1、 第 1 页（共 29 页） 2018 年广东省深圳市光明新区中考数学一模试卷年广东省深圳市光明新区中考数学一模试卷 一、选择题（本题共有一、选择题（本题共有 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 1 （3 分）2018 的倒数是（ ） A2018 B C D2018 2 （3 分）下列计算正确的是（ ） Aa2+a22a4 B （a2）2a4 Ca2a3a6 D （a+1）2a2+1 3 （3 分）下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是（ ） A B C D 4 （3 分）下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ） A等边三角形 B平行四边形 C圆 D矩形
2、 5（3 分） 深圳地铁自开通以来， 发展速度不断加快， 现已成为深圳市民主要出行方式之一 截 止到 2017 年 12 月 31 日， 2017 年总客流量达到 14.39 亿人次， 日平均高达 394.34 万亿人 次，位于全国地铁排行第四名用科学记数法表示 14.39 亿为（ ） A14.39108 B14.39109 C14.39107 D1.439109 6 （3 分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 7 （3 分）学校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组代表学校参加青少年科技创 第 2 页（共 29 页） 新大赛，各组的平时成绩的平均数 （单位：分）及
3、方差 s2如表所示： 甲 乙 丙 丁 7 8 8 7 s2 1 1.2 1 1.8 如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 8 （3 分）下列说法中正确的是（ ） A “打开电视机，正在播放动物世界 ”是必然事件 B某种彩票的中奖概率为，说明每买 1000 张，一定有一张中奖 C抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为 D想了解长沙市所有城镇居民的人均年收入水平，宜采用抽样调查 9 （3 分）在ABC 中，ABAC，点 D、E 分别是边 AB、AC 的中点，点 F 在 BC 边上， 连接 DE，DF，EF，则添加下列哪一个条件后，仍无法
4、判定BFD 与EDF 全等（ ） AEFAB BBFCF CADFE DBDEF 10 （3 分）小玲每天骑自行车或步行上学，她上学的路程为 2800 米，骑自行车的平均速度 是步行平均速度的 4 倍，骑自行车比步行上学早到 30 分钟设小玲步行的平均速度为 x 米/分，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ） A B C D 11 （3 分）二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，则反比例函数与一次函数 ybx+c 在同一坐标系中的大致图象是（ ） 第 3 页（共 29 页） A B C D 12 （3 分）如图，在边长为 1 的正方形 ABCD 中，E、F 是 AD 边上的两个动点，且
5、 AE FD，连接 BE、CF、BD，CF 与 BD 交于点 G，连接 AG 交 BE 于点 H，连接 DH，下列 结论正确的个数是（ ） AGBE；HD 平分EHG；ABGFDG；SHDG：SHBGtanDAG； 线段 DH 的最小值是 A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 12 分）分） 13 （3 分）分解因式：4x236y2 14 （3 分）如图，在ABC 中，ABAC，按以下步骤作图：分别以点 B 和点 C 为圆心， 大于 BC 一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点 M 和点 N，作直线 MN 交
6、AB 于点 D；连 结 CD若 AB6，AC4，则ACD 的周长为 第 4 页（共 29 页） 15 （3 分）如图，在边长为+1 的菱形 ABCD 中，A60，点 E，F 分别在 AB，AD 上，沿 EF 折叠菱形，使点 A 落在 BC 边上的点 G 处，且 EGBD 于点 M，则 EG 的长 为 16 （3 分）如图 RtABC90，B60，取 AB 的中点，将一个足够大的正方形纸片 的一个顶点与 D 重合，DE 交 AC 于点 P，DG 经过点 C，将正方形 DEFG 绕点 D 顺时针 方向旋转角 （060） ，DE交 AC 于点 M，DG交 BC 于点 N，则的值 为 三、解答题（本题
7、共三、解答题（本题共 7 小题，共小题，共 52 分）分） 17 （5 分）计算：12018tan30|+（） 2 18 （6 分）先化简，再求值：（x） ，其中 x1 19 （7 分）某校为了解“阳光体育”活动的开展情况，从全校 2000 名学生中，随机抽取部 分学生进行问卷调查（每名学生只能填写一项自己喜欢的活动项目） ，并将调查结果绘制 成如下两幅不完整的统计图 第 5 页（共 29 页） 根据以上信息，解答下列问题： （1）被调查的学生共有 人，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，m ，n ，表示区域 C 的圆心角为 度； （3）全校学生中喜欢篮球的人数大约有多少？ 20 （8
8、分）如图，一次函数 yax+b（a0）的图象与 y 轴、x 轴分别交于点 A（0，4） 、B （4，0） ，与反比例函数 y（k0）的图象在第一象限交于 C、D 两点 （1）求该一次函数的解析式 （2）若 ACAD2，求 k 的值 21 （8 分）我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓我市某电器商场根 据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是 300 元/台经过市场销售后 发现：在一个月内，当售价是 500 元/台时，可售出 300 台，且售价每降低 10 元，就可 多售出 50 台若供货商规定这种空气净化器售价不能低于 400 元/台，代理销售商每月 要完成不低于 5
9、50 台的销售任务 （1）试确定月销售量 y（台）与售价 x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量 x 的 取值范围； （2）当售价 x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润 w（元） 最大？最大利润是多少？ 第 6 页（共 29 页） 22 （9 分）如图，在O 中，CD 为 O 的直径，ABAC，AFCD，垂足为 F，射线 AF 交 CB 于点 E （1）如图，求证：FACACB （2）如图，连接 EO 并延长交 AC 于点 G，证明：AC2FG （3）如图，在（2）的条件下，若 tanFGE，四边形 FECG 的面积为 4+8， 求 AC 的长 23 （9 分）如
10、图，关于 x 的二次函数 yx2+bx+c 经过点 B（1，0） ，点 A（3，0） ，与 y 轴相交于点 C，点 D 为二次函数的顶点，DE 为二次函数的对称轴，E 在 x 轴上 （1）求抛物线的解析式； （2）连接 AC，在线段 AC 上方的抛物线上是否存在点 F，使FAO 与ABC 相似，若 存在，求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由 （3）若 G 是直线 AC 下方的抛物线上一点，则 SAGC与 SADC是否存在 2 倍关系，若存 在，请直接写出点 G 的坐标 第 7 页（共 29 页） 2018 年广东省深圳市光明新区中考数学一模试卷年广东省深圳市光明新区中考数学一模试卷 参考答
11、案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题一、选择题（本题共有共有 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 1 （3 分）2018 的倒数是（ ） A2018 B C D2018 【分析】根据倒数的意义，可得答案 【解答】解：2018 的倒数是， 故选：C 【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键 2 （3 分）下列计算正确的是（ ） Aa2+a22a4 B （a2）2a4 Ca2a3a6 D （a+1）2a2+1 【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘法运算法则、积的乘方运算法则、 完全平方公式分别化简得出答案 【解答】解：A、a
12、2+a22a2，故此选项错误； B、 （a2）2a4，故此选项正确； C、a2a3a5，故此选项错误； D、 （a+1）2a2+2a+1，故此选项错误； 故选：B 【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘法运算、积的乘方运算、完全平 方公式等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键 3 （3 分）下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是（ ） A B C D 第 8 页（共 29 页） 【分析】分别确定四个几何体从正面和上面看所得到的视图即可 【解答】解：A、此几何体的主视图是等腰三角形，俯视图是圆，故此选项错误； B、此几何体的主视图是矩形，俯视图是矩形，故此选项正确； C、此几何体的主
13、视图是矩形，俯视图是圆，故此选项错误； D、此几何体的主视图是梯形，俯视图是矩形，故此选项错误； 故选：B 【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，注意所有的看到的棱都应表现在三视图 中 4 （3 分）下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ） A等边三角形 B平行四边形 C圆 D矩形 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形；故 A 错误； B、是中心对称图形，不是轴对称图形；故 B 正确； C、是中心对称图形，也是轴对称图形；故 C 错误； D、是中心对称图形，也是轴对称图形；故 D 错误； 故选：B 【点评】本题考查了中心对称
14、图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称 轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度 后与原图重合 5（3 分） 深圳地铁自开通以来， 发展速度不断加快， 现已成为深圳市民主要出行方式之一 截 止到 2017 年 12 月 31 日， 2017 年总客流量达到 14.39 亿人次， 日平均高达 394.34 万亿人 次，位于全国地铁排行第四名用科学记数法表示 14.39 亿为（ ） A14.39108 B14.39109 C14.39107 D1.439109 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定
15、n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：14.39 亿1.439109 故选：D 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其 中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 第 9 页（共 29 页） 6 （3 分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 【分析】分别解两个不等式得到 x3 和 x2.5，然后利用大小小大中间找确定不等式 组的解集，最后根据数轴表示不等式的解集的方法对各
16、选项进行判断 【解答】解：， 解得 x3， 解得 x2.5， 所以不等式组的解集为2.5x3 故选：A 【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各 不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解 集解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到 7 （3 分）学校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组代表学校参加青少年科技创 新大赛，各组的平时成绩的平均数 （单位：分）及方差 s2如表所示： 甲 乙 丙 丁 7 8 8 7 s2 1 1.2 1 1.8 如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是（
17、 ） A甲 B乙 C丙 D丁 【分析】先比较平均数得到乙组和丙组成绩较好，然后比较方差得到丙组的状态稳定， 于是可决定选丙组去参赛 第 10 页（共 29 页） 【解答】解：因为乙组、丙组的平均数比甲组、丁组大， 而丙组的方差比乙组的小， 所以丙组的成绩比较稳定， 所以丙组的成绩较好且状态稳定，应选的组是丙组 故选：C 【点评】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫 做这组数据的方差方差是反映一组数据的波动大小的一个量方差越大，则平均值的 离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好也 考查了平均数的意义 8 （3 分）下列说法中正确
18、的是（ ） A “打开电视机，正在播放动物世界 ”是必然事件 B某种彩票的中奖概率为，说明每买 1000 张，一定有一张中奖 C抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为 D想了解长沙市所有城镇居民的人均年收入水平，宜采用抽样调查 【分析】根据随机事件，可判断 A；根据概率的意义，可判断 B、C；根据调查方式，可 判断 D 【解答】解：A、 “打开电视机，正在播放动物世界 ”是随机事件，故 A 错误； B、某种彩票的中奖概率为，说明每买 1000 张，有可能中奖，也有可能不中奖， 故 B 错误； C、抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为，故 C 错误； D、想了解长沙市所有城
19、镇居民的人均年收入水平，宜采用抽样调查，故 D 正确； 故选：D 【点评】本题考查了全面调查与抽样调查，正确区分全面调查与抽样调查是解题关键， 注意概率时事件发生可能性的大小，并不一定发生 9 （3 分）在ABC 中，ABAC，点 D、E 分别是边 AB、AC 的中点，点 F 在 BC 边上， 连接 DE，DF，EF，则添加下列哪一个条件后，仍无法判定BFD 与EDF 全等（ ） 第 11 页（共 29 页） AEFAB BBFCF CADFE DBDEF 【分析】根据平行线的性质得到BDFEFD，根据 DE 分别是 ABAC 的中点，推出 DEBC，DEBC，得到EDFBFD，根据全等三角形
20、的判定即可判断 A；由 DE BCBF，EDFBFD，DFDF 即可得到BFDEDF；由ADFE 证 不出BFDEDF； 由BDEF， EDFBFD， DFDF， 得到BFDEDF 【解答】解：A、EFAB， BDFEFD， DE 分别是 ABAC 的中点， DEBC，DEBC（三角形的中位线定理） ， EDFBFD（平行线的性质） ， DFDF， BFDEDF，故本选项正确； B、DEBCBF，EDFBFD，DFDF，BFDEDF，故本选项正确； C、由ADFE 证不出BFDEDF，故本选项错误； D、BDEF，EDFBFD，DFDF，BFDEDF（AAS） ，故本选项 正确 故选：C 【点
21、评】本题主要考查对全等三角形的判定，平行线的性质，三角形的中位线等知识点 的理解和掌握，能求出证全等的 3 个条件是证此题的关键 10 （3 分）小玲每天骑自行车或步行上学，她上学的路程为 2800 米，骑自行车的平均速度 是步行平均速度的 4 倍，骑自行车比步行上学早到 30 分钟设小玲步行的平均速度为 x 米/分，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ） A B C D 第 12 页（共 29 页） 【分析】根据时间路程速度，以及关键语“骑自行车比步行上学早到 30 分钟”可得 出的等量关系是：小玲上学走的路程步行的速度小玲上学走的路程骑车的速度 30 【解答】解：设小玲步行的平均速度为 x
22、 米/分，则骑自行车的速度为 4x 米/分， 依题意，得 故选：A 【点评】考查了由实际问题抽象出分式方程，列分式方程解应用题与所有列方程解应用 题一样，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据 11 （3 分）二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，则反比例函数与一次函数 ybx+c 在同一坐标系中的大致图象是（ ） A B C D 【分析】先根据二次函数的图象开口向下可知 a0，再由函数图象经过原点可知 c0， 利用排除法即可得出正确答案 【解答】解：二次函数的图象开口向下， 反比例函数 y的图象必在二、四象限，故 A、C 错误； 二次函数的图象经过原点， c0， 一次函数 yb
23、x+c 的图象必经过原点，故 B 错误 第 13 页（共 29 页） 故选：D 【点评】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质， 熟知以上知识是解答此题的关键 12 （3 分）如图，在边长为 1 的正方形 ABCD 中，E、F 是 AD 边上的两个动点，且 AE FD，连接 BE、CF、BD，CF 与 BD 交于点 G，连接 AG 交 BE 于点 H，连接 DH，下列 结论正确的个数是（ ） AGBE；HD 平分EHG；ABGFDG；SHDG：SHBGtanDAG； 线段 DH 的最小值是 A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【分析】首先证明ABEDCF，ADG
24、CDG（SAS） ，AGBCGB，利用全 等三角形的性质，等高模型、三边关系一一判断即可 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， ABCD，BADADC90，ADBCDB45， 在ABE 和DCF 中， ， ABEDCF（SAS） ， ABEDCF， 在ADG 和CDG 中， ， ADGCDG（SAS） ， DAGDCF， ABEDAG， 第 14 页（共 29 页） DAG+BAH90， ABE+BAH90， AHB90， AGBE，故正确， 同法可证：AGBCGB， DFCB， CBGFDG， ABGFDG，故正确， SHDG：SHBGDG：BGDF：BCDF：CDtanFCD， 又DA
25、GFCD， SHDG：SHBGtanFCDtanDAG，故正确 取 AB 的中点 O，连接 OD、OH， 正方形的边长为 1， AOOH1， 由勾股定理得，OD， OH+DHOD， O、D、H 三点共线时，DH 最小， DH最小故正确 无法证明 DH 平分EHG，故错误， 故正确， 故选：A 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，勾 股定理、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，难点在于作辅 助线并确定出 DH 最小时的情况 第 15 页（共 29 页） 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 1
26、2 分）分） 13 （3 分）分解因式：4x236y2 4（x+3y） （x3y） 【分析】先提取公因式 4，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案 【解答】解：4x236y24（x29y2）4（x+3y） （x3y） 故答案为：4（x+3y） （x3y） 【点评】此题考查了提公因式法，公式法分解因式此题难度不大，解题的关键是注意 因式分解的步骤：先提公因式，再利用公式法分解，注意分解要彻底 14 （3 分）如图，在ABC 中，ABAC，按以下步骤作图：分别以点 B 和点 C 为圆心， 大于 BC 一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点 M 和点 N，作直线 MN 交 AB 于点 D；连 结 C
27、D若 AB6，AC4，则ACD 的周长为 10 【分析】根据题意可知直线 MN 是线段 BC 的垂直平分线，推出 DCDB，可以证明 ADC 的周长AC+AB，由此即可解决问题 【解答】解：由题意直线 MN 是线段 BC 的垂直平分线， 点 D 在直线 MN 上， DCDB， ADC 的周长AC+CD+ADAC+AD+BDAC+AB， AB6，AC4， ACD 的周长为 10 故答案为 10 【点评】本题考查基本作图、线段垂直平分线性质、三角形周长等知识，解题的关键是 学会转化，把ADC 的周长转化为求 AC+AB 来解决，属于基础题，中考常考题型 15 （3 分）如图，在边长为+1 的菱形
28、ABCD 中，A60，点 E，F 分别在 AB，AD 第 16 页（共 29 页） 上，沿 EF 折叠菱形，使点 A 落在 BC 边上的点 G 处，且 EGBD 于点 M，则 EG 的长 为 【分析】首先连接 AC，在 RtABO 中，求出 AO 的长度，进而求出 AC 的长度是多少； 然后根据 EGBD，ACBD，可得 EGAC，所以，据此求出 EG 的长为多少 即可 【解答】解：如图 1，连接 AC，交 BD 于点 O， 四边形 ABCD 是菱形， ACBD，AC2AO， A60， BAO30， AOABcos30（+1）， AC23， 沿 EF 折叠菱形，使点 A 落在 BC 边上的点
29、G 处， EGAE， EGBD，ACBD， EGAC， ， 又EGAE， ， 解得 EG， EG 的长为 第 17 页（共 29 页） 故答案为： 【点评】 （1）此题主要考查了翻折变换问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确： 折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对 应边和对应角相等 （2）此题还考查了菱形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：菱形 具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直， 并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有 2 条对称轴，分别是两条 对角线所在直线 16 （3 分）如图 Rt
30、ABC90，B60，取 AB 的中点，将一个足够大的正方形纸片 的一个顶点与 D 重合，DE 交 AC 于点 P，DG 经过点 C，将正方形 DEFG 绕点 D 顺时针 方向旋转角 （060） ，DE交 AC 于点 M，DG交 BC 于点 N，则的值为 【分析】作 DMAC 于 M，DNBC 于 N，如图，易得四边形 DMCN为矩形， 证明 RtMDMRtNDN 得到，再利用直角三角形斜边上的中线性质 得 DADC，则DCAA30，所以tan30，从而得到 【解答】解：作 DMAC 于 M，DNBC 于 N，如图， 易得四边形 DMCN为矩形， DNCM，MDN90， MDM+MDN90，MD
31、N+NDN90， MDMNDN， RtMDMRtNDN， ， 点 D 为 AB 的中点， 第 18 页（共 29 页） DADC， DCAA30， tanDCMtan30， 故答案为 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所 连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等也考查了相似三角形的判定与性质 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 7 小题，共小题，共 52 分）分） 17 （5 分）计算：12018tan30|+（） 2 【分析】直接利用特殊角的三角函数值和绝对值的性质以及负指数幂的性质分别化简得 出答案 【解答】解：原式1+（2）+4 1+12+4
32、 2+ 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 18 （6 分）先化简，再求值：（x） ，其中 x1 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案 【解答】解：当 x1 时， 原式 第 19 页（共 29 页） 【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于 基础题型 19 （7 分）某校为了解“阳光体育”活动的开展情况，从全校 2000 名学生中，随机抽取部 分学生进行问卷调查（每名学生只能填写一项自己喜欢的活动项目） ，并将调查结果绘制 成如下两幅不完整的统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）被调查的学生共有 100 人，并补全条形统计图； （
33、2）在扇形统计图中，m 30 ，n 10 ，表示区域 C 的圆心角为 144 度； （3）全校学生中喜欢篮球的人数大约有多少？ 【分析】 （1）用 B 组频数除以其所占的百分比即可求得样本容量； （2）用 A 组人数除以总人数即可求得 m 值，用 D 组人数除以总人数即可求得 n 值； （3）用总人数乘以 D 类所占的百分比即可求得全校喜欢篮球的人数； 【解答】解： （1）观察统计图知：喜欢乒乓球的有 20 人，占 20%， 故被调查的学生总数有 2020%100 人， 喜欢跳绳的有 10030201040 人， 条形统计图为： 第 20 页（共 29 页） （2）A 组有 30 人，D 组有
34、 10 人，共有 100 人， A 组所占的百分比为：30%，D 组所占的百分比为 10%， m30，n10； 表示区域 C 的圆心角为360144； （3）全校共有 2000 人，喜欢篮球的占 10%， 喜欢篮球的有 200010%200 人 【点评】本题考查了条形统计图的应用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解 决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据 20 （8 分）如图，一次函数 yax+b（a0）的图象与 y 轴、x 轴分别交于点 A（0，4） 、B （4，0） ，与反比例函数 y（k0）的图象在第一象限交于 C、D 两点 （1）求该一次函数的解析式 （2）若 AC
35、AD2，求 k 的值 【分析】 （1）把点 A（0，4） 、B（4，0）代入一次函数 yax+b 求出 a、b 的值即可得出 此函数的解析式； 第 21 页（共 29 页） （2）分别过点 C、D 作 CEy 轴于 E，DFy 轴于 F，再由 A、B 两点的坐标判断出 ABO 的度数，设 C（x1，y1） ，D（x2，y2） ，联立一次函数与反比例函数的解析式可得出 x1x2k，在 RtACE 与 RtADF 中可分别用 x1，x2表示出 AC 及 AD 的长，再由 AC AD2 即可求出 k 的值 【解答】解： （1）一次函数 yax+b 的图象经过点 A（0，4） 、B（4，0） ， ，解
36、得， 一次函数的解析式为：yx+4； （2）分别过点 C、D 作 CEy 轴于 E，DFy 轴于 F， 在 RtAOB 中，AO4，BO4， ABO45， 直线 AB 与双曲线 y相交于点 C、D， 设 C（x1，y1） ，D（x2，y2） ， ，得 x24x+k0， x1x2k， 在 RtACE 中，ACEABO45，CEx1， ACx1， 同理，在 RtADF 中，ADx2， ACAD2， x1x22，即 x1x21， k1 【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数的解 析式，解直角三角形等知识根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角 第 22 页
37、（共 29 页） 函数的定义求解是解答此题的关键 21 （8 分）我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓我市某电器商场根 据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是 300 元/台经过市场销售后 发现：在一个月内，当售价是 500 元/台时，可售出 300 台，且售价每降低 10 元，就可 多售出 50 台若供货商规定这种空气净化器售价不能低于 400 元/台，代理销售商每月 要完成不低于 550 台的销售任务 （1）试确定月销售量 y（台）与售价 x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量 x 的 取值范围； （2）当售价 x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净
38、化器所获得的利润 w（元） 最大？最大利润是多少？ 【分析】 （1）根据题意可以得到月销售量 y（台）与售价 x（元/台）之间的函数关系式； 并求出自变量 x 的取值范围； （2）根据题意可以得到利润 w 与 x 之间的函数关系四，然后根据二次函数的性质即可解 答本题 【解答】解： （1）由题意可得， y300+505x+2800， 供货商规定这种空气净化器售价不能低于 400 元/台，代理销售商每月要完成不低于 550 台的销售任务， 5x+2800550，得 x450， 400x450， 即月销售量 y （台） 与售价 x （元/台） 之间的函数关系式是 y5x+2800 （400x450
39、） ； （2）由题意可得， w（x300） （5x+2800）5x2+4300x8400005（x430）2+84500， 400x450， 当 x430 时，w 取得最大值，此时 w84500， 答： 当售价 x （元/台） 定为 430 元时， 商场每月销售这种空气净化器所获得的利润 w （元） 最大，最大利润是 84500 元 【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系 式，利用二次函数的性质解答 第 23 页（共 29 页） 22 （9 分）如图，在O 中，CD 为 O 的直径，ABAC，AFCD，垂足为 F，射线 AF 交 CB 于点 E （1）如图
40、，求证：FACACB （2）如图，连接 EO 并延长交 AC 于点 G，证明：AC2FG （3）如图，在（2）的条件下，若 tanFGE，四边形 FECG 的面积为 4+8， 求 AC 的长 【分析】 （1）连接 AD，根据同角的余角相等得：ADFFAC，再由同圆中弦相等， 则弧相等，进而由等弧所对的圆周角相等得：ADFACB，所以FACACB； （2）作辅助线，先证明AOECOE，得AEOCEO，由等腰三角形三线合一的 性质得：G 是 AC 的中点，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边一半可得结论：AC 2FG； （3）如图 3，作辅助线，构建高线 GH 和中位线，证明 F、E、C、G 四点共
41、圆，则 tan FGEtanFCE，设 EFa，FC3a，利用勾股定理得：EC 和 AC 的长，根据四 边形 FECG 的面积列式可得结论 【解答】证明： （1）如图 1，连接 AD， DC 为O 的直径， DAC90， AFCD， AFD90， ADF+DAFFAC+DAF， ADFFAC， ABAC， ， 第 24 页（共 29 页） ADFACB， FACACB； （2）如图 2，连接 AO， AOOC， OACOCA， CAFACB， EAOECO，AEEC， AOECOE， AEOCEO， EG 平分AEC， AEC 是等腰三角形， G 是 AC 的中点， AFC 是直角三角形， A
42、C2FG； （3）如图 3，过 G 作 GHDC 于 H， AFCD， AFGH， 在 RtAFC 中， G 是 AC 的中点， AGCG，GHAF， EACAFG， EACECA， AFGECA， AFG+EFG180， ECA+EFG180， F、E、C、G 四点共圆， FGEFCE， tanFGE， 第 25 页（共 29 页） tanFCE， 即， 设 EFa，FC3a， 由勾股定理得：ECa， AEECa， AFAEEFaa， GHAF， 由勾股定理得：ACa， AC2（202）a2， 四边形 FECG 的面积为 4+8， 则 SEFC+SFCG4+8， EFFC+FCGH4+8，
43、a3a+3a4+8， a2， AC2 （ 20 2） AC2 第 26 页（共 29 页） 【点评】本题是圆的综合题，考查了四点共圆的性质和判定、三角函数、圆周角定理、 三角形全等的性质和判定、勾股定理等知识，第三问中利用四点共圆将FGE 转化为 FCE 是关键，根据正切比的关系设未知数，由已知等量关系列方程可得出结果 23 （9 分）如图，关于 x 的二次函数 yx2+bx+c 经过点 B（1，0） ，点 A（3，0） ，与 y 轴相交于点 C，点 D 为二次函数的顶点，DE 为二次函数的对称轴，E 在 x 轴上 （1）求抛物线的解析式； （2）连接 AC，在线段 AC 上方的抛物线上是否存
44、在点 F，使FAO 与ABC 相似，若 存在，求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由 （3）若 G 是直线 AC 下方的抛物线上一点，则 SAGC与 SADC是否存在 2 倍关系，若存 在，请直接写出点 G 的坐标 【分析】 （1）用待定系数法直接求出抛物线解析式； 第 27 页（共 29 页） （2）设点 F 坐标为（x，y） ，分FAOBCA 和FAOBCA 两种情况进行讨论， 列出比例等式，求出 x 和 y 的值即可，进而作出判断； （3）先求出ACD 的面积，得出AGC 的面积是 6 或，建立方程求解即可得出点 G 的坐标 【解答】解： （1）二次函数 yx2+bx+c 经过点 B（
45、1，0） ，点 A（3，0） ， ， ， 抛物线的解析式为 yx22x+3 （2）如图 1， 设点 F 坐标为（x，y） 根据题意可得 AO3，AB4，BC，AC3， 若FAOCBA， 则， 设点 F 坐标为（x，y） ， 则 解得 x， 当 x时，y（y不符合题意） ， 此时点 F 的坐标为（，） ， 把点 x代入 yx22x+3 中，y， 第 28 页（共 29 页） 则点 F 不存在， 若FAOBCA， ， ， 解得 x， 当 x，y（y不符合题意） ， 此时点 F 的坐标为（，） ， 把点 x代入 yx22x+3 中，y， 则点 F 不存在， 当FAOACB 时， ， ， 解得 x，y或（舍弃） ， 把点 x代入 yx22x+3 中，y， 则点 F 不存在 （3）假如则 SAGC与 SADC是存在 2 倍关系， 如图 2，SAGC2SADC 由题意可得，直线 AC 的解析式为 yx+3， 第 29 页（共 29 页） 直线 DE 的解析式为 x1， N（1，2） ，D（1，4） ， DN2 S
