1、第11讲 高中物理中的数学方法(二)数学是解决物理问题的重要工具，借助数学方法可使物理问题显示出明显的规律性。可以说，任何物理问题的分析、处理过程，都是数学方法的运用过程。这一讲中我们总结几种常用的数学方法。11.1 二次函数知识点睛高中物理中有关的二次函数应用主要包括以下几个方面：1利用二次函数的解析式、图象，结合解析几何解决物理问题。2利用二次函数求极值二次函数：（其中、为实常数），当时，有极值（若二次项系数，有极小值；若，有极大值）。3利用判别式利用一元二次方程的判别式可以建立含所求物理量的不等式，从而求解物理量的范围或极值。这种方法使用的不多，这里作为介绍，大家了解即可。比如，在解决追
2、击相遇问题时，设追者甲和被追者乙最初相距，令两者在时相遇，则由可以得到关于的一元二次方程；当时，两者相撞或相遇两次；当时，两者刚好相撞或相遇；时，两者不会相遇或相撞。注意：用这种方法判断两者不相撞时相对简单；判断两者相撞时，还要对根的合理性进行检验，因为，只能保证有解，但物理上还要求。例题精讲例题说明：例1、例2结合二次函数图象、解析式解决物理问题；例3利用二次函数求极值；例4为二次函数判别式的应用，这道题解法很多，放在这里主要是介绍一下判别式求解这种方法。【例1】 物体做自由落体运动，代表动能，代表势能，代表下落的距离，以水平地面为零势能面。下列所示图象中，能正确反映各物理量之间关系的是【答
3、案】 B 【例2】 一探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的一侧竖直，另一侧的坡面呈抛物线形状。此队员从山沟的竖直一侧，以速度沿水平方向跳向另一侧坡面。如图所示，以沟底的点为原点建立坐标系。已知，山沟竖直一侧的高度为，坡面的抛物线方程为，探险队员的质量为。人视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为。求此人落到坡面时的动能；【答案】【例3】 木块以速度沿光滑曲面滑行，上升到顶部水平的跳板后飞出，求跳板高度多大时，木块飞行的水平距离最大，最大水平距离是多少（）【答案】 当时，【例4】 在平直道路上，甲汽车以速度匀速行驶。当甲车司机发现前方距离为处的乙汽车时，立即以大小为的加速度匀减速行驶，与此同时，乙车司
4、机也发现了甲，立即从静止开始以大小为的加速度沿甲运动的方向匀加速运动。则A甲、乙两车之间的距离一定不断减小B甲、乙两车之间的距离一定不断增大C若，则两车一定不会相撞D若，则两车一定不会相撞【答案】 D（说明：例4放在这里主要是介绍一下判别式求解这种方法）11.2 不等式知识点睛高中物理中不等式的应用主要涉及两个方面：1确定物理量的范围。2利用基本不等式求极值。 均值不等式：； 三角函数：，其中，当时，有最大值例题精讲例题说明：例5、例6利用不等式确定物理量的范围；例7、例8、例9利用不等式求极值，其中例7是三角函数极值，例8是二元均值不等式求极值，例9是三元均值不等式求极值。【例5】 m质量为
5、的物块以速度运动，与质量为的静止物块发生正撞，碰撞后两者的动量正好相等，两者质量之比可能为A2B3C4D5【答案】 AB【例6】 利用电场和磁场，可以将比荷不同的离子分开，这种方法在化学分析和原子核技术等领域有重要的应用。如图所示的矩形区域（边足够长）中存在垂直于纸面的匀强磁场，处有一狭缝。离子源产生的离子，经静电场加速后穿过狭缝沿垂直于边且垂直于磁场的方向射入磁场，运动到边被相应的收集器收集，整个装置内部为真空。已知被加速的两种正离子的质量分别是和（），电荷量均为，加速电场的电势差为，离子进入电场时的初速度可以忽略。不计重力，也不考虑离子间的相互作用。 求质量为的离子进入磁场时的速率； 当磁
6、感应强度的大小为时，求两种离子在边落点的间距； 在前面的讨论中忽略了狭缝宽度的影响，实际装置中狭缝具有一定宽度。若狭缝过宽，可能使两束离子在边上的落点区域交叠，导致两种离子无法完全分离。设磁感应强度大小可调，边长为定值，狭缝宽度为，狭缝右边缘在处。离子可以从狭缝各处射入磁场，入射方向仍垂直于边且垂直于磁场。为保证上述两种离子能落在边上并被完全分离，求狭缝的最大宽度。【答案】 ； ； 【例7】 物体放置在水平地面上，与地面之间的动摩擦因数为，物体重为，欲使物体沿水平地面做匀速直线运动，所用的最小拉力为多大？【答案】【例8】 已知电源电动势为，内阻不计，三个电阻的阻值均为，求当滑片滑到何处时，电路
7、中的电流最小，并求出最小值【答案】 滑片滑到中点时，【例9】 一轻绳一端固定在点，另一端拴一小球，拉起小球使轻绳水平，然后无初速度的释放，如图所示，小球在运动至轻绳达到竖直位置的过程中，小球所受重力的瞬时功率在何处取得最大值【答案】 时，功率有最大值。11.3 微元法知识点睛微元法通俗地说就是把研究对象分为无限多个无限小的部分，取出有代表性的极小的一部分进行分析处理，再从局部到全体综合起来加以考虑的科学思维方法。这个小部分可以是时间的一小部分，也可以是空间的一小部分。由于该部分很小，所以可以做一些近似，如匀速运动的近似，恒力的近似等等，那么对该小部分可以简单的写出物理方程，得到物理量之间的基本
8、关系。在高中物理课本中微元法通常用于如下几个方面：1.通过对时间、位移的微分定义瞬时概念，如瞬时速度、瞬时加速度、瞬时功率、瞬时电流、瞬时感应电动势等；2.通过对运动轨迹的微元，处理复杂曲线运动问题，如曲化直、曲化圆；3.通过先微分再求和的方法，求解复杂的过程量，如变速运动的位移、变力做功、流动的总电荷量等。*补充：教材中的微元法总结1通过时间或位移微元定义概念必修1P16，瞬时速度的定义必修2P18，“做一做”向心加速度表达式的推导2通过对运动轨迹的微元，处理复杂曲线运动问题必修2P21，在介绍一般曲线运动的处理方法时说“可以将这条曲线分割成很多小段，质点在每小段的运动都可以看作圆周运动的一
9、部分”曲化圆的思想必修2P59，重力做功与路径无关的推导选修3-1P16，“我们可以用无数组跟静电力垂直和平行的直线来逼近曲线ANB”；此原理可迁移至安培力中的等效长度计算选修3-1P99，这两处同样利用微分轨迹，得出每一小段过程中力与位移垂直，洛伦兹力不做功。3通过先微分再求和的方法，求解复杂的过程量 此类问题通常可通过图象面积的方法进行处理，如：必修1P38，匀变速直线运动位移公式的推导必修2P64，弹力做功的计算选修3-1P32，“做一做”通过电流随时间变化图象面积计算电荷量 电磁感应综合问题中导体棒的运动。这类问题通常是变加速运动，首先由牛顿第二定律先列出加速度的表达式；然后从该时刻起
10、去一段微小时间，则速度增量：，位移增量：，流动的电荷量：；最后，根据；得出待求量。*例题精讲【例10】 如图所示，某一个力作用于半径为的转盘的边缘上，力的大小保持不变，但方向在任何时刻均保持与作用点的切线一致，则转动一周的过程中，这个力F做的总功为A0B C D【答案】 B【例11】 一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图（a）所示，曲线上的点的曲率圆定义为：通过点和曲线上紧邻点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做点的曲率圆，其半径叫做点的曲率半径。现将一物体沿与水平面成角的方向以速度抛出，如图（b）所示。则在
11、其轨迹最高点处的曲率半径是A B C D【答案】 C【例12】 水力采煤是利用高速水流冲击煤层而进行的，煤层受到的压强冲击即可破碎，若水流沿水平方向冲击煤层，不考虑水的反向溅射作用，则冲击煤层的水流速度至少应为（水的密度为）A30 m/sB40 m/sC45 m/sD60 m/s【答案】 D 【例13】 如图所示，宽度为足够长的水平导轨，其右端连接的定值电阻阻值为，导轨处于方向竖直向下，磁感应强度为的匀强磁场中。今有一质量为的金属杆由处以初速度水平进入导轨，求金属杆在导轨上滑行的最大距离。【答案】【例14】 如图，在匀强磁场中固定放置一根串接一电阻的直角形金属导轨（在纸面内），磁场方向垂直纸面
12、朝里，另有两根金属导轨、分别平行于、放置。保持导轨之间接触良好，金属导轨的电阻不计。现经历以下四个过程：以速率移动，使它与的距离增大一倍；再以速率移动，使它与的距离减小一半；然后再以速率移动，使它回到原处；最后以速率移动，使它也回到原处。设上述四个过程中通过电阻的电量的大小依次为、和，则A. B.C. D.【答案】 A【例15】 小球以初速度竖直上抛，受到空气阻力，运动到最高点的时间为，求小球运动到最高点的高度【答案】【例16】 如图所示，水平面上足够长的平行金属导轨相距，串联一个电容为的电容器，整个装置处于垂直于导轨平面竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度为，电容器开始时带电量为，现将一个质量为
13、的金属棒垂直放置在导轨上，金属棒与导轨接触良好且无摩擦，求合上后，金属棒运动的最终速度及电容器最终的电量。【答案】 ；【例17】 如图所示，顶角的金属导轨固定在水平面内，导轨处在方向竖直、磁感应强度为的匀强磁场中。一根与垂直的导体棒在水平外力作用下以恒定速度沿导轨向右滑动，导体棒的质量为，导轨与导体棒单位长度的电阻均为。导体棒与导轨接触点为 和，导体棒在滑动过程中始终保持与导轨良好接触。时，导体棒位于顶角处。求： 时刻流过导体棒的电流强度和电流方向 导体棒作匀速直线运动时水平外力的表达式 导体棒在时间内产生的焦耳热 若在时刻将外力撤去，导体棒最终在导轨上静止时的坐标【答案】 ；电流方向在棒上由
14、向。 11.4 数列知识点睛凡涉及数列求解的物理问题都具有过程多、重复性强的特点，但每一个重复过程均不是原来的完全重复，而是一种变化了的重复。随着物理过程的重复，某些物理量逐步发生着前后有联系的变化。该类问题求解的基本思路为： 逐个分析开始的几个物理过程 利用归纳法从中找出物理量变化的通项公式（这是解题的关键） 最后分析整个物理过程，应用数列特点和规律求解无穷数列的求和，一般是无穷递减数列，有相应的公式可用等差：（为公差）等比：（为公比）例题精讲例题说明：涉及数列的问题一般计算量比较大，对数学功底要求较高，所以这里这放了两道例题，说明这种方法，老师可以根据学生的实际情况进行调整。【例18】 如图所示，光滑的水平面上停着一个木球和载人小车，木球质量为，人和车的总质量为，人以速度将球推向正前方的固定挡板，木球被挡板按原速率弹回，若人接住球后再以原速率将球推向挡板，问人推球多少次后才能不再接到球？【答案】 次【例19】 一倾角为的斜面固定于地面，斜面顶端离地面的高度，斜面底端有一垂直于斜面的固定挡板。在斜面顶端自由释放一质量为的小物块（视为质点）。小物块与斜面之间的动摩擦因数为。当小物块与挡板碰撞后，将以原速返回。重力加速度。在小物块与挡板的前次碰撞过程中，挡板给予小物块的总冲量是多少？【答案】35第四级（下）第11讲提高-尖子-目标教师版
