1、浙江省名校协作体2020届高三3月第二次联考数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若全集U0，1，2，3，4，5，6，7，集合A3，4，5，6，集合B1，3，4，则集合UAUB（）A0，1，2，5，6，7B1C0，2，7D5，62已知双曲线x2a2-y2b2=1（a0，b0）的渐近线方程为y3x，则双曲线的离心率是（）A10B1010C31010D3103若直线yax+2a与不等式组x-y+60x3x+y-30表示的平面区域有公共点，则实数a的取值范围是（）A0，95B0，9C0，+D，94某几何体的三视图如图所示（单位：
2、cm），该几何体的体积（单位：cm3）是（）A162B126C144D108+3625已知平面平面，且l，a，b，则“ab”是“al或bl”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6函数y（1-21+esinx）|x|的图象可能是（）A.B.C.D7已知0a1，随机变量X，Y的分布列如下：X012P（1a）22a（1a）a2Y101P（1a）22a（1a）a2则下列正确的是（）AE（Y）2aBE（X）E（Y）CD （Y）12DD（ X）D （Y）8已知C为RtABD斜边BD上一点，且ACD为等边三角形，现将ABC沿AC翻折至ABC若在三棱锥BACD中，直线CB和直
3、线AB与平面ACD所成角分别为，则（）A0B2C23D39已知0ab1e，则下列正确的是（）AbbbaabaaBbaaabbabCbbabbaaaD以上均不正确10已知数列an满足：a10，an+1=ln(ean+1)-an（nN*），前n项和为Sn（参考数据：ln20.693，ln31.099），则下列选项中错误的是（）Aa2n1是单调递增数列，a2n是单调递减数列Ban+an+1ln3CS2020666Da2n1a2n二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11已知复数z=2+i1-i（i是虚数单位），则|z| 12我国古代数学著作增删算法统宗中有这样一道题：“
4、三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关；要见每朝行里数，请君仔细详推算”其大意为“某人行路，每天走的路是前一天的一半，6天共走了378里”则他第六天走 里路，前三天共走了 里路13在二项式(x2-1x)6的展开式中，常数项是 ，所有二项式系数之和是 14设椭圆C：x22+y2=1的左焦点为F，直线l：xy+20动点P在椭圆C上，记点P到直线l的距离为d，则|PF|d的最大值是 15在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c若C2B，4b3c，a1，则sinA ，ABC的面积是 16已知x，yR，且满足4x+y+2xy+10，则x2+y2+x+4y的最小值是 17已
5、知平面向量a，b，c，|a|2，|b|3，|c|4，ab=32，则|ac|+|bc|的最大值是 ，最小值是 三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18（14分）已知函数f(x)=sin2(x+3)+12cos(2x+6)（）求f(24)的值；（）求函数yf（x）的最小正周期及其单调递增区间19（15分）如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，ABC=3，B1BD=6，（）求证：直线AC平面BDB1；（）求直线A1B1与平面ACC1所成角的正弦值20（15分）已知等比数列an的前n项和为Sn，满足a4a212，S4+2S23S3，数列bn
6、满足b10，且n（bn+1+1）（n+1）（bn+1）n（n+1）（nN*）（）求数列an，bn的通项公式；（）设数列(bnan)前n项和为Tn，证明：Tn2（nN*）21（15分）已知抛物线x22py（p0）上一点R（m，2）到它的准线的距离为3若点A，B，C分别在抛物线上，且点A、C在y轴右侧，点B在y轴左侧，ABC的重心G在y轴上，直线AB交y轴于点M且满足3|AM|2|BM|，直线BC交y轴于点N记DABC，AMG，CNG的面积分别为S1，S2，S3（）求p的值及抛物线的准线方程；（）求S1S2+S3的取值范围22（15分）已知函数f（x）（ek）elnx+kx，其中k0，g（x）ex
7、（）求函数f（x）的单调区间；（）证明：当ek2e2+e时，存在唯一的整数x0，使得f（x0）g（x0）（注：e2.71828为自然对数的底数，且ln20.693，ln31.099）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1全集U0，1，2，3，4，5，6，7，集合A3，4，5，6，集合B1，3，4，则集合UA0，1，2，7，UB0，2，5，6，7，集合UAUB0，2，7，故选：C2由双曲线的方程可得渐近线为：y=bax，所以由题意可得：ba=3，所以离心率e=ca=c2a2=1+b2a2=1+9=10，故选：A3画出不等式组表示的平
8、面区域，如图所示x-y+6=0x+y-3=0x=-32y=92；C（-32，92），直线ya（x+2）过定点A（2，0），直线ya（x+2）经过不等式组表示的平面区域有公共点则a0，kAC=92-0(-32)-(-2)=9，a0，9故选：B4由三视图知，该几何体是底面为正视图的直四棱柱，如图所示；结合图中数据，计算该几何体的体积为VSh=12（3+6）66162（cm3）故选：A5由=lababal或bl，由=labal或blab，故“ab”是“al或bl”的充要条件，故选：C6因为f（x）y（1-21+esinx）|x|=-1-esinx1+esinx|x|，所以f（x）=(1-21+esi
9、n(-x)|-x|=(1-21+e-sinx)|x|=1-esinx1+esinx|x|=-f（x），所以函数为奇函数，排除A、B选项；f(2)=(1-21+e1)|2|=e-1e+120，所以排除C故选：D7（1a）2+2a（1a）+a21，恒成立，0a1，依题意EX2a（1a）+2a22a，EY（1a）2a212a，EX与EY不能说明大小关系所以D（X）（1a）2（02a）2+2a（1a）（12a）2+a2（22a）22a2a2同理：D（Y）（1a）2（2a）2+2a（1a）（12a）2+a2（2+2a）22a2a2D（X）D（Y），故选：D8BAC90，ADB60，不妨设AD1，AB=3
10、=AB，BD=2，CB=CB=1，设B到平面ACD的距离为d，且易知B的轨迹为以AC为锥轴，AB为母线的圆锥的底面圆周，d(0，32，当ABCD时取得最大值，sin=d1=d，sin=d3sin，故排除A；下面比较与2的大小：sin2=2d31-d23=d43-49d2，且由最小角定理可知，60，30，260，sin2-sin=d(43-49d2-1)，又d2(0，34，sin2sin0，即2，故排除CD故选：B9令yf（x）xx，x（0，1e）则lnyxlnx，yxx（lnx+1）0函数f（x）xx在x（0，1e）上单调递减0ab1e，aabb，即baab0ab1e，利用指数函数幂函数的单调
11、性可得：bbba，abaa，bbbaabaa，故选：A10由an+1=ln(ean+1)-an，得an+1=ln(ean+1)-ln(ean)，ean+1=1+1ean，令bn=ean，即anlnbn，则bn+1=1+1bn，a10，b11，作图如下：由图得：b2n1单调递增，b2n单调递减，anlnbn，故A正确；bn1，2，bnbn+1bn（1+1bn）bn+12，3，bnbn+1=ean+an+12，3，an+an+1ln2，ln3，故B正确；an+an+1ln2，S2020（a1+a2）+（a2019+a2010）1010ln2693，故C错误由不动点（5+125+12），得1b2n-
12、11+52，1+52b2n2，b2nb2n1，a2na2n1，故D正确故选：C二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11复数z=2+i1-i=(2+i)(1+i)(1-i)(1+i)=1+3i2，则|z|=(12)2+(32)2=102故答案为：10212每天走的路形成等比数列an，公比q=12，S6378a1(1-126)1-12=378，解得a1192a6192125=6，S3=192(1-123)1-12=336故答案为：192，33613二项式(x2-1x)6的展开式中，常数项为：C64（1）415；二项式(x2-1x)6的展开式中所有二项式系数之和为C6
13、0+C61+C66=2664故答案为：15；6414椭圆C：x22+y2=1的左焦点为F（1，0），右焦点F（1，0），直线l：xy+20动点P在椭圆C上，由椭圆的定义可知|PF|+|PF|22，记点P到直线l的距离为d，则|PF|d22-d|PF|22-（d+|PF|），当d+|PF|最小时，|PF|d取得最大值，所以d+|PF|最小值为：|1-0+2|2=322，则|PF|d的最大值是：22-322=22故答案为：2215因为C2B，4b3c，由正弦定理可得，bc=sinBsinC，即34=sinBsin2B=12cosB，所以cosB=23，sinB=1-cos2B=53，故sinCsi
14、n2B2sinBcosB=22353=459，cosCcos2B2cos2B1=-19，sinAsin（B+C）sinBcosC+sinCcosB=53(-19)+23459=7527，由正弦定理可得，asinA=bsinB，即17527=b53，故b=97，SABC=12absinC=12197459=257故答案为：7527，25716由4x+y+2xy+10，得（2x+1）（y+2）1，令2x+1m，y+2n，则mn1x2+y2+x+4y=14m2+n2-174212mn-174=1-174=-134当且仅当12m=n，即x+12=y+2，联立x=y+324x+y+2xy+1=0，解得x
15、=-1-22y=-2-22或x=-1+22y=-2+22，说明中“”成立x2+y2+x+4y的最小值是-134故答案为：-13417ab=32，cosa，b=14，而|ac|+|bc|=|a|c|cos1+|b|c|cos2=|c|(|a|cos1+|b|cos2)，其中a，c=1，b，c=2，|a|cos1表示a在c上的投影，|b|cos2表示b在c上的投影，向量a和向量b在一个线上，投影之和的最大值为|OB|，即c经过点B时，|OB|=22+32-223(-14)=4，最大值为|c|OB|=44=16；接下来求|MN|的最小值，|OM|随着角度的变化要小于|ON|，故当ONOB时，|MN|
16、有最小值，此时|MN|min=|OA|cos(2-)=21-(14)2=152，其中a，b=，最小值为4152=215故答案为：16，215三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18（）由f(x)=sin2(x+3)+12cos(2x+6)可得：f(x)=1-cos(2x+23)2+cos(2x+6)，=cos(2x+6)-cos(2x+6+2)2+12，=cos(2x+6)+sin(2x+6)2+12，=22sin(2x+512)+12，则f(24)=22sin(224+512)+12=22sin2+12=2+12（）由（）知：f(x)=22sin(2x+
17、512)+12，函数yf（x）的最小正周期为T，又 由2k-22x+5122k+2，解得k-1124xk+24因此函数yf（x）的单调递增强区间为k-1124，k+24（kZ）19（I）方法一：连接AC，BD交于O，因为BCBA，B1BAB1BC，B1BBB1，所以B1BCB1BA，故B1AB1C；（2分）又因为O为菱形对角线交点，即是线段AC的中点，所以B1OAC；又四边形ABCD为菱形，故ACBD；而B1OBDO，所以AC平面BDB1；方法二：因为B1BAB1BC，所以点B1在平面ABCD内的射影O在为ABC的平分线，（2分）又四边形ABCD为菱形，故BD为ABC的平分线，则O直线BD，故
18、平面BDB1平面ABCD，而平面BDB1平面ABCDBD，又四边形ABCD为菱形，故ACBD，所以AC平面BDB1；（）方法一：延长AA1，BB1，CC1，DD1交于点P，平面BDB1即为平面BDP，平面ACC1即平面ACP，由（I）得平面ACP平面BDP，OP平面ACP平面BDP，所以过B1作B1HOP，则B1H平面ACP，故B1A1H即为直线A1B1与平面ACC1所成角；（10分）（若研究直线AB与平面ACC1所成角的正弦值则线段等比例扩大2倍结果不变）因为四棱台ABCDA1B1C1D1中AB2A1B12，所以A1B11，BP6；因为ABBC2，所以BD=23，作PGBD，因为B1BD=6
19、，则BG=33，PG3，所以PO=21，（12分）所以cosBPO=36+21-32621=9221，sinBPO=714，B1H=3714，（14分）所以sinB1A1H=B1HB1A1=3714 （15分）方法二：延长AA1，BB1，CC1，DD1交于点P，平面BDB1即为平面BDP，平面ACC1即平面ACP，设直线A1B1与平面ACC1所成角为，过P作PGBD，垂足为G，因为BP6，所以BG=33；建立空间直角坐标系如下，以OB，OC为x，y轴，作z轴GP，（9分）则A(0，-1，0)，B(3，0，0)，C(0，1，0)，P(-23，0，3)；所以AB=(3，1，0)，AC=(0，2，0
20、)，AP=(-23，1，3)；（11分）设平面ACP的法向量为m=(x，y，z)，则2y=0-23x+y+3z=0，化简得y=02x-3z=0；所以m=(32，0，1)，（13分）所以cosm，AB=323+0+03+1+034+0+1=327=3714；所以sin=3714（15分）20（I）由S4+2S23S3，得S4S32（S3S2）即a42a3，q2又a4a212故a12，所以an=2n由nbn+1（n+1）bnn（n+1）两边同除以n（n+1），得bn+1+1n+1-bn+1n=1，从而数列bn+1n为首项b1+11，公差d1的等差数列所以bn+1n=n，从而数列bn的通项公式为bn
21、=n2-1证明：（）由（I）知bnan=n2-12nn2n令cn=n2n，数列cn之和为Sn，则TnSn因为Snc1+c2+c3+cn=121+222+323+n2n则12Sn=122+223+324+n-12n+n2n+1，两式相减得12Sn=12+122+123+124+12n-n2n+1，12Sn=12(1-(12)n)1-12-n2n+1=1-(12)n-n2n+1整理得Sn=2-n+22n所以TnSn221（I）由抛物线的定义可知2+p2=3，p2，所以抛物线方程x24y，所以p2，抛物线的准线方程：y1；（）设点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），x10，x20，
22、x30SAMGSABG=|AM|AB|，SCNGSCBG=|CN|BC|，点G为ABC的重心，所以SABG=SCBG=13SABC，且x1+x2+x30，S2+S3S1=13(|AM|AB|+|CN|BC|)=13(x1x1-x2+x3x3-x2)=13(x1x1-x2-x1+x2-x1-2x2)=13(x1x1-x2+x1+x2x1+2x2)，令u=x1x2，所以S2+S3S1=13(uu-1+u+1u+2)=13(2+1u-1-1u+2)=13(2+3(u-1)(u+2)，因为3|AM|2|BM|，所以3x12x2，故-23u0，(u-1)(u+2)-94，-2)，因此S2+S3S1(16
23、，29，故所以S1S2+S392，6)22（）函数的定义域为（0，+），f(x)=kx+(e-k)ex，若0ke，则f(x)=kx-(k-e)ekx0，函数f（x）在区间（0，+）上单调递增，若ke，f(x)=kx-(k-e)ekx，当x(0，(k-e)ek)时，f（x）0，此时函数f（x）单调递减，当x(k-e)ek，+)时，f（x）0，此时函数f（x）单调递增；（）证明：当x01时，f（1）keg（1），即存在x01，使得f（x0）g（x0）；当x02时，f（2）g（2）（ek）eln2+2ke2，令m（k）（ek）eln2+2ke2，因为m（k）是关于k的一次函数，所以m(k)max=m
24、axm(e)，m(2e2+e)，其中m（e）2ee20，m（2e2+e）e（3e+22e2ln2），又3e+22e2ln22e（2eln23）22.71（22.710.693）0.0048580，所以m（k）max0，即x02不符合题意；因为讨论的是整数解问题，所以接下来若能证明xe时，不符合题意即可，当xe时，令h（x）g（x）f（x）ex（ek）elnxkx，则h(x)=ex-(k-e)ex-k，令t(x)=ex-(k-e)ex-k，则t(x)=ex-(k-e)ex2，由ke易知t（x）在e，+）上单调递增，则t(x)t(e)=ee-k-eeee-2e2+e-ee=ee-2e0，所以t（x）在e，+）上单调递增，则t(x)t(e)=ee-(e-k)ee-k=ee-e0，所以h（x）0，即h（x）在e，+）上单调递增，则h（x）h（e）ee（ek）elneekeee20，即g（x）f（x），不符合题意综上所述，当ek2e2+e时，存在唯一的整数x01，使得f（x0）g（x0）15
