1、统计与概率第2讲 知识结构图真题再现1（2012年北京理科）设不等式组表示的平面区域为在区域内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）ABCD【解析】D；题目中表示的区域如图正方形所示，而动点可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此，故选D2（2012年北京理科）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物302
2、4030其他垃圾202060 试估计厨余垃圾投放正确的概率； 试估计生活垃圾投放错误的概率； 假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为，其中，当数据的方差最大时，写出的值（结论不要求证明），并求此时的值（注：，其中为数据，的平均数）【解析】 由题意可知： 由题意可知： 由题意可知：，因此有当，时，有小题热身1某工厂对一批产品进行了抽样检测，下图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是，样本数据分组为，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是（ ）A90B7
3、5C60D45【解析】A；2国家射击队的某队员射击一次，命中710环的概率如下表所示：命中环数10环9环8环7环概率0.320.280.180.12求该射击队员射击一次 射中9环或10环的概率； 至少命中8环的概率； 命中不足8环的概率.【解析】 ； ； 3甲、乙两名篮球运动员，甲投篮的命中率为，乙投篮的命中率为，两人是否投中相互之间没有影响，求： 两人各投一次，只有一人命中的概率； 每人投篮两次，甲投中1球且乙投中2球的概率【解析】13.1统计知识梳理1随机抽样类别共同点各自特点联系适用范围简单随机抽样 抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等 每次抽出个体后不再将它放回，即不放回抽样从总体中逐
4、个抽取总体个数较少系统抽样将总体均分成几部分，按预先制定的规则在各部分抽取在起始部分抽样时采用简单随机抽样总体个数较多分层抽样将总体分成几层，分层按照比例进行抽取分层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成2用样本的频率分布估计总体的频率分布常用频率分布表、频率分布直方图、频率分布折线图、茎叶图等统计图表来表示样本数据，观察样本数据的特征，从而估计总体的分布情况频率分布(表)直方图的画法步骤： 计算极差(用样本数据的最大值减去最小值) 决定组数与组距(组数组距极差) 决定分点 列频率分布表 绘制频率分布直方图易见直方图中各个小长方形面积等于相应各组的频率，所有小长方形面积之和
5、等于1频率分布折线图：连结频率分布直方图各个长方形上边的中点，就得到频率分布折线图总体密度曲线：随着样本容量的增加，分组的组距不断缩小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑曲线，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线总体密度曲线精确地反映了一个总体在各个区域内取值的规律茎叶图：茎指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数在样本数据较少时，茎叶图表示数据的效果较好它的突出优点是：统计图中没有原始数据的损失，所有的数据信息都可以从茎叶图中得到；茎叶图可随时记录，方便表示3用样本的数字特征估计总体的数字特征样本数据的平均数：如果有个数，那么叫做这个数的平均数标准差：样本数据到平均数的一种平均距离，一
6、般用表示，其中方差：标准差的平方叫做方差4两个变量间的关系散点图：两个变量的关系可通过它们所对应的点在平面上表现出来，这些点对应的图形叫做散点图线性相关：若两个变量的散点图中所有点看上去都在一条直线附近波动，则这两个变量可近似看成具有线性相关关系经典精讲考点1：随机抽样【例1】某一个地区一共有5个乡镇，人口3万人，其中人口比例为，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么抽样方法？并写出具体过程（2012山东理4）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此他们随机编号为1，2，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的
7、方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间的人做问卷，编号落入区间的人做问卷，其余的人做问卷，则抽到的人中，做问卷的人数为（ ）A7B9C10D15我们要考察某公司生产的某种袋装牛奶的质量是否达标，现从袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，可以按照下面的步骤进行第一步，先将800袋牛奶编号，可以编为000，001，799第二步，在随机数表中任选一个数，例如选出第2行第5列的数1（为了便于解题，下面摘取了随机数表）16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 7884 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74
8、 47 6763 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 3857 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09 62第三步，从选定的数1开始向右读，得到一个三位数175则被抽取的第6袋奶粉的编号为_【解析】将3万人分为五层，其中一个乡镇为一层，各乡镇抽取人数分别为60人，40人，100人，40人，60人将300人组到一起即得到一个样本C047考点2：用样本估计总体【例2】从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制
9、成频率分布直方图（如图）由图中数据可知 若要从身高在，三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，估计身高在内的学生中选取的人数应为 从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量如下（单位：克）125 124 121 123 127，则该样本标准差 （克）（用数字作答）如图是，两组各名同学体重（单位：）数据的茎叶图设，两组数据的平均数依次为和，标准差依次为和，那么（ ）（注：标准差，其中为的平均数）A，B，C，D， 第题图 第题图在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新
10、增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ）A甲地：总体均值为3，中位数为4B乙地：总体均值为1，总体方差大于0C丙地：中位数为2，众数为3D丁地：总体均值为2，总体方差为3【解析】；32；CD；13.2 概率知识梳理古典概型：一次试验有下面两个特征： 有限性，在一次试验中可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件； 等可能性，每个基本事件发生的可能性是均等的，则称这个试验为古典概型古典概型的性质：对于古典概型，如果试验的个基本事件为，则有且概率的古典定义：在古典概型中，如果试验的基本事件总数为，随机事件包含的基本事件数为，则，即几何概型：一次试验具有这样的特征：事件理解为区域的一个子区
11、域，的概率只与子区域 的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与的位置和形状无关，这样的试验称为几何概型几何概型的特点： 无限性：一次试验中可能出现的结果有无穷多个； 等可能性，每个基本事件发生的可能性相等几何概型中事件的概率定义：，其中 表示区域 的几何度量，表示子区域的几何度量经典精讲考点3：古典概型与几何概型【例3】（2012广东7）从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是（ ）ABCD从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（ ） ABCD六个面上分别标有1，1，2，3，3，5六个数字的均匀立方体的表面
12、展开图如图所示，掷这个立方体一次，记朝上一面的数为平面直角坐标系中某个点的横坐标，朝下一面的数为该点的纵坐标按照这样的规定，每掷一次该小立方体，就得到平面内一个点的坐标已知小明前两次掷得的两个点确定一条直线，且这条直线经过点，那么他第三次掷得的点也在直线上的概率是（）AB C D下图中有一个信号源和五个接收器接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号；若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率为_ 第题 第题【解析】 D D A ；【教师备案】本
13、题主要考查运用组合、概率知识，计数原理解决问题的能力其中隐含着平均分组问题【例4】（2012西城二模理6）已知函数，其中实数随机选自区间对，的概率是（ ）ABCD（2010朝阳一模理5）在区间内随机取两个数分别记为，则使得函数有零点的概率为（ ） ABCD在区间上任取三个实数，事件，求事件发生的概率甲，乙约定在到之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在到各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率【解析】 C B；【方法技巧】本例是利用几何图形的体积比来求解的几何概型，关键要明白点的集合所表示的图形从本例可以看出求试验为几何概型的概率，关键是求
14、得事件所占区域和整个区域的几何度量，然后代入公式即可解，另外要适当选择观察角度【教师备案】构造出随机事件对应的几何图形；利用该图形求事件的概率在空间直角坐标系下，要明确表示的几何图形是以原点为球心，半径的球的内部事件对应的几何图形所在位置是随机的，所以事件的概率只与事件对应的几何图形的体积有关，这符合几何概型的条件 ；【教师备案】会面的问题利用数形结合转化成面积问题的几何概型难点是把两个时间分别用两个坐标表示，构成平面内的点，从而把时间是一段长度问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型几何概型问题【教师备案】互斥事件的概率加法公式事件的并：由事件或至少有一个发生构成的事件称为事件与的并，
15、记做互斥事件：不可能同时发生的两个事件称为互斥事件互斥事件加法公式：如果事件、互斥，则事件发生的概率等于这两个事件分别发生的概率和，即如果两两互斥，那么事件发生的概率，等于这个事件分别发生的概率和，即对立事件：不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件事件的对立事件记作，满足概率的一般加法公式(选学)：事件和同时发生构成的事件，称为事件与的交(积)，记作在古典概型中，考点4：互斥事件与对立事件【例5】判断下列事件为对立事件还是互斥事件把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（ ）A对立事件B不可能事件C互斥但不对立事
16、件D以上均不对抛掷一枚骰子一次，下面的事件与事件是互斥事件吗？）事件 “点数为2”，事件 “点数为3”）事件 “点数为奇数”，事件 “点数为4”）事件 “点数不超过3”，事件 “点数超过3”）事件 “点数为5”，事件 “点数超过3”对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，记事件两次都击中飞机事件两次都没有击中飞机. 事件恰有一次击中飞机事件至少有一次击中飞机其中互斥事件有_对立事件有 如果事件互斥，那么（ ）A是必然事件B是必然事件C与一定互斥D与一定不互斥在袋里装有30个小球，其中彩球有：个红色、5个蓝色、10个黄色，其余为白色如果从袋里取出3个相同颜色彩球（无白色）的概率是，且，计算红球有几
17、个？【解析】 C；【点评】“互斥”与“对立”，二者的联系与区别主要体现在：） 两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；）互斥概念适用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件；） 两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生（i）（ii）（iii）是互斥事件（iv）不是互斥事件互斥事件：和，和，和，和；对立事件：和【教师备案】解决概率问题时，要先分清所求事件由哪些事件组成，分析是否是互斥事件，再决定用哪个公式当用互斥事件的概率加法公式解题时，要学会不重不漏的将事件拆为几个互斥事件，要善于用对立事件解题B；【教师备案】条件概率
18、：一般的，设为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的概率一般把读作“发生的条件下发生的概率”在古典概型中，用表示事件中基本事件的个数，则有事件的独立性：设为两个事件，如果，则称事件与事件相互独立，并称事件为相互独立事件若为两个相互独立事件，则与、与、与也都相互独立若事件与事件相互独立，则考点5：事件独立性与条件概率【例6】若事件与相互独立，且，则的值等于（ ）A BCD某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是的概
19、率.一个口袋中装有大小相同的2个红球，3个黑球和4个白球，从口袋中一次摸出一个球，摸出的球不再放回连续摸球2次，在第一次摸到黑球的条件下，求第二次摸到白球的概率；如果摸出红球，则停止摸球，求摸球次数不超过3次的概率【解析】B ；【教师点评】利用古典概型求解时，求基本事件的个数和事件发生的总数时求法要一致，若无序则都无序，若有序则都有序，分子和分母的标准要相同在求事件个数时常用列举法(画树状图、列表、坐标系法)，有时也与排列组合联系紧密，计算时灵活多变，但要注意分类讨论，做到不重不漏要正确识别条件概率问题，理解的含义【例7】某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示
20、，其中茎为十位数，叶为个位数. 根据茎叶图计算样本均值； 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人，根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人； 从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率【解析】 【拓展】一个电路中有三个电子元件，它们接通的概率都是，如图，有如下三种联接方法：分别求出这三种电路各自接通的概率；试分析这三种电路哪种性能最优，并证明你的结论.【解析】三种电路各自接通分别记为事件，则， 三个电子元件按联结接通的概率最大，故性能最优【例8】从一批苹果中，随机抽取50个，其重量(单位：克)的频数分布表如下：分组(重量)频数(个)5102015 根据频数分布表计算苹果
21、的重量在的频率； 用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个，其中重量在的有几个? 在中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在和中各有1个的概率.【解析】 ； ； 【例9】小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋游戏规则为以为起点，再从，(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为，若就去打球，若就去唱歌，若就去下棋 写出数量积的所有可能取值； 分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率【解析】 的所有可能取值为 小波去下棋的概率为；小波不去唱歌的概率为课后习题【演练1】一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人为了调查职工的健康状
22、况，用分层抽样的方法从全体职工中抽出一个容量为25的样本，应抽取不超过45岁的职工人数为（ ）A5 B10 C15 D50【解析】C；【演练2】某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示（如右图）分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的标准差，则 （填“”、“”或“”）【解析】【演练3】 三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示） 某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为_；两次罚球至少命中一次的概率为_【解析】；11
