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浙江省名校协作体2020届高三3月第二次联考数学试题(含答案解析)

1、浙江省名校协作体2020届高三3月第二次联考数学试题一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1若全集U0,1,2,3,4,5,6,7,集合A3,4,5,6,集合B1,3,4,则集合UAUB()A0,1,2,5,6,7B1C0,2,7D5,62已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线方程为y3x,则双曲线的离心率是()A10B1010C31010D3103若直线yax+2a与不等式组x-y+60x3x+y-30表示的平面区域有公共点,则实数a的取值范围是()A0,95B0,9C0,+D,94某几何体的三视图如图所示(单位:

2、cm),该几何体的体积(单位:cm3)是()A162B126C144D108+3625已知平面平面,且l,a,b,则“ab”是“al或bl”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6函数y(1-21+esinx)|x|的图象可能是()A.B.C.D7已知0a1,随机变量X,Y的分布列如下:X012P(1a)22a(1a)a2Y101P(1a)22a(1a)a2则下列正确的是()AE(Y)2aBE(X)E(Y)CD (Y)12DD( X)D (Y)8已知C为RtABD斜边BD上一点,且ACD为等边三角形,现将ABC沿AC翻折至ABC若在三棱锥BACD中,直线CB和直

3、线AB与平面ACD所成角分别为,则()A0B2C23D39已知0ab1e,则下列正确的是()AbbbaabaaBbaaabbabCbbabbaaaD以上均不正确10已知数列an满足:a10,an+1=ln(ean+1)-an(nN*),前n项和为Sn(参考数据:ln20.693,ln31.099),则下列选项中错误的是()Aa2n1是单调递增数列,a2n是单调递减数列Ban+an+1ln3CS2020666Da2n1a2n二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分11已知复数z=2+i1-i(i是虚数单位),则|z| 12我国古代数学著作增删算法统宗中有这样一道题:“

4、三百七十八里关,初行健步不为难;次日脚痛减一半,六朝才得到其关;要见每朝行里数,请君仔细详推算”其大意为“某人行路,每天走的路是前一天的一半,6天共走了378里”则他第六天走 里路,前三天共走了 里路13在二项式(x2-1x)6的展开式中,常数项是 ,所有二项式系数之和是 14设椭圆C:x22+y2=1的左焦点为F,直线l:xy+20动点P在椭圆C上,记点P到直线l的距离为d,则|PF|d的最大值是 15在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c若C2B,4b3c,a1,则sinA ,ABC的面积是 16已知x,yR,且满足4x+y+2xy+10,则x2+y2+x+4y的最小值是 17已

5、知平面向量a,b,c,|a|2,|b|3,|c|4,ab=32,则|ac|+|bc|的最大值是 ,最小值是 三、解答题:本大题共5小题,共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18(14分)已知函数f(x)=sin2(x+3)+12cos(2x+6)()求f(24)的值;()求函数yf(x)的最小正周期及其单调递增区间19(15分)如图,在四棱台ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD是菱形,ABC=3,B1BD=6,()求证:直线AC平面BDB1;()求直线A1B1与平面ACC1所成角的正弦值20(15分)已知等比数列an的前n项和为Sn,满足a4a212,S4+2S23S3,数列bn

6、满足b10,且n(bn+1+1)(n+1)(bn+1)n(n+1)(nN*)()求数列an,bn的通项公式;()设数列(bnan)前n项和为Tn,证明:Tn2(nN*)21(15分)已知抛物线x22py(p0)上一点R(m,2)到它的准线的距离为3若点A,B,C分别在抛物线上,且点A、C在y轴右侧,点B在y轴左侧,ABC的重心G在y轴上,直线AB交y轴于点M且满足3|AM|2|BM|,直线BC交y轴于点N记DABC,AMG,CNG的面积分别为S1,S2,S3()求p的值及抛物线的准线方程;()求S1S2+S3的取值范围22(15分)已知函数f(x)(ek)elnx+kx,其中k0,g(x)ex

7、()求函数f(x)的单调区间;()证明:当ek2e2+e时,存在唯一的整数x0,使得f(x0)g(x0)(注:e2.71828为自然对数的底数,且ln20.693,ln31.099)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1全集U0,1,2,3,4,5,6,7,集合A3,4,5,6,集合B1,3,4,则集合UA0,1,2,7,UB0,2,5,6,7,集合UAUB0,2,7,故选:C2由双曲线的方程可得渐近线为:y=bax,所以由题意可得:ba=3,所以离心率e=ca=c2a2=1+b2a2=1+9=10,故选:A3画出不等式组表示的平

8、面区域,如图所示x-y+6=0x+y-3=0x=-32y=92;C(-32,92),直线ya(x+2)过定点A(2,0),直线ya(x+2)经过不等式组表示的平面区域有公共点则a0,kAC=92-0(-32)-(-2)=9,a0,9故选:B4由三视图知,该几何体是底面为正视图的直四棱柱,如图所示;结合图中数据,计算该几何体的体积为VSh=12(3+6)66162(cm3)故选:A5由=lababal或bl,由=labal或blab,故“ab”是“al或bl”的充要条件,故选:C6因为f(x)y(1-21+esinx)|x|=-1-esinx1+esinx|x|,所以f(x)=(1-21+esi

9、n(-x)|-x|=(1-21+e-sinx)|x|=1-esinx1+esinx|x|=-f(x),所以函数为奇函数,排除A、B选项;f(2)=(1-21+e1)|2|=e-1e+120,所以排除C故选:D7(1a)2+2a(1a)+a21,恒成立,0a1,依题意EX2a(1a)+2a22a,EY(1a)2a212a,EX与EY不能说明大小关系所以D(X)(1a)2(02a)2+2a(1a)(12a)2+a2(22a)22a2a2同理:D(Y)(1a)2(2a)2+2a(1a)(12a)2+a2(2+2a)22a2a2D(X)D(Y),故选:D8BAC90,ADB60,不妨设AD1,AB=3

10、=AB,BD=2,CB=CB=1,设B到平面ACD的距离为d,且易知B的轨迹为以AC为锥轴,AB为母线的圆锥的底面圆周,d(0,32,当ABCD时取得最大值,sin=d1=d,sin=d3sin,故排除A;下面比较与2的大小:sin2=2d31-d23=d43-49d2,且由最小角定理可知,60,30,260,sin2-sin=d(43-49d2-1),又d2(0,34,sin2sin0,即2,故排除CD故选:B9令yf(x)xx,x(0,1e)则lnyxlnx,yxx(lnx+1)0函数f(x)xx在x(0,1e)上单调递减0ab1e,aabb,即baab0ab1e,利用指数函数幂函数的单调

11、性可得:bbba,abaa,bbbaabaa,故选:A10由an+1=ln(ean+1)-an,得an+1=ln(ean+1)-ln(ean),ean+1=1+1ean,令bn=ean,即anlnbn,则bn+1=1+1bn,a10,b11,作图如下:由图得:b2n1单调递增,b2n单调递减,anlnbn,故A正确;bn1,2,bnbn+1bn(1+1bn)bn+12,3,bnbn+1=ean+an+12,3,an+an+1ln2,ln3,故B正确;an+an+1ln2,S2020(a1+a2)+(a2019+a2010)1010ln2693,故C错误由不动点(5+125+12),得1b2n-

12、11+52,1+52b2n2,b2nb2n1,a2na2n1,故D正确故选:C二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分11复数z=2+i1-i=(2+i)(1+i)(1-i)(1+i)=1+3i2,则|z|=(12)2+(32)2=102故答案为:10212每天走的路形成等比数列an,公比q=12,S6378a1(1-126)1-12=378,解得a1192a6192125=6,S3=192(1-123)1-12=336故答案为:192,33613二项式(x2-1x)6的展开式中,常数项为:C64(1)415;二项式(x2-1x)6的展开式中所有二项式系数之和为C6

13、0+C61+C66=2664故答案为:15;6414椭圆C:x22+y2=1的左焦点为F(1,0),右焦点F(1,0),直线l:xy+20动点P在椭圆C上,由椭圆的定义可知|PF|+|PF|22,记点P到直线l的距离为d,则|PF|d22-d|PF|22-(d+|PF|),当d+|PF|最小时,|PF|d取得最大值,所以d+|PF|最小值为:|1-0+2|2=322,则|PF|d的最大值是:22-322=22故答案为:2215因为C2B,4b3c,由正弦定理可得,bc=sinBsinC,即34=sinBsin2B=12cosB,所以cosB=23,sinB=1-cos2B=53,故sinCsi

14、n2B2sinBcosB=22353=459,cosCcos2B2cos2B1=-19,sinAsin(B+C)sinBcosC+sinCcosB=53(-19)+23459=7527,由正弦定理可得,asinA=bsinB,即17527=b53,故b=97,SABC=12absinC=12197459=257故答案为:7527,25716由4x+y+2xy+10,得(2x+1)(y+2)1,令2x+1m,y+2n,则mn1x2+y2+x+4y=14m2+n2-174212mn-174=1-174=-134当且仅当12m=n,即x+12=y+2,联立x=y+324x+y+2xy+1=0,解得x

15、=-1-22y=-2-22或x=-1+22y=-2+22,说明中“”成立x2+y2+x+4y的最小值是-134故答案为:-13417ab=32,cosa,b=14,而|ac|+|bc|=|a|c|cos1+|b|c|cos2=|c|(|a|cos1+|b|cos2),其中a,c=1,b,c=2,|a|cos1表示a在c上的投影,|b|cos2表示b在c上的投影,向量a和向量b在一个线上,投影之和的最大值为|OB|,即c经过点B时,|OB|=22+32-223(-14)=4,最大值为|c|OB|=44=16;接下来求|MN|的最小值,|OM|随着角度的变化要小于|ON|,故当ONOB时,|MN|

16、有最小值,此时|MN|min=|OA|cos(2-)=21-(14)2=152,其中a,b=,最小值为4152=215故答案为:16,215三、解答题:本大题共5小题,共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18()由f(x)=sin2(x+3)+12cos(2x+6)可得:f(x)=1-cos(2x+23)2+cos(2x+6),=cos(2x+6)-cos(2x+6+2)2+12,=cos(2x+6)+sin(2x+6)2+12,=22sin(2x+512)+12,则f(24)=22sin(224+512)+12=22sin2+12=2+12()由()知:f(x)=22sin(2x+

17、512)+12,函数yf(x)的最小正周期为T,又 由2k-22x+5122k+2,解得k-1124xk+24因此函数yf(x)的单调递增强区间为k-1124,k+24(kZ)19(I)方法一:连接AC,BD交于O,因为BCBA,B1BAB1BC,B1BBB1,所以B1BCB1BA,故B1AB1C;(2分)又因为O为菱形对角线交点,即是线段AC的中点,所以B1OAC;又四边形ABCD为菱形,故ACBD;而B1OBDO,所以AC平面BDB1;方法二:因为B1BAB1BC,所以点B1在平面ABCD内的射影O在为ABC的平分线,(2分)又四边形ABCD为菱形,故BD为ABC的平分线,则O直线BD,故

18、平面BDB1平面ABCD,而平面BDB1平面ABCDBD,又四边形ABCD为菱形,故ACBD,所以AC平面BDB1;()方法一:延长AA1,BB1,CC1,DD1交于点P,平面BDB1即为平面BDP,平面ACC1即平面ACP,由(I)得平面ACP平面BDP,OP平面ACP平面BDP,所以过B1作B1HOP,则B1H平面ACP,故B1A1H即为直线A1B1与平面ACC1所成角;(10分)(若研究直线AB与平面ACC1所成角的正弦值则线段等比例扩大2倍结果不变)因为四棱台ABCDA1B1C1D1中AB2A1B12,所以A1B11,BP6;因为ABBC2,所以BD=23,作PGBD,因为B1BD=6

19、,则BG=33,PG3,所以PO=21,(12分)所以cosBPO=36+21-32621=9221,sinBPO=714,B1H=3714,(14分)所以sinB1A1H=B1HB1A1=3714 (15分)方法二:延长AA1,BB1,CC1,DD1交于点P,平面BDB1即为平面BDP,平面ACC1即平面ACP,设直线A1B1与平面ACC1所成角为,过P作PGBD,垂足为G,因为BP6,所以BG=33;建立空间直角坐标系如下,以OB,OC为x,y轴,作z轴GP,(9分)则A(0,-1,0),B(3,0,0),C(0,1,0),P(-23,0,3);所以AB=(3,1,0),AC=(0,2,0

20、),AP=(-23,1,3);(11分)设平面ACP的法向量为m=(x,y,z),则2y=0-23x+y+3z=0,化简得y=02x-3z=0;所以m=(32,0,1),(13分)所以cosm,AB=323+0+03+1+034+0+1=327=3714;所以sin=3714(15分)20(I)由S4+2S23S3,得S4S32(S3S2)即a42a3,q2又a4a212故a12,所以an=2n由nbn+1(n+1)bnn(n+1)两边同除以n(n+1),得bn+1+1n+1-bn+1n=1,从而数列bn+1n为首项b1+11,公差d1的等差数列所以bn+1n=n,从而数列bn的通项公式为bn

21、=n2-1证明:()由(I)知bnan=n2-12nn2n令cn=n2n,数列cn之和为Sn,则TnSn因为Snc1+c2+c3+cn=121+222+323+n2n则12Sn=122+223+324+n-12n+n2n+1,两式相减得12Sn=12+122+123+124+12n-n2n+1,12Sn=12(1-(12)n)1-12-n2n+1=1-(12)n-n2n+1整理得Sn=2-n+22n所以TnSn221(I)由抛物线的定义可知2+p2=3,p2,所以抛物线方程x24y,所以p2,抛物线的准线方程:y1;()设点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),x10,x20,

22、x30SAMGSABG=|AM|AB|,SCNGSCBG=|CN|BC|,点G为ABC的重心,所以SABG=SCBG=13SABC,且x1+x2+x30,S2+S3S1=13(|AM|AB|+|CN|BC|)=13(x1x1-x2+x3x3-x2)=13(x1x1-x2-x1+x2-x1-2x2)=13(x1x1-x2+x1+x2x1+2x2),令u=x1x2,所以S2+S3S1=13(uu-1+u+1u+2)=13(2+1u-1-1u+2)=13(2+3(u-1)(u+2),因为3|AM|2|BM|,所以3x12x2,故-23u0,(u-1)(u+2)-94,-2),因此S2+S3S1(16

23、,29,故所以S1S2+S392,6)22()函数的定义域为(0,+),f(x)=kx+(e-k)ex,若0ke,则f(x)=kx-(k-e)ekx0,函数f(x)在区间(0,+)上单调递增,若ke,f(x)=kx-(k-e)ekx,当x(0,(k-e)ek)时,f(x)0,此时函数f(x)单调递减,当x(k-e)ek,+)时,f(x)0,此时函数f(x)单调递增;()证明:当x01时,f(1)keg(1),即存在x01,使得f(x0)g(x0);当x02时,f(2)g(2)(ek)eln2+2ke2,令m(k)(ek)eln2+2ke2,因为m(k)是关于k的一次函数,所以m(k)max=m

24、axm(e),m(2e2+e),其中m(e)2ee20,m(2e2+e)e(3e+22e2ln2),又3e+22e2ln22e(2eln23)22.71(22.710.693)0.0048580,所以m(k)max0,即x02不符合题意;因为讨论的是整数解问题,所以接下来若能证明xe时,不符合题意即可,当xe时,令h(x)g(x)f(x)ex(ek)elnxkx,则h(x)=ex-(k-e)ex-k,令t(x)=ex-(k-e)ex-k,则t(x)=ex-(k-e)ex2,由ke易知t(x)在e,+)上单调递增,则t(x)t(e)=ee-k-eeee-2e2+e-ee=ee-2e0,所以t(x)在e,+)上单调递增,则t(x)t(e)=ee-(e-k)ee-k=ee-e0,所以h(x)0,即h(x)在e,+)上单调递增,则h(x)h(e)ee(ek)elneekeee20,即g(x)f(x),不符合题意综上所述,当ek2e2+e时,存在唯一的整数x01,使得f(x0)g(x0)15