小升初数学复习讲义31.分析与推理教案讲义及练习教师版

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1、第9章 综合与实践(数学广角)31. 分析与推理一搭配问题是指在生活中,利用排列或组合的知识解决生活中的问题,如:组数、选择出行路线,比赛场次等。1. 意义排列是从n个给定的元素中选出m个元素按照一定的顺序排成一列;组合是从n个不同元素中取出m个元素组成一组,不计较组内各元素的次序。2. 排列和组合的最主要区别排列与顺序有关,组合与顺序无关。3.简单的排列方法(1)按顺序选定一个事物放在首位,再把剩下的事物排好顺序。(2)先分组,再在组内按顺序排列。4.简单的组合方法(1)按顺序依次搭配,不重复、不遗漏。(2)按顺序选定一个事物放在首位进行分组,再把剩下的事物进行分组组合,不重复、不遗漏。5.

2、口诀:分类相加,分步相乘,有序排列,无序组合。二、优化问题在日常生活中,我们经常会遇到这样的问题,完成某件事情,怎样规划安排,才能用最短的时间,最小的投人,最少的人力,最快的速度,取得最好的效果,我们称之为统筹或优化问题。如:沏茶问题、烙饼问题和田忌赛马问题等。我们还会遇到“费用最省”、“用时最少”、“面积最大”和“损耗最小”等问题,这些问题往往可以以极端情况去探讨它的最大(小)值,这类问题在数学中称为极值问题,实际上都是“最优化问题”。三、逻辑推理1.基本概念逻辑推理,是指依据逻辑规律,从一定的前提出发,通过一系列的推理来获取某种结论。2.基本方法和解题技巧解决推理问题的常用方法有:直接法、

3、假设法、排除法、反证法、图解法和列表法。逻辑推理问题的解决,需要深人地理解条件和结论,分析关键所在,找到突破口,进行合情合理的推理,在推理过程中往往需要交替运用“排除法”和“反证法”,要善于借助表格,把已知条件和推出的中间结论及时填人表格内。在填表时,对正确的(或不正确的)结果要及时注上“V”(或“X),以免引起遗忘或混乱。4、 找次品问题 找次品是我们生活中经常遇到的问题,在一些外观看似相同的物品中,有一个质量不同(轻一点或重一点)的物品,需要我们想办法把它找出来。像这类问题就是找次品问题。 用天平找次品的解题策略: 一是把待测物品分成三份。 二是要分得尽量平均,能平均分成三份的,就平均分,

4、不能平均分成三份的,也应使多的与少的一份只差1。这样不但能保证找出次品,而且称的次数会更少。考点精讲分析典例精讲考点1 搭配问题【例1】 用3,5,0三个数字可以组成( )个不同的三位数(每个数字不能重复)【精析】简单的排列组合问题,按照一定的顺序来写,做到不重不漏。可分为:百位数字是3的有:305 ,350共2个;百位数字是5的有:503,530共2个,所以总共有4个不同的三位数。【答案】4【归纳总结】注意0不能写在最高位上。【例2】六年级5个班进行拔河比赛,采用单循环制进行比赛,全年级一共要比赛( )场。【精析】简单的排列组合问题,从左往右依次组合,不重不漏。【答案】六年级5个班记为A,B

5、,C,D,E,与A班进行的比赛有:AB , AC , AD , AE共4场;与B班进行的比赛有:BC,BD,BE共3场;与C班进行的比赛有:CD,CE共2场;与D班进行的比赛有:DE一场。所以总共有4+3+2+1 =10场比赛。【归纳总结】本题考查循环赛场次问题:有n个班(或组)进行单循环比赛,则比赛场次共有(n-1)+(n一2)+2+1场。考点2 优化问题【例3】妈妈下班回家做饭,淘米要2分钟,煮饭要20分钟,洗菜要3分钟,切菜要2分钟,炒菜要10分钟,如果煮饭和炒菜要用不同的锅和炉子,妈妈要将饭菜都做好,最少要用( )时间。【精析】简单的优化问题。可以这样安排:先淘米2分钟,煮饭20分钟,

6、煮饭的同时可以洗菜、切菜和炒菜。所以最少要用:2 + 20 = 22(分钟)。【答案】22【归纳总结】本题考查合理安排时间,既要抓住节省时间又不使工序矛盾进行分析设计。解决这类问题要注意哪些事情可以同时做,哪些不能同时做,能同时做的事情,尽量同时做,这样可以节省时间。【例4】如果将齐王的三种马的能力值设定为9,7,5,而田忌的三种马的能力都分别少一些为8,6 ,4,怎样才能使田忌赢呢?【精析】田忌赛马问题。根据三局两胜的规则,让田忌能力值最高的马与齐王的能力值第二的马比赛;让田忌能力值第二的马与齐王能力第三的马比赛;让田忌能力值最低的马与齐王能力值最高的马比赛。这样能保证田忌胜出2局。【答案】

7、列表格如下:第一次第二次第三次齐王975田忌486【归纳总结】田忌赛马问题考查的是对策论,必须齐王先出阵,田忌才可以选择对策。考点3 推理问题【例5】 A,B,C三人进行跑步比赛,甲、乙、丙三人对比赛结果进行预测。甲说:“A肯定是第一名。”乙说:”A不是最后一名。”丙说:“ A肯定不是第一名。”其中只有一人对比赛结果的预测是对的,预测对的是( )。A.甲 B.乙 C.丙 D.不能确定【精析】推理问题,根据“两个互相否定的思想不能同真”,甲和丙的预测互相矛盾,则必然有一人的预测是对的,再经过推论得出结果。根据题意,甲和丙的预测相互矛盾,必一对一错,因为只有一个人的预测是对的,不论甲对还是丙对,乙

8、必错,所以A是最后一名。甲说“A肯定是第一名”与“A是最后一名”相矛盾,所以甲预测错误,则丙预测就是对的。【答案】C【归纳总结】推理的关键是抓住一对截然相反、互相矛盾的说法展开推理,利用题目限定的条件,找出一个必错或必对的说法,作为突破口。考点4 找次品问题【例6】有8个相同的零件和1个稍轻的零件混在一起,用天平秤至少称()次能保证找到那个稍轻的零件。【精析】找次品问题,使用天平比较物体质量的大小,在调好的天平两盘中分别放上物体,当哪边的托盘上升,则说明这边托盘中的物体质量偏小。将物体尽量平均分成3份,称的次数最少。第一步:把9个零件平均分为三份(3,3,3),用天平称前两组(3,3)。 (1

9、)如果天平平衡,则稍轻的零件就在第3组里,再把第三组的3个零件平均分为三份(1,1,1),再用天平称前两组,如果平衡,则最后一个就是那个稍轻的零件;如果不平衡,那么天平上升的那边就是那个稍轻的零件。 (2)如果天平不平衡,则把上升的那个托盘中的3零件平均分成三份再称一次就能找到那个稍轻的零件。所以,用天平至少称2次就能找到那个稍轻的零件。【答案】 2【归纳总结】把待测物体尽量平均分成三份,不能平均分的,也使多的和少的一份只差1用天平找次品时,要测物品的个数(只含一个次品)和至少需要的次数与数字3有关。它的规律(在知道物体是较重或较轻的情况下)如下表所示:要测物品的个数其中最大数与3的关系需要的

10、次数23一个31499=332102727=3333288081=33334.如果不知道次品是较轻还是较重的情况下,需要在多测一次。名题精析【例】(西安高新某中入学)甲地有57吨货物运到乙城,大卡车载重量是5吨,小卡车载重量是3吨,耗油量分别是10升和5. 7升,则用多少辆大卡车和小卡车来运输,耗油量最省?【精析】最佳策略问题,先求出大卡车和小卡车每吨货物的耗油量,即大、小卡车的运愉成本,然后比较哪种卡车的运愉成本低,在设计方案时尽量选择运愉成本低的卡车,而且尽量满载。【答案】大卡车每吨耗油量:10 5 =2(升)。小卡车每吨耗油量:5.7 3 =1.9(升) 所以尽可能选择小卡车,而且尽量满

11、载;57吨货物选择小卡车来运,需要(辆)耗油量为:1.9 x57=108.3(升) 答:用19辆小卡车来运输,耗油量最省,为108.3升。【归纳总结】做题时,既要考虑运输成本,尽量选择运输成本低的卡车,又要尽量满载。毕业升学训练一、填空题1.由1,2,3这三个数字能组成的三位数一共有( )个,它们的和是( )。2.奥运会上,八个国家,每两个国家赛一场,共要赛( )场。3.笑笑安排时间最合理:起床整理被褥3分钟,刷牙3分钟,洗脸2分钟,听英语录音8分钟。如果六点起床,最快( )时( )分做完这些事情。4.亮亮从学校到少年宫有2条线路,从少年宫到公园有3条线路,那么亮亮从学校到公园共有( )条线路

12、可走。5.小明用平底锅烙饼,每次只能放2张饼,烙一张饼需要2分钟(正、反面各需1分钟)。为了节约时间,小明要烙7张饼最少需要( )分钟。6.两人玩扑克牌比大小的游戏,每人每次出一次牌,各出三次赢两次者胜,小红的牌是“9”, “7” ,“5”;,小芳的牌是“8”;“6”;“3”;。当小红出“9”时,小芳出( )才可能赢。二、选择题1.小明、小刚、小强分别担任语文、数学、外语某一门学科的课代表,并分别有篮球、排球、乒乓球三种爱好中的一种,若已知: (1)爱好排球、篮球的和小明一起去游泳; (2)爱好乒乓球的常和数学课代表一起写作; (3)小刚一点也不爱好篮球; (4)语文课代表对乒乓球、排球一窍不

13、通。 由此可以推断,小明、小刚、小强分别担任的学科课代表是( )。 A.外、数、语 B.数、语、外 C.语、外、数 D.不能确定2. A,B,C,D,E五人进行乒乓球比赛,每两人都要赛一场,现在A已经赛了4场,B已经赛了3场,C已经赛了2场,D已经赛了1场,那么E赛了( )场。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 43.在10个零件里有1个是次品(次品重些),用天平称,至少称( )次才能保证找出次品。 A. 3 B. 2 C.4 D. 54.刚接到学校通知,有一个紧急演出,让学校的合唱队去参加,离演出时间很近了,合唱队共有31人,通知一个学生需要1分钟。老师最快( )分钟能通知到这31名同学。

14、 A. 32 B.8 C.16 D. 55.师生共32人去公园划船,大船租金30元,限乘6人,小船租金24元,限乘4人,下列( )方案最省钱。 A. 6条大船 B. 5条大船,1条小船 C. 4条大船,2条小船6.六年级有三个班,每班有两个班长。开班长会时,每次每班只需要一个班长参加。第一次参加会议的有A,B,C;第二次参加会议的有B,D,E;第三次参加会议的有A,E,F。下列说法正确的是( )。 A. B和E同班 B. C和E同班 C. A和F同班 D. C和F同班三、解决问题1.赵、钱、孙三个工人,在甲、乙、丙三个工厂里分别当车工、钳工和电工。赵不在甲厂,钱不在乙厂,在甲厂的不是钳工,在乙

15、厂的是车工,钱不是电工。这三个人分别在哪个工厂?干什么工作?2. 兵兵用红、黄、蓝三面旗子从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号,每次可以挂一面、两面、三面,并且不同的顺序表示不同的信号,一共可以表示多少种信号?3. 小华妈妈每天7:30要上班,起床后每项家务所需时间如下:项目穿衣洗刷煮饭菜搞卫生吃饭时间(分)242056(1) 小花妈妈至少要用几分钟完成这些事(2) 小花妈妈必须在几时几分之前起床?4.市第一小学举行科技知识竞赛,同学们对一贯刻苦学习、爱好读书的四名学生的成绩作了如下估计:(1)丙得第一、乙得第二。(2)丙得第二、丁得第三。(3)甲得第二、丁得第四。比赛结果一公布,果然是这四名学生

16、获得前4名。但以上三种估计,每一种只对了一半错了一半。请问他们各得第几名?5. 有16人去公园划船游玩,有两种租船方式,5人座每只船3元,3人座每只船2元(不许超载),请你至少写出3种租船方案,并说明花钱最少的租船方案?6. 在17个银元中,有一个是假的,除比真银元稍轻之外,其外表与真银元无任何差别;用一台去砝码天平至少称多少次就可保证找出假银元?冲刺提升一、填空题1.(抚州某一中入学)用1 g,2 g,4 g,8 g的祛码各一个,最多能称出( )种不同质量的物体。2.(西安高新某中入学)一场体育比赛中,一共有10名运动员,如果每两人握一次手,一共握了( )次。3.(西安某工大附中入学)用一只

17、平底锅煎饼,每次只能放两张饼,煎熟一张饼至少需要2分钟(正反两面各需要1分钟),那么煎熟3张饼至少要( )分钟4.(西安某交大附中入学)数学竞赛后,小明、小华和小强各获得一枚奖牌,其中一人得金牌,一人得银牌,一人得铜牌。王老师猜测:小明得金牌,小华不得金牌,小强不得铜牌。结果老师只猜对了一个,那么小明得( )、小华得( )、小强得( )。5.(成都某九中入学)三个同学到少年宫参加课外活动,但活动时间不相同,甲每隔3天去一次,乙每隔5天去一次,丙每隔9天去一次,上次他们三人在少年宫同时见面时间是星期五。那么下次三人同时在少年宫见面是星期( )。二、选择题1.(陕西某师大附中入学)妈妈让小明给客人

18、沏茶。洗水壶用1分钟,烧开水用8分钟,洗茶壶用1分钟,洗茶杯用1分钟,泡茶用4分钟,那么客人最决( )分钟能喝到茶。 A. 15 B. 12 C. 13 D. 92.(西安某工大附中入学)小赵、小钱和小孙一位是工人,一位是医生,一位是教师。现在只知道: (1)小孙比教师年龄大;(2)小赵和医生不同岁; (3)医生比小钱年龄小。请分析( )是教师。A. 小赵 B.小钱 C.小孙 D.无法确定3.(西安某一中学入学)一个三位数,有相邻两个数字的和为16,那么这样的三位数共有( )个。 A. 54 B. 38 C. 76 D. 194.(成都某四中入学)四个小朋友各准备了一份礼物,先集中起来,然后每

19、人从中取出一件别人的礼物,则四件礼物不同的分配方式有( )种。 A. 12 B. 11 C. 9 D. 6二、解决问题1.(西安某工大附中分班)从8人的兴趣小组中选2人。(1)分别担任正副组长,有多少种不同的选法?(2)一起去参加一次数学竞赛,有多少种不同的选法?2.(南昌某中入学)甲城有157吨货物运到乙城,大卡车的载重量是5吨,小卡车的载重量是2吨,大卡车运一趟货物耗油10升,小卡车运一趟货物耗油5升,用多少辆大卡车和小卡车来运这批货物,才能使所有耗油量最少,最少耗油多少升?3.(临川某中分班)有100瓶水,其中99瓶质量相同,另有一瓶是糖水,比其他的水略重一些,至少称多少次才能保证找出这

20、瓶糖水?4.(西安高新某中入学)一位警察,抓获四个盗窃嫌疑人甲、乙、丙、丁,他们的供词如下:甲说:“不是我偷的。”乙说:“是甲偷的。”丙说:“不是我。”丁说:“是乙偷的。”他们四人中只有一人说的是真话,你知道谁是小偷吗?第九章 综合与实践(数学广角)31. 分析与推理毕业升学训练一、1. 6 1332 2. 28 3. 6 8 4. 6 5. 7 6. 3二、1. A 2. A 3. A 4. D 5. C 6. B三、1.【解析】通过和可知,钱不在乙厂,不是车工;通过知道钱不是电工,那么,钱必定是钳工;又通过可知在甲厂的不是钳工,则钱必定是丙厂的钳工;通过赵不在甲厂,是乙厂的车工;那么孙必定

21、是在甲厂工作,是电工。答:赵在乙厂干车工工作,钱在丙厂干钳工工作,孙在甲厂干电工工作。2.【解析】简单的排列组合问题。按照一定的顺序分类讨论,做到不重不漏。(1)挂一面旗子,共有3种情况;(2)挂两面旗子,共有32-6种不同的情况;(3)挂三面旗子,共有32-6种不同的情况;总共有:3+6+6=15(种)不同的信号。答:一共可以表示15种信号。3.【解析】优化问题。(1)在煮饭菜的同时可以洗刷与搞卫生,最后吃饭。共需:2+20+6-28(分钟)。(2)7:30往前推28分钟就是7时2分。答:小华妈妈至少要28分钟完成这些事。她必须要7时2分之前起床。4.【解析】推理问题。假设(1)中“丙得第一

22、”说错了,“乙得第二”说对了;则(2)中“丙得第二”说错了,“丁得第三”说对了;那么(3)中的两句话都是错的,与题目中“每一种只对了一半错了一半”相矛盾。这种假设不成立。从相反的方向推理。得:丙得第一、甲得第二、丁得第三、乙得第四。5.【解析】租船问题。5人座每人:35-0.6(元)。3人座每人:230.67(元)若租4条5人座船,则还有4个空座每人坐,费用为:43-12(元)若租3条5人座船,还有1人不能上船,剩余1人租3人座船,费用为:33+2-11(元)若租2条5人座船,2条3人座船,16人刚好坐满,费用为:23+22-10(元)12元11元10yua答:租2条5人座船,2条3人座船花钱

23、最少。6.【解析】找次品问题。把17个银元分成(6,6,5),先称前两组(6,6),若平衡,则把第三组5个银元分成(2,2,1),先称(2,2),若平衡,则最后一个银元就是次品;若不平衡,则把稍轻的2个银元再分成(1,1)再称一次就能找出次品。至少称3次才能保证找出假银元。若不平衡,把稍轻的6个银元分成(2,2,2),先称前两组(2,2),若平衡,则把最后2个分成(1,1)在称一次就能找出次品;若不平衡,把稍轻2个银元再分成(1,1)在称一次就能找出次品。至少称3次才能保证找出假银元。冲刺提升一、1. 15 2. 45 3. 3 4. 铜牌 金牌 银牌 5. 二二、1. C 2. A 3. A

24、 4. C三、1.【解析】排列组合问题。(1)87-56(种)答:有56种不同的选法。-(2)7+6+5+4+3+2+1-28(种)答:有28种不同的选法。2.【解析】大卡车每吨耗油:105-2(升)。小卡车每吨耗油:52-2.5(升)。所以尽量用大卡车运货物,且尽量不空载。如果用31辆大卡车和1辆小卡车,刚好运完157吨货物,最少耗油是:3110+15-215(升)打:运完这些货物最少耗油315升。3.【解析】找次品问题。按照规律,100在81243之间,243-33333,则至少称5次才能保证找出这瓶糖水。答:至少称5次才能保证找出这瓶糖水。4.【解析】根据题意,甲和乙的说法相互矛盾,必一真一假,因为还有一人说的是真的。不论甲真还是乙真,丙和丁说的必然是假的。丙说“不是我”,他说的是假的,那么丙就是小偷。丁说“是乙偷得”,说明乙不是小偷,与丙是小偷不矛盾。答:丙是小偷。

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