广东省2020年中考数学模拟试卷(含答案解析)

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广东省2020年中考数学模拟试卷 一、选择题(本大题10小题,每小题3分,共30分,在每小题列出的四个选项中,只有一个是正确的,请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑) 1.(3分)在0.3,﹣3,0,﹣这四个数中,最大的是( ) A.0.3B.﹣3C.0D.﹣ 2.(3分)近年来,中国高铁发展迅速,高铁技术不断走出国门,成为展示我国实力的新名片.现在中国高速铁路营运里程已达到35000公里,继续高居世界第一将35000用科学记数法表示应为( ) A.3.5104B.35103C.3.5103D.0.35105 3.(3分)如图所示的几何体左视图是( ) A.B.C.D. 4.(3分)一组数据3、﹣2、0、1、4的中位数是( ) A.0B.1C.﹣2D.4 5.(3分)下列图形既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( ) A.B. C.D. 6.(3分)用不等式表示图中的解集,其中正确的是( ) A.x≥﹣2B.x≤﹣2C.x<﹣2D.x>﹣2 7.(3分)如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,若△ADE的面积是a,则四边形BDEC的面积是( ) A.aB.2aC.3aD.4a 8.(3分)已知如图DC∥EG,∠C=40°,∠A=70°,则∠AFE的度数为( ) A.140°B.110°C.90°D.30° 9.(3分)如果关于x的一元二次方程x2﹣xm﹣1=0有实数根,那么m的取值范围是( ) A.m>2B.m≥3C.m<5D.m≤5 10.(3分)如图,等边△ABC的边长为2cm,点P从点A出发,以1cm/s的速度沿AC向点C运动,到达点C停止;同时点Q从点A出发,以2cm/s的速度沿AB﹣BC向点C运动,到达点C停止,设△APQ的面积为y(cm2),运动时间为x(s),则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是( ) A.B. C.D. 二、填空题(共7小题,每小题4分,满分28分) 11.(4分)如图⊙O中,∠BAC=74°,则∠BOC= . 12.(4分)分解因式3y2﹣12= . 13.(4分)若一个正数的平方根是2a﹣1和﹣a2,则这个正数是 . 14.(4分)已知x、y满足|y2|=0,则x2﹣4y的平方根为 . 15.(4分)矩形ABCD中,AB=6,以AB为直径在矩形内作半圆,与DE相切于点E(如图),延长DE交BC于F,若BF=,则阴影部分的面积为 . 16.(4分)如图,已知等边△OA1B1,顶点A1在双曲线y=(x>0)上,点B1的坐标为(2,0).过B1作B1A2∥OA1交双曲线于点A2,过A2作A2B2∥A1B1交x轴于点B2,得到第二个等边△B1A2B2;过B2作B2A3∥B1A2交双曲线于点A3,过A3作A3B3∥A2B2交x轴于点B3,得到第三个等边△B2A3B3;以此类推,,则点B6的坐标为 . 17.(4分)如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=,在边CD上有一点E,使EB平分∠AEC.若P为BC边上一点,且BP=2CP,连接EP并延长交AB的延长线于F.给出以下五个结论 ①点B平分线段AF;②PF=DE;③∠BEF=∠FEC;④S矩形ABCD=4S△BPF;⑤△AEB是正三角形. 其中正确结论的序号是 . 三、解答题(一)(本大题共3小题,共18分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 18.(6分)计算﹣(π﹣3.14)0|﹣6|()﹣2. 19.(6分)化简求值(1)÷﹣,a取﹣1,0,1,2中的一个数. 20.(6分)如图,BD是菱形ABCD的对角线,∠A=30°. (1)请用尺规作图法,作AB的垂直平分线EF,垂足为E,交AD于F;(不要求写作法,保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下,连接BF,求∠DBF的度数. 四、解答题(二)(本大题共3小题,共24分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 21.(8分)2019年12月1日阜阳高铁正式运行,在高铁的建设中,某段轨道的铺设若由甲乙两工程队合做,12天可以完成,共需工程费用27720元,已知乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的1.5倍,且甲队每天的工程费用比乙队多250元. (1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天 (2)若工程管理部门决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程,从节约资金的角度考虑,应选择哪个工程队请说明理由. 22.(8分)八年级(1)班研究性学习小组为研究全校同学课外阅读情况,在全校随机邀请了部分同学参与问卷调查,统计同学们一个月阅读课外书的数量,并绘制了以下统计图. 请根据图中信息解决下列问题 (1)共有 名同学参与问卷调查; (2)补全条形统计图和扇形统计图; (3)全校共有学生1500人,请估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为多少. 23.(8分)如图,将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠,使点A落在平面上的F点处,DF交BC于点E. (1)求证△DCE≌△BFE; (2)若CD=,DB=2,求BE的长. 五、解答题(三)(本大题共2小题,共20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 24.(10分)如图,已知AB是圆O的直径,F是圆O上一点,∠BAF的平分线交⊙O于点E,交⊙O的切线BC于点C,过点E作ED⊥AF,交AF的延长线于点D. (1)求证DE是⊙O的切线; (2)若DE=3,CE=2, ①求的值; ②若点G为AE上一点,求OGEG最小值. 25.(10分)如图1,抛物线y=a(x2)(x﹣6)(a>0)与x轴交于C,D两点(点C在点D的左边),与y轴负半轴交于点A. (1)若△ACD的面积为16. ①求抛物线解析式; ②S为线段OD上一点,过S作x轴的垂线,交抛物线于点P,将线段SC,SP绕点S顺时针旋转任意相同的角到SC1,SP1的位置,使点C,P的对应点C1,P1都在x轴上方,C1C与P1S交于点M,P1P与x轴交于点N.求的最大值; (2)如图2,直线y=x﹣12a与x轴交于点B,点M在抛物线上,且满足∠MAB=75°的点M有且只有两个,求a的取值范围. 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题10小题,每小题3分,共30分,在每小题列出的四个选项中,只有一个是正确的,请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑) 1.(3分)在0.3,﹣3,0,﹣这四个数中,最大的是( ) A.0.3B.﹣3C.0D.﹣ 【分析】根据正数大于0,0大于负数,正数大于负数,比较即可 【解答】解∵﹣3<﹣<0<0.3 ∴最大为0.3 故选A. 2.(3分)近年来,中国高铁发展迅速,高铁技术不断走出国门,成为展示我国实力的新名片.现在中国高速铁路营运里程已达到35000公里,继续高居世界第一将35000用科学记数法表示应为( ) A.3.5104B.35103C.3.5103D.0.35105 【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>10时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数. 【解答】解35000=3.5104. 故选A. 3.(3分)如图所示的几何体左视图是( ) A.B.C.D. 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图,可得答案. 【解答】解从左边看是一个矩形中间为虚线, 故选C. 4.(3分)一组数据3、﹣2、0、1、4的中位数是( ) A.0B.1C.﹣2D.4 【分析】将这组数据从小到大重新排列后为﹣2,0,1,3,4;最中间的数1即中位数 【解答】解将这组数据从小到大重新排列后为﹣2,0,1,3,4;.所以中位数为1. 故选B. 5.(3分)下列图形既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( ) A.B. C.D. 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解. 【解答】解A、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项不合题意; B、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项不合题意; C、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不合题意; D、是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项符合题意; 故选D. 6.(3分)用不等式表示图中的解集,其中正确的是( ) A.x≥﹣2B.x≤﹣2C.x<﹣2D.x>﹣2 【分析】因为表示不等式的解集的折线向右延伸,且表示﹣2的点是空心圆点,所以x>﹣2. 【解答】解∵表示不等式的解集的折线向右延伸,且表示﹣2的点是空心圆点 ∴x>﹣2 故选D. 7.(3分)如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,若△ADE的面积是a,则四边形BDEC的面积是( ) A.aB.2aC.3aD.4a 【分析】由D、E分别是AB、AC的中点,可得出DE∥BC、BC=2DE,进而可得出△ADE∽△ABC,根据相似三角形的性质可得出S△ABC=4a,再根据S△BDEC=S△ABC﹣S△ADE即可求出四边形BDEC的面积. 【解答】解∵D、E分别是AB、AC的中点, ∴DE∥BC,BC=2DE, ∴△ADE∽△ABC, ∴=()2=4, ∴S△ABC=4a, ∴S△BDEC=S△ABC﹣S△ADE=3a. 故选C. 8.(3分)已知如图DC∥EG,∠C=40°,∠A=70°,则∠AFE的度数为( ) A.140°B.110°C.90°D.30° 【分析】先根据三角形外角的性质可求∠ABD,再根据平行线的性质可求∠AFE的度数. 【解答】解∵∠C=40°,∠A=70°, ∴∠ABD=40°70°=110°, ∵DC∥EG, ∴∠AFE=110°. 故选B. 9.(3分)如果关于x的一元二次方程x2﹣xm﹣1=0有实数根,那么m的取值范围是( ) A.m>2B.m≥3C.m<5D.m≤5 【分析】若一元二次方程有实数根,则根的判别式△=b2﹣4ac≥0,建立关于m的不等式,求出m的取值范围. 【解答】解∵关于x的一元二次方程x2﹣xm﹣1=0有实数根,a=1,b=﹣1,c=m﹣1, ∴△=b2﹣4ac=(﹣1)2﹣41(m﹣1)≥0, 解得m≤5. 故选D. 10.(3分)如图,等边△ABC的边长为2cm,点P从点A出发,以1cm/s的速度沿AC向点C运动,到达点C停止;同时点Q从点A出发,以2cm/s的速度沿AB﹣BC向点C运动,到达点C停止,设△APQ的面积为y(cm2),运动时间为x(s),则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是( ) A.B. C.D. 【分析】根据点Q的位置分两种情况讨论,当点Q在AB上运动时,求得y与x之间函数解析式,当点Q在BC上运动时,求得y与x之间函数解析式,最后根据分段函数的图象进行判断即可. 【解答】解由题得,点Q移动的路程为2x,点P移动的路程为x, ∠A=∠C=60°,AB=BC=2, ①如图,当点Q在AB上运动时,过点Q作QD⊥AC于D,则 AQ=2x,DQ=x,AP=x, ∴△APQ的面积y=xx=(0<x≤1), 即当0<x≤1时,函数图象为开口向上的抛物线的一部分,故(A)、(B)排除; ②如图,当点Q在BC上运动时,过点Q作QE⊥AC于E,则 CQ=4﹣2x,EQ=2﹣x,AP=x, ∴△APQ的面积y=x(2﹣x)=﹣x(1<x≤2), 即当1<x≤2时,函数图象为开口向下的抛物线的一部分,故(C)排除,而(D)正确; 故选D. 二、填空题(共7小题,每小题4分,满分28分) 11.(4分)如图⊙O中,∠BAC=74°,则∠BOC= 148° . 【分析】直接利用圆周角定理求解. 【解答】解∠BOC=2∠BAC=274°=148°. 故答案为148°. 12.(4分)分解因式3y2﹣12= 3(y2)(y﹣2) . 【分析】先提公因式,在利用平方差公式因式分解. 【解答】解3y2﹣12 =3(y2﹣4) =3(y2)(y﹣2), 故答案为3(y2)(y﹣2). 13.(4分)若一个正数的平方根是2a﹣1和﹣a2,则这个正数是 9 . 【分析】首先根据整数有两个平方根,它们互为相反数可得2a﹣1﹣a2=0,解方程可得a,然后再求出这个正数即可. 【解答】解由题意得2a﹣1﹣a2=0, 解得a=﹣1, 2a﹣1=﹣3,﹣a2=3, 则这个正数为9, 故答案为9. 14.(4分)已知x、y满足|y2|=0,则x2﹣4y的平方根为 ±3 . 【分析】根据非负数的性质,求出x、y的值,代入原式可得答案. 【解答】解∵|y2|=0, ∴x﹣1=0,y2=0, ∴x=1,y=﹣2, ∴x2﹣4y=18=9, ∴x2﹣4y的平方根为±3, 故答案为±3. 15.(4分)矩形ABCD中,AB=6,以AB为直径在矩形内作半圆,与DE相切于点E(如图),延长DE交BC于F,若BF=,则阴影部分的面积为 9﹣3π . 【分析】连接OF、OE、OD,如图,在Rt△OBF中利用三角函数的定义求出∠OFB=60°,再利用切线的性质和切线长定理得到∠OFE=∠OFB=60°,OE⊥DF,所以∠BFE=120°,则∠ADE=60°,同样可得∠ADO=∠EDO=30°,利用含30度的直角三角形三边的关系求出AD=OA=3,所以S△ADO=;接着计算出∠AOE=120°,于是得到S扇形AO=3π,然后利用阴影部分的面积=四边形AOED的面积﹣扇形AOE的面积进行计算即可. 【解答】解连接OF、OE、OD,如图, 在Rt△OBF中,∵tan∠OFB===, ∴∠OFB=60°, ∵BF⊥AB, ∴BF为切线, ∵DF为切线, ∴∠OFE=∠OFB=60°,OE⊥DF, ∴∠BFE=120°, ∵BC∥AD, ∴∠ADE=60°, ∵AD⊥AB, ∴AD为切线, 而DE为切线, ∴∠ADO=∠EDO=30°, 在Rt△AOD中,AD=OA=3, ∴S△ADO=33=; ∵∠AOE=180°﹣∠ADE=120°, ∴S扇形AOE==3π, ∴阴影部分的面积=四边形AOED的面积﹣扇形AOE的面积=2﹣3π=9﹣3π. 故答案为9﹣3π. 16.(4分)如图,已知等边△OA1B1,顶点A1在双曲线y=(x>0)上,点B1的坐标为(2,0).过B1作B1A2∥OA1交双曲线于点A2,过A2作A2B2∥A1B1交x轴于点B2,得到第二个等边△B1A2B2;过B2作B2A3∥B1A2交双曲线于点A3,过A3作A3B3∥A2B2交x轴于点B3,得到第三个等边△B2A3B3;以此类推,,则点B6的坐标为 (2,0) . 【分析】根据等边三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征分别求出B2、B3、B4的坐标,得出规律,进而求出点B6的坐标. 【解答】解如图,作A2C⊥x轴于点C,设B1C=a,则A2C=a, OC=OB1B1C=2a,A2(2a,a). ∵点A2在双曲线y=(x>0)上, ∴(2a)a=, 解得a=﹣1,或a=﹣﹣1(舍去), ∴OB2=OB12B1C=22﹣2=2, ∴点B2的坐标为(2,0); 作A3D⊥x轴于点D,设B2D=b,则A3D=b, OD=OB2B2D=2b,A3(2b,b). ∵点A3在双曲线y=(x>0)上, ∴(2b)b=, 解得b=﹣,或b=﹣﹣(舍去), ∴OB3=OB22B2D=2﹣22=2, ∴点B3的坐标为(2,0); 同理可得点B4的坐标为(2,0)即(4,0); 以此类推, ∴点Bn的坐标为(2,0), ∴点B6的坐标为(2,0). 故答案为(2,0). 17.(4分)如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=,在边CD上有一点E,使EB平分∠AEC.若P为BC边上一点,且BP=2CP,连接EP并延长交AB的延长线于F.给出以下五个结论 ①点B平分线段AF;②PF=DE;③∠BEF=∠FEC;④S矩形ABCD=4S△BPF;⑤△AEB是正三角形. 其中正确结论的序号是 ①②③⑤ . 【分析】由角平分线的定义和矩形的性质可证明∠AEB=∠ABE,可求得AE=AB=2,在Rt△ADE中可求得DE=1,则EC=1,又可证明△PEC∽△PBF,可求得BF=2,可判定①;在Rt△PBF中可求得PF,可判定②;在Rt△BCE中可求得BE=2,可得∠BEF=∠F,可判定③;容易计算出S矩形ABCD和S△BPF;可判定④;由AE=AB=BE可判定⑤;可得出答案. 【解答】解∵四边形ABCD为矩形, ∴AB∥CD, ∴∠CEB=∠ABE, 又∵BE平分∠AEC, ∴∠AEB=∠CEB, ∴∠AEB=∠ABE, ∴AE=AB=2, 在Rt△ADE中,AD=,AE=2,由勾股定理可求得DE=1, ∴CE=CD﹣DE=2﹣1=1, ∵DC∥AB, ∴△PCE∽△PBF, ∴=,即==, ∴BF=2, ∴AB=BF, ∴点B平分线段AF, 故①正确; ∵BC=AD=, ∴BP=, 在Rt△BPF中,BF=2,由勾股定理可求得PF===, ∵DE=1, ∴PF=DE, 故②正确; 在Rt△BCE中,EC=1,BC=,由勾股定理可求得BE=2, ∴BE=BF, ∴∠BEF=∠F, 又∵AB∥CD, ∴∠FEC=∠F, ∴∠BEF=∠FEC, 故③正确; ∵AB=2,AD=, ∴S矩形ABCD=ABAD=2=2, ∵BF=2,BP=, ∴S△BPF=BFBP=2=, ∴4S△BPF=, ∴S矩形ABCD=≠4S△BPF, 故④不正确; 由上可知AB=AE=BE=2, ∴△AEB为正三角形, 故⑤正确; 综上可知正确的结论为①②③⑤. 故答案为①②③⑤. 三、解答题(一)(本大题共3小题,共18分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 18.(6分)计算﹣(π﹣3.14)0|﹣6|()﹣2. 【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质以及算术平方根的定义分别化简得出答案. 【解答】解原式=2﹣164=11. 19.(6分)化简求值(1)÷﹣,a取﹣1,0,1,2中的一个数. 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算,同时利用除法法则变形,约分后计算得到最简结果,把a=2代入计算即可求出值. 【解答】解原式=﹣ =﹣ =﹣, 则当a=2时,原式有意义,原式=﹣1. 20.(6分)如图,BD是菱形ABCD的对角线,∠A=30°. (1)请用尺规作图法,作AB的垂直平分线EF,垂足为E,交AD于F;(不要求写作法,保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下,连接BF,求∠DBF的度数. 【分析】(1)分别以A、B为圆心,大于AB长为半径画弧,过两弧的交点作直线即可; (2)利用菱形的性质得AD∥BC,∠ABD=∠CBD=75°,则∠ABC=150°,再利用平行线的性质得∠A=180°﹣∠ABC=180°﹣150°=30°,接着根据线段垂直平分线的性质得AF=BF,则∠A=∠FBA=30°,然后计算∠ABD﹣∠FBA即可. 【解答】解(1)如图所示,直线EF 即为所求; (2)∵四边形ABCD 是菱形, ∴∠ABD=∠DBC,DA∥CB, ∴∠ABC∠A=180°. 又∵∠A=30°, ∴∠ABC=150°. ∴∠ABD=∠DBC=75°, ∵EF 垂直平分线段AB, ∴AF=FB. ∴∠A=∠FBA=30°. ∴∠DBF=∠ABD﹣∠FBA=75°﹣30°=45°. 四、解答题(二)(本大题共3小题,共24分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 21.(8分)2019年12月1日阜阳高铁正式运行,在高铁的建设中,某段轨道的铺设若由甲乙两工程队合做,12天可以完成,共需工程费用27720元,已知乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的1.5倍,且甲队每天的工程费用比乙队多250元. (1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天 (2)若工程管理部门决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程,从节约资金的角度考虑,应选择哪个工程队请说明理由. 【分析】(1)设甲工程队单独完成这项工程需要x天,则乙工程队单独完成这项工程需要1.5x天,根据甲工程队完成的工作量乙工程队完成的工作量=整项工程,即可得出关于x的分式方程,解之经检验后即可得出结论; (2)设甲工程队每天的费用是y元,则乙工程队每天的费用是(y﹣250)元,根据甲、乙两工程队合作12天共需费用27720元,即可得出关于y的一元一次方程,解之即可得出两队每天所需费用,再求出两队单独完成这些工程所需总费用,比较后即可得出结论. 【解答】解(1)设甲工程队单独完成这项工程需要x天,则乙工程队单独完成这项工程需要1.5x天, 依题意,得=1, 解得x=20, 经检验,x=20是原分式方程的解,且符合题意, ∴1.5x=30. 答甲工程队单独完成这项工程需要20天,乙工程队单独完成这项工程需30天; (2)设甲工程队每天的费用是y元,则乙工程队每天的费用是(y﹣250)元, 依题意,得12y12(y﹣250)=27720, 解得y=1280, ∴y﹣250=1030. 甲工程队单独完成共需要费用128020=25600(元), 乙工程队单独完成共需要费用103030=30900(元). ∵25600<30900, ∴甲工程队单独完成需要的费用低,应选甲工程队单独完成. 22.(8分)八年级(1)班研究性学习小组为研究全校同学课外阅读情况,在全校随机邀请了部分同学参与问卷调查,统计同学们一个月阅读课外书的数量,并绘制了以下统计图. 请根据图中信息解决下列问题 (1)共有 100 名同学参与问卷调查; (2)补全条形统计图和扇形统计图; (3)全校共有学生1500人,请估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为多少. 【分析】(1)由读书1本的人数及其所占百分比可得总人数; (2)总人数乘以读4本的百分比求得其人数,减去男生人数即可得出女生人数,用读2本的人数除以总人数可得对应百分比; (3)总人数乘以样本中读2本人数所占比例. 【解答】解(1)参与问卷调查的学生人数为(82)÷10=100人, 故答案为100; (2)读4本的女生人数为10015﹣10=5人, 读2本人数所占百分比为100=38, 补全图形如下 (3)估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为150038=570人. 23.(8分)如图,将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠,使点A落在平面上的F点处,DF交BC于点E. (1)求证△DCE≌△BFE; (2)若CD=,DB=2,求BE的长. 【分析】(1)由矩形的性质可知AB=DC,∠A=∠C=90°,由翻折的性质可知∠AB=BF,∠A=∠F=90°,于是可得到∠F=∠C,BF=DC,然后依据AAS可证明△DCE≌△BFE; (2)先依据勾股定理求得BC的长,由全等三角形的性质可知BE=DE,最后再△EDC中依据勾股定理可求得ED的长,从而得到BE的长. 【解答】(1)∵四边形ABCD为矩形, ∴AB=CD,∠A=∠C=90° ∵由翻折的性质可知∠F=∠A,BF=AB, ∴BF=DC,∠F=∠C. 在△DCE与△BEF中, ∴△DCE≌△BFE. (2)在Rt△BDC中,由勾股定理得BC==3. ∵△DCE≌△BFE, ∴BE=DE. 设BE=DE=x,则EC=3﹣x. 在Rt△CDE中,CE2CD2=DE2,即(3﹣x)2()2=x2. 解得x=2. ∴BE=2. 五、解答题(三)(本大题共2小题,共20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 24.(10分)如图,已知AB是圆O的直径,F是圆O上一点,∠BAF的平分线交⊙O于点E,交⊙O的切线BC于点C,过点E作ED⊥AF,交AF的延长线于点D. (1)求证DE是⊙O的切线; (2)若DE=3,CE=2, ①求的值; ②若点G为AE上一点,求OGEG最小值. 【分析】(1)根据切线的判定,连接过切点E的半径OE,利用等腰三角形和平行线性质即能证得OE⊥DE. (2)①观察DE所在的△ADE与CE所在的△BCE的关系,由等角的余角相等易证△ADE∽△BEC,即得的值.②先利用的值和相似求出圆的直径,发现∠BAC=30°;利用30°所对直角边等于斜边一半,给EG构造以EG为斜边且有30°的直角三角形,把EG转化到EP,再从P出发构造PQ=OG,最终得到三点成一直线时线段和最短的模型. 【解答】(1)证明连接OE ∵OA=OE ∴∠OAE=∠OEA ∵AE平分∠BAF ∴∠OAE=∠EAF ∴∠OEA=∠EAF ∴OE∥AD ∵ED⊥AF ∴∠D=90° ∴∠OED=180°﹣∠D=90° ∴OE⊥DE ∴DE是⊙O的切线 (2)解①连接BE ∵AB是⊙O直径 ∴∠AEB=90° ∴∠BED=∠D=90°,∠BAE∠ABE=90° ∵BC是⊙O的切线 ∴∠ABC=∠ABE∠CBE=90° ∴∠BAE=∠CBE ∵∠DAE=∠BAE ∴∠DAE=∠CBE ∴△ADE∽△BEC ∴ ∵DE=3,CE=2 ∴ ②过点E作EH⊥AB于H,过点G作GP∥AB交EH于P,过点P作PQ∥OG交AB于Q ∴EP⊥PG,四边形OGPQ是平行四边形 ∴∠EPG=90°,PQ=OG ∵ ∴设BC=2x,AE=3x ∴AC=AECE=3x2 ∵∠BEC=∠ABC=90°,∠C=∠C ∴△BEC∽△ABC ∴ ∴BC2=ACCE 即(2x)2=2(3x2) 解得x1=2,x2=﹣(舍去) ∴BC=4,AE=6,AC=8 ∴sin∠BAC=, ∴∠BAC=30° ∴∠EGP=∠BAC=30° ∴PE=EG ∴OGEG=PQPE ∴当E、P、Q在同一直线上(即H、Q重合)时,PQPE=EH最短 ∵EH=AE=3 ∴OGEG的最小值为3 25.(10分)如图1,抛物线y=a(x2)(x﹣6)(a>0)与x轴交于C,D两点(点C在点D的左边),与y轴负半轴交于点A. (1)若△ACD的面积为16. ①求抛物线解析式; ②S为线段OD上一点,过S作x轴的垂线,交抛物线于点P,将线段SC,SP绕点S顺时针旋转任意相同的角到SC1,SP1的位置,使点C,P的对应点C1,P1都在x轴上方,C1C与P1S交于点M,P1P与x轴交于点N.求的最大值; (2)如图2,直线y=x﹣12a与x轴交于点B,点M在抛物线上,且满足∠MAB=75°的点M有且只有两个,求a的取值范围. 【分析】(1)①由题意,令y=0,解得C(﹣2,0),D(6,0)得CD=8,令x=0,解得y=﹣12a,且a>0,A(0,﹣12a),即OA=12a,由S△ACD==48a=16,解得,所求抛物线的解析式为=; ②由于∠SP1P﹣∠SC1C=∠SCC1,且∠MSC=∠NSP1∴△MSC∽△NSP1得,设S(t,0)(0≤t≤6),则SP=,SC=t2,可得t=0时,最大值为2; (2)分两种情况讨论,①由直线y=x﹣12a与x轴交于点B得B(12a,0),OA=OB=12a,∠OAB=∠OBA=45°,当点N在y轴的左侧时,此时∠MAO=30°得直线AM的解析式为得点M的横坐标为得; ②当点M在y轴的右侧时,过点B作x轴的垂线与①中直线AE关于AB的对称直线交于点F,易证△EBA≌△FBA,得∠BAF=75°,BF=BE=,∠FBO=90°,得直线AF的解析式为,点G横坐标为,点A关于抛物线对称轴x=2的对称点的坐标为(4,﹣12a),则,得a>,因此满足∠MAB=75°的点M有且只有两个,则a的取值范围为. 【解答】解(1)①由题意,令y=0,解得x1=﹣2,x2=6 ∴C(﹣2,0),D(6,0) ∴CD=8. 令x=0,解得y=﹣12a,且a>0 ∴A(0,﹣12a),即OA=12a ∴S△ACD==48a=16, 解得 所求抛物线的解析式为= ②由题意知,∠SP1P﹣∠SC1C=∠SCC1,且∠MSC=∠NSP1 ∴△MSC∽△NSP1 ∴ 设S(t,0)(0≤t≤6),则SP=,SC=t2 ∴ ∵0≤t≤6 ∴t=0时,最大值为2; (2)由题意,直线y=x﹣12a与x轴交于点B得B(12a,0),OA=OB=12a,∠OAB=∠OBA=45° 如图2 当点M在y轴的左侧时,此时∠MAO=30° 设直线AM与x轴交于点E,则OE= ∴ 又∵A(0,﹣12a), ∴直线AM的解析式为 由得 解得 ∴点M的横坐标为 ∵ ②当点M在y轴的右侧时,过点B作x轴的垂线与①中直线AE关于AB的对称直线交于点F, 易证△EBA≌△FBA, 得∠BAF=75°,BF=BE=,∠FBO=90° ∴ ∴直线AF的解析式为 由,解得 ∴点G横坐标为, 点A关于抛物线对称轴x=2的对称点的坐标为(4,﹣12a), 则,得a>, 故要使满足∠MAB=75°的点M有且只有两个,则a的取值范围为.
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