1、第9章 综合与实践（数学广角）31. 分析与推理一搭配问题是指在生活中，利用排列或组合的知识解决生活中的问题，如:组数、选择出行路线，比赛场次等。1. 意义排列是从n个给定的元素中选出m个元素按照一定的顺序排成一列;组合是从n个不同元素中取出m个元素组成一组，不计较组内各元素的次序。2. 排列和组合的最主要区别排列与顺序有关，组合与顺序无关。3.简单的排列方法(1)按顺序选定一个事物放在首位，再把剩下的事物排好顺序。(2)先分组，再在组内按顺序排列。4.简单的组合方法(1)按顺序依次搭配，不重复、不遗漏。(2)按顺序选定一个事物放在首位进行分组，再把剩下的事物进行分组组合，不重复、不遗漏。5.
2、口诀:分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。二、优化问题在日常生活中，我们经常会遇到这样的问题，完成某件事情，怎样规划安排，才能用最短的时间，最小的投人，最少的人力，最快的速度，取得最好的效果，我们称之为统筹或优化问题。如:沏茶问题、烙饼问题和田忌赛马问题等。我们还会遇到“费用最省”、“用时最少”、“面积最大”和“损耗最小”等问题，这些问题往往可以以极端情况去探讨它的最大(小)值，这类问题在数学中称为极值问题，实际上都是“最优化问题”。三、逻辑推理1.基本概念逻辑推理，是指依据逻辑规律，从一定的前提出发，通过一系列的推理来获取某种结论。2.基本方法和解题技巧解决推理问题的常用方法有:直接法、
3、假设法、排除法、反证法、图解法和列表法。逻辑推理问题的解决，需要深人地理解条件和结论，分析关键所在，找到突破口，进行合情合理的推理，在推理过程中往往需要交替运用“排除法”和“反证法”，要善于借助表格，把已知条件和推出的中间结论及时填人表格内。在填表时，对正确的(或不正确的)结果要及时注上“V”(或“X)，以免引起遗忘或混乱。4、 找次品问题 找次品是我们生活中经常遇到的问题，在一些外观看似相同的物品中，有一个质量不同(轻一点或重一点)的物品，需要我们想办法把它找出来。像这类问题就是找次品问题。 用天平找次品的解题策略: 一是把待测物品分成三份。 二是要分得尽量平均，能平均分成三份的，就平均分，
4、不能平均分成三份的，也应使多的与少的一份只差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数会更少。考点精讲分析典例精讲考点1 搭配问题【例1】 用3，5，0三个数字可以组成（ ）个不同的三位数（每个数字不能重复）【精析】简单的排列组合问题，按照一定的顺序来写，做到不重不漏。可分为:百位数字是3的有:305 ,350共2个;百位数字是5的有:503,530共2个，所以总共有4个不同的三位数。【答案】4【归纳总结】注意0不能写在最高位上。【例2】六年级5个班进行拔河比赛，采用单循环制进行比赛，全年级一共要比赛( )场。【精析】简单的排列组合问题，从左往右依次组合，不重不漏。【答案】六年级5个班记为A,B
5、,C,D,E，与A班进行的比赛有:AB , AC , AD , AE共4场;与B班进行的比赛有:BC,BD,BE共3场;与C班进行的比赛有:CD,CE共2场;与D班进行的比赛有:DE一场。所以总共有4+3+2+1 =10场比赛。【归纳总结】本题考查循环赛场次问题:有n个班(或组)进行单循环比赛，则比赛场次共有(n-1)+(n一2)+2+1场。考点2 优化问题【例3】妈妈下班回家做饭，淘米要2分钟，煮饭要20分钟，洗菜要3分钟，切菜要2分钟，炒菜要10分钟，如果煮饭和炒菜要用不同的锅和炉子，妈妈要将饭菜都做好，最少要用( )时间。【精析】简单的优化问题。可以这样安排:先淘米2分钟，煮饭20分钟，
6、煮饭的同时可以洗菜、切菜和炒菜。所以最少要用:2 + 20 = 22(分钟)。【答案】22【归纳总结】本题考查合理安排时间，既要抓住节省时间又不使工序矛盾进行分析设计。解决这类问题要注意哪些事情可以同时做，哪些不能同时做，能同时做的事情，尽量同时做，这样可以节省时间。【例4】如果将齐王的三种马的能力值设定为9,7,5，而田忌的三种马的能力都分别少一些为8,6 ,4，怎样才能使田忌赢呢?【精析】田忌赛马问题。根据三局两胜的规则，让田忌能力值最高的马与齐王的能力值第二的马比赛;让田忌能力值第二的马与齐王能力第三的马比赛;让田忌能力值最低的马与齐王能力值最高的马比赛。这样能保证田忌胜出2局。【答案】
7、列表格如下:第一次第二次第三次齐王975田忌486【归纳总结】田忌赛马问题考查的是对策论，必须齐王先出阵，田忌才可以选择对策。考点3 推理问题【例5】 A,B,C三人进行跑步比赛，甲、乙、丙三人对比赛结果进行预测。甲说:“A肯定是第一名。”乙说:”A不是最后一名。”丙说:“ A肯定不是第一名。”其中只有一人对比赛结果的预测是对的，预测对的是( )。A.甲 B.乙 C.丙 D.不能确定【精析】推理问题，根据“两个互相否定的思想不能同真”，甲和丙的预测互相矛盾，则必然有一人的预测是对的，再经过推论得出结果。根据题意，甲和丙的预测相互矛盾，必一对一错，因为只有一个人的预测是对的，不论甲对还是丙对，乙
8、必错，所以A是最后一名。甲说“A肯定是第一名”与“A是最后一名”相矛盾，所以甲预测错误，则丙预测就是对的。【答案】C【归纳总结】推理的关键是抓住一对截然相反、互相矛盾的说法展开推理，利用题目限定的条件，找出一个必错或必对的说法，作为突破口。考点4 找次品问题【例6】有8个相同的零件和1个稍轻的零件混在一起，用天平秤至少称()次能保证找到那个稍轻的零件。【精析】找次品问题，使用天平比较物体质量的大小，在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。将物体尽量平均分成3份，称的次数最少。第一步:把9个零件平均分为三份(3,3,3)，用天平称前两组(3，3)。 (1
9、)如果天平平衡，则稍轻的零件就在第3组里，再把第三组的3个零件平均分为三份(1,1,1),再用天平称前两组，如果平衡，则最后一个就是那个稍轻的零件;如果不平衡，那么天平上升的那边就是那个稍轻的零件。 (2)如果天平不平衡，则把上升的那个托盘中的3零件平均分成三份再称一次就能找到那个稍轻的零件。所以，用天平至少称2次就能找到那个稍轻的零件。【答案】 2【归纳总结】把待测物体尽量平均分成三份，不能平均分的，也使多的和少的一份只差1用天平找次品时，要测物品的个数(只含一个次品)和至少需要的次数与数字3有关。它的规律(在知道物体是较重或较轻的情况下)如下表所示:要测物品的个数其中最大数与3的关系需要的
10、次数23一个31499=332102727=3333288081=33334.如果不知道次品是较轻还是较重的情况下，需要在多测一次。名题精析【例】（西安高新某中入学）甲地有57吨货物运到乙城，大卡车载重量是5吨，小卡车载重量是3吨，耗油量分别是10升和5. 7升，则用多少辆大卡车和小卡车来运输，耗油量最省?【精析】最佳策略问题，先求出大卡车和小卡车每吨货物的耗油量，即大、小卡车的运愉成本，然后比较哪种卡车的运愉成本低，在设计方案时尽量选择运愉成本低的卡车，而且尽量满载。【答案】大卡车每吨耗油量:10 5 =2(升)。小卡车每吨耗油量:5.7 3 =1.9(升) 所以尽可能选择小卡车，而且尽量满
11、载;57吨货物选择小卡车来运，需要(辆)耗油量为:1.9 x57=108.3(升) 答:用19辆小卡车来运输，耗油量最省，为108.3升。【归纳总结】做题时，既要考虑运输成本，尽量选择运输成本低的卡车，又要尽量满载。毕业升学训练一、填空题1.由1,2,3这三个数字能组成的三位数一共有( )个，它们的和是( )。2.奥运会上，八个国家，每两个国家赛一场，共要赛( )场。3.笑笑安排时间最合理:起床整理被褥3分钟，刷牙3分钟，洗脸2分钟，听英语录音8分钟。如果六点起床，最快( )时( )分做完这些事情。4.亮亮从学校到少年宫有2条线路，从少年宫到公园有3条线路，那么亮亮从学校到公园共有( )条线路
12、可走。5.小明用平底锅烙饼，每次只能放2张饼，烙一张饼需要2分钟(正、反面各需1分钟)。为了节约时间，小明要烙7张饼最少需要( )分钟。6.两人玩扑克牌比大小的游戏，每人每次出一次牌，各出三次赢两次者胜，小红的牌是“9”, “7” ,“5”;，小芳的牌是“8”;“6”;“3”;。当小红出“9”时，小芳出( )才可能赢。二、选择题1.小明、小刚、小强分别担任语文、数学、外语某一门学科的课代表，并分别有篮球、排球、乒乓球三种爱好中的一种，若已知: (1)爱好排球、篮球的和小明一起去游泳; (2)爱好乒乓球的常和数学课代表一起写作; (3)小刚一点也不爱好篮球; (4)语文课代表对乒乓球、排球一窍不
13、通。 由此可以推断，小明、小刚、小强分别担任的学科课代表是( )。 A.外、数、语 B.数、语、外 C.语、外、数 D.不能确定2. A,B,C,D,E五人进行乒乓球比赛，每两人都要赛一场，现在A已经赛了4场，B已经赛了3场，C已经赛了2场，D已经赛了1场，那么E赛了( )场。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 43.在10个零件里有1个是次品(次品重些)，用天平称，至少称( )次才能保证找出次品。 A. 3 B. 2 C.4 D. 54.刚接到学校通知，有一个紧急演出，让学校的合唱队去参加，离演出时间很近了，合唱队共有31人，通知一个学生需要1分钟。老师最快( )分钟能通知到这31名同学。
14、 A. 32 B.8 C.16 D. 55.师生共32人去公园划船，大船租金30元，限乘6人，小船租金24元，限乘4人，下列( )方案最省钱。 A. 6条大船 B. 5条大船，1条小船 C. 4条大船，2条小船6.六年级有三个班，每班有两个班长。开班长会时，每次每班只需要一个班长参加。第一次参加会议的有A,B,C;第二次参加会议的有B,D,E;第三次参加会议的有A,E,F。下列说法正确的是( )。 A. B和E同班 B. C和E同班 C. A和F同班 D. C和F同班三、解决问题1.赵、钱、孙三个工人，在甲、乙、丙三个工厂里分别当车工、钳工和电工。赵不在甲厂，钱不在乙厂，在甲厂的不是钳工，在乙
15、厂的是车工，钱不是电工。这三个人分别在哪个工厂?干什么工作?2. 兵兵用红、黄、蓝三面旗子从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以挂一面、两面、三面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种信号?3. 小华妈妈每天7：30要上班，起床后每项家务所需时间如下：项目穿衣洗刷煮饭菜搞卫生吃饭时间（分）242056（1） 小花妈妈至少要用几分钟完成这些事（2） 小花妈妈必须在几时几分之前起床？4.市第一小学举行科技知识竞赛，同学们对一贯刻苦学习、爱好读书的四名学生的成绩作了如下估计:(1)丙得第一、乙得第二。(2)丙得第二、丁得第三。(3)甲得第二、丁得第四。比赛结果一公布，果然是这四名学生
16、获得前4名。但以上三种估计，每一种只对了一半错了一半。请问他们各得第几名?5. 有16人去公园划船游玩，有两种租船方式，5人座每只船3元，3人座每只船2元(不许超载)，请你至少写出3种租船方案，并说明花钱最少的租船方案?6. 在17个银元中，有一个是假的，除比真银元稍轻之外，其外表与真银元无任何差别;用一台去砝码天平至少称多少次就可保证找出假银元?冲刺提升一、填空题1.(抚州某一中入学)用1 g,2 g,4 g,8 g的祛码各一个，最多能称出( )种不同质量的物体。2.(西安高新某中入学)一场体育比赛中，一共有10名运动员，如果每两人握一次手，一共握了( )次。3.(西安某工大附中入学)用一只
17、平底锅煎饼，每次只能放两张饼，煎熟一张饼至少需要2分钟(正反两面各需要1分钟)，那么煎熟3张饼至少要( )分钟4.(西安某交大附中入学)数学竞赛后，小明、小华和小强各获得一枚奖牌，其中一人得金牌，一人得银牌，一人得铜牌。王老师猜测:小明得金牌，小华不得金牌，小强不得铜牌。结果老师只猜对了一个，那么小明得( )、小华得( )、小强得( )。5.(成都某九中入学)三个同学到少年宫参加课外活动，但活动时间不相同，甲每隔3天去一次，乙每隔5天去一次，丙每隔9天去一次，上次他们三人在少年宫同时见面时间是星期五。那么下次三人同时在少年宫见面是星期( )。二、选择题1.(陕西某师大附中入学)妈妈让小明给客人
18、沏茶。洗水壶用1分钟，烧开水用8分钟，洗茶壶用1分钟，洗茶杯用1分钟，泡茶用4分钟，那么客人最决( )分钟能喝到茶。 A. 15 B. 12 C. 13 D. 92.(西安某工大附中入学)小赵、小钱和小孙一位是工人，一位是医生，一位是教师。现在只知道: (1)小孙比教师年龄大;(2)小赵和医生不同岁; (3)医生比小钱年龄小。请分析( )是教师。A. 小赵 B.小钱 C.小孙 D.无法确定3.(西安某一中学入学)一个三位数，有相邻两个数字的和为16，那么这样的三位数共有( )个。 A. 54 B. 38 C. 76 D. 194.(成都某四中入学)四个小朋友各准备了一份礼物，先集中起来，然后每
19、人从中取出一件别人的礼物，则四件礼物不同的分配方式有( )种。 A. 12 B. 11 C. 9 D. 6二、解决问题1.(西安某工大附中分班)从8人的兴趣小组中选2人。(1)分别担任正副组长，有多少种不同的选法?(2)一起去参加一次数学竞赛，有多少种不同的选法?2.(南昌某中入学)甲城有157吨货物运到乙城，大卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是2吨，大卡车运一趟货物耗油10升，小卡车运一趟货物耗油5升，用多少辆大卡车和小卡车来运这批货物，才能使所有耗油量最少，最少耗油多少升?3.(临川某中分班)有100瓶水，其中99瓶质量相同，另有一瓶是糖水，比其他的水略重一些，至少称多少次才能保证找出这
20、瓶糖水?4.(西安高新某中入学)一位警察，抓获四个盗窃嫌疑人甲、乙、丙、丁，他们的供词如下:甲说:“不是我偷的。”乙说:“是甲偷的。”丙说:“不是我。”丁说:“是乙偷的。”他们四人中只有一人说的是真话，你知道谁是小偷吗?第九章 综合与实践（数学广角）31. 分析与推理毕业升学训练一、1. 6 1332 2. 28 3. 6 8 4. 6 5. 7 6. 3二、1. A 2. A 3. A 4. D 5. C 6. B三、1.【解析】通过和可知，钱不在乙厂，不是车工；通过知道钱不是电工，那么，钱必定是钳工；又通过可知在甲厂的不是钳工，则钱必定是丙厂的钳工；通过赵不在甲厂，是乙厂的车工；那么孙必定
21、是在甲厂工作，是电工。答：赵在乙厂干车工工作，钱在丙厂干钳工工作，孙在甲厂干电工工作。2.【解析】简单的排列组合问题。按照一定的顺序分类讨论，做到不重不漏。（1）挂一面旗子，共有3种情况；（2）挂两面旗子，共有32-6种不同的情况；（3）挂三面旗子，共有32-6种不同的情况；总共有：3+6+6=15（种）不同的信号。答：一共可以表示15种信号。3.【解析】优化问题。（1）在煮饭菜的同时可以洗刷与搞卫生，最后吃饭。共需：2+20+6-28（分钟）。（2）7:30往前推28分钟就是7时2分。答：小华妈妈至少要28分钟完成这些事。她必须要7时2分之前起床。4.【解析】推理问题。假设（1）中“丙得第一
22、”说错了，“乙得第二”说对了；则（2）中“丙得第二”说错了，“丁得第三”说对了；那么（3）中的两句话都是错的，与题目中“每一种只对了一半错了一半”相矛盾。这种假设不成立。从相反的方向推理。得：丙得第一、甲得第二、丁得第三、乙得第四。5.【解析】租船问题。5人座每人：35-0.6（元）。3人座每人：230.67（元）若租4条5人座船，则还有4个空座每人坐，费用为：43-12（元）若租3条5人座船，还有1人不能上船，剩余1人租3人座船，费用为：33+2-11（元）若租2条5人座船，2条3人座船，16人刚好坐满，费用为：23+22-10（元）12元11元10yua答：租2条5人座船，2条3人座船花钱
23、最少。6.【解析】找次品问题。把17个银元分成（6,6，5），先称前两组（6,6），若平衡，则把第三组5个银元分成（2，2,1），先称（2,2），若平衡，则最后一个银元就是次品；若不平衡，则把稍轻的2个银元再分成（1,1）再称一次就能找出次品。至少称3次才能保证找出假银元。若不平衡，把稍轻的6个银元分成（2,2,2），先称前两组（2,2），若平衡，则把最后2个分成（1,1）在称一次就能找出次品；若不平衡，把稍轻2个银元再分成（1,1）在称一次就能找出次品。至少称3次才能保证找出假银元。冲刺提升一、1. 15 2. 45 3. 3 4. 铜牌 金牌 银牌 5. 二二、1. C 2. A 3. A
24、 4. C三、1.【解析】排列组合问题。（1）87-56（种）答：有56种不同的选法。-（2）7+6+5+4+3+2+1-28（种）答：有28种不同的选法。2.【解析】大卡车每吨耗油：105-2（升）。小卡车每吨耗油：52-2.5（升）。所以尽量用大卡车运货物，且尽量不空载。如果用31辆大卡车和1辆小卡车，刚好运完157吨货物，最少耗油是：3110+15-215（升）打：运完这些货物最少耗油315升。3.【解析】找次品问题。按照规律，100在81243之间，243-33333，则至少称5次才能保证找出这瓶糖水。答：至少称5次才能保证找出这瓶糖水。4.【解析】根据题意，甲和乙的说法相互矛盾，必一真一假，因为还有一人说的是真的。不论甲真还是乙真，丙和丁说的必然是假的。丙说“不是我”，他说的是假的，那么丙就是小偷。丁说“是乙偷得”，说明乙不是小偷，与丙是小偷不矛盾。答：丙是小偷。
