶部 A 处的高 AB 为 5m，B，C 在同一水平 地面上 （1）求斜坡 AC 的水平宽度 BC 的长； （2）矩形 DEFG 为长方体货柜的侧面图，其中 DE3m，EF2m将该货柜沿斜坡向 上运送，当 CF4m，求点 D 离地面的高 （结果精确到 0.1m） 第 21 页（共 28 页） 【分析】 （1）根据坡度定义直接解答即可； （2）作 DHBC，垂足为 H，且与 AB 相交于 I想办法求出 DI、HI 即可解决问题； 【解答】解： （1）i1：2，AB5， BC10（m） （2）作 DHBC 于 H，DH 交 AC 于 I ABB
35、C，DHBC， ABDH， AGIDHIC， RtDGIRtCBARtCHI， RtDGIRtCBA， ， DGEF2， ， GI1，DI， RtCBARtCHI， ， AB5，BC10，AC5， HI， DHDI+HI4.9（m） 【点评】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟悉坡度坡角的定义和勾 第 22 页（共 28 页） 股定理是解题的关键 23 （12 分）已知关于 x 的一元二次方程（m24）x2+（2m1）x+10 （1）m 为何值时，方程有实数根？ （2）若 x1，x2是方程的两个实数根，S+10，求 S 的取值 范围 【分析】 （1）由二次项系数非零及根的判别式0，即可
36、得出关于 m 的不等式组，解之 即可得出 m 的取值范围； （2）S+10（+3）2+1，根据根与系数的关系即 可得出+12m，将其代入 S（+3）2+1 中可得出 S4（m+1）2+1， 利用二次函数的性质结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出 S 的取值范围 【解答】解： （1）关于 x 的一元二次方程（m24）x2+（2m1）x+10 有实数根， ， 解得：m且 m2， 当 m且 m2 时，方程有实数根 （2）S+10（+3）2+1 x1、x2是方程（m24）x2+（2m1）x+10 是方程的两个实数根， x1+x2，x1x2， +12m， S（12m3）2+14（m+1）2+1， S
37、4（m+1）2+1 的图象是顶点为（1，1） ，开口向上的抛物线， 当 m2 时，S37，当 m2 时，S5， 当 m4 时，S37，当 m0 时，S5， 虽 m且 m2，但 S 可以取 5、37， 第 23 页（共 28 页） S1 【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及一元二次方程的定义，解题的关 键是： （1）根据二次项系数非零及根的判别式0，找出关于 m 的不等式组； （2）利用 根与系数的关系找出 S4（m+1）2+1 24 （14 分）如图，在ABC 中，ABACm，ABC30 （1）利用尺规作O，使O 经过点 A 和点 B，圆心 O 在线段 BC 上，该圆与 BC 的另
38、 一交点为 D（保留作图痕迹，不写作法） （2）过点 O 作 OEAB 交 AC 于 E，连接 DE，求； （3）设 F 是线段 AB 上任意一点（不与 A，B 重合） ，连接 OF，当 AF+2OF 的最小值为 16 时，求 m 的值 【分析】 （1）作线段 AB 的中垂线，中垂线与 BC 的交点即为圆心 O，以点 O 为圆心、 OB 为半径作圆即可得； （2）连接 DE、AD，先求出DACC30知 ADDCBDOD，据此得出 OC BC， 由EOCABC 知 （） 2 ， 根据 DCOD 知 SEDCSEOC， 据此可得答案； （3）过点 O 作 OMAB 交O 于点 M、连接 AM、OM
39、、OA，作 FHOA，由ABC 30得AOM60、OAOM，即可知OAM 是等边三角形，利用等腰三角形的性质 知 OFMF，由 FHOA 且OAB30知 FHAF，据此知当点 M、F、H 三点共线 时，AF+OF 最小且为等边OAM 的高，再进一步求解可得 【解答】解： （1）如图 1 所示，O 即为所求； 第 24 页（共 28 页） （2）如图 2，连接 DE、AD， BD 是O 的直径， BAD90， ABC30， ADBD， ABAC， DAC180BAD2B30C， ADDCBDOD， OCBC， OEAB， EOCABC， （）2（）2， DCOD， SEDCSEOC， ， 第 2
40、5 页（共 28 页） ； （3）如图 3，过点 O 作 OMAB 交O 于点 M，则 OM 平分 AB， 连接 AM、OM、OA， 由ABC30得AOM60， OAOM， OAM 是等边三角形， AB 垂直平分 OM， 则 MFOF， 作 FHOA 于点 H， 由BAOB30得 AF2HF， AF+OFMF+FH， 根据两点之间线段最短知，当点 M、F、H 三点共线时，AF+OF 最小，此时AF+OF 即为等边OAM 的高， AF+OFOA， AF+2OF 的最小值为 16，即AF+OF 的最小值为 8， OA8， 又ABOA， AB8，即m8， 当 m16 时，AF+2OF 的最小值为 1
41、6 【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆的相关性质、相似三角形的 判定与性质、等边三角形的判定与性质及两点之间线段最短的应用等知识点 第 26 页（共 28 页） 25 （14 分）如图，抛物线 yax2+bx+6 与 x 轴交于点 A（6，0） ，B（1，0） ，与 y 轴交于 点 C （1）求抛物线的解析式； （2）若点 P 为该抛物线上一个动点； 动点 P 作 y 轴的垂线交直线 AC 于点 D，点 P 的坐标是多少时，以 O 为圆心，OD 的 长为半径的O 与 AC 相切？ 是否存在点 P，使ACP 为直角三角形？若存在，有几个？写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存
42、在，说明理由 【分析】 （1）先确定 C（0，6） ，设交点式 ya（x+1） （x6） ，然后把 C 点坐标代入求 出 a 的值即可； （2）设 P 点坐标为（x，x2+5x+6） ，作 ODAC 于 D，过 D 作 PDy 轴交抛物线 于 P 点，如图 1，先判断OAC 为等腰直角三角形得到 CDAD，则 D（3，3） ，然后计 算二次函数值为 3 对应的自变量的值即可得到 P 点坐标； 根据两点间的距离公式得到 PC2x2+（x2+5x）2，PA2（x6）2+（x2+5x+6）2， AC272，讨论：当PAC90，利用勾股定理得到（x6） 2+（x2+5x+6）2+72x2+ （x2+5
43、x） 2；当PCA90，利用勾股定理得到 72+x2+（x2+5x）2（x6）2+（ x2+5x+6） 2； 当APC90， 利用勾股定理得到 （x6）2+ （x2+5x+6）2+x2+ （x2+5x） 272，然后分别解方程即可得到对应的 P 点坐标 【解答】解： （1）当 x0 时，yax2+bx+66，则 C（0，6） ， 设抛物线的解析式为 ya（x+1） （x6） ， 把 C（0，6）代入得 a1 （6）6，解得 a1， 抛物线的解析式为 y（x+1） （x6） ，即 yx2+5x+6； （2）设 P 点坐标为（x，x2+5x+6） ， 作 ODAC 于 D，过 D 作 PDy 轴交
44、抛物线于 P 点，如图 1， OAOC6， 第 27 页（共 28 页） OAC 为等腰直角三角形， CDAD， D（3，3） ， 当 y3 时，x2+5x+63， 整理得 x25x30，解得 x1，x2，此时 P 点坐标为（，3） 或（，3） ； 即 P 点坐标为（，3）或（，3）时，以 O 为圆心，OD 的长为半径的O 与 AC 相切； 存在 4 个点 P，使ACP 为直角三角形 PC2x2+（x2+5x）2，PA2（x6）2+（x2+5x+6）2，AC262+6272， 当PAC90，PA2+AC2PC2， （x6）2+（x2+5x+6）2+72x2+（x2+5x）2， 整理得 x24x
45、120，解得 x16（舍去） ，x22，此时 P 点坐标为（2，8） ； 当PCA90，PC2+AC2PA2， 72+x2+（x2+5x）2（x6）2+（x2+5x+6）2， 整理得 x24x0，解得 x10（舍去） ，x24，此时 P 点坐标为（4，10） ； 当APC90，PA2+AC2PC2， （x6）2+（x2+5x+6）2+x2+（x2+5x）272， 整理得 x310x2+20x+240， x310x2+24x4x+240， x（x210x+24）4（x6）0， x（x4） （x6）4（x6）0， （x6） （x24x4）0， 而 x60， 所以 x24x40，解得 x12+2，x222，此时 P 点坐标为（2+2，4+2） 或（22，42） ； 综上所述，符合条件的点 P 的坐标为（2，8）或（4，10）或（2+2，4+2）或 （22，42） 第 28 页（共 28 页） 【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次 函数的性质、等腰直角三角形的性质和切线的判定；会利用待定系数法求函数解析式； 会运用勾股定理解方程，会解一元二次方程；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的 思想解决数学问题
