1、第3讲 离散型随机变量及数字特征知识结构图真题再现1（2013年北京理科第16题）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天 求此人到达当日空气重度污染的概率； 设是此人停留期间空气质量优良的天数，求的分布列与数学期望； 由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）【解析】设表示事件“此人于3月日到达该市”（）根据题意，且 设为事件“此人到达当日空气重度污染”，则，所以 由题意可知，的所有可能取值为，且，所以的分布列为：01
2、2故的期望 从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大2（2011年北京理科第16题）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以表示 如果，求乙组同学植树棵树的平均数和方差； 如果，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树的分布列和数学期望（注：方差，其中为，的平均数）【解析】 当时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为；方差为 当时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有种可能的结果，这两名同学植树
3、总棵数的可能取值为17，18，19，20，21事件“”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此同理可得；所以随机变量的分布列为：1718192021小题热身1设随机变量等可能地取，若，则等于【解析】2如果是一个离散型随机变量，则假命题是（ ）A取每一个可能值的概率都是非负数；B取所有可能值的概率之和为1；C取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；D在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和【解析】D3已知随机变量的分布列为：，则=（ ）ABCD【解析】A4已知服从参数为的超几何分布，则_【解析】14.1分布列与数字特征知识
4、梳理1离散型随机变量及其分布列随机变量：如果随机试验的可能结果可以用一个变量来表示，并且是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量叫做一个随机变量如果随机变量的所有可能的取值都能一一列举出来，则称为离散型随机变量离散型随机变量的分布列：设离散型随机变量的可能取值为，取到每一个值的概率为，则称表为离散型随机变量的分布列具有性质：，；离散型随机变量在某个范围取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率和2随机变量的数字特征离散型随机变量的数学期望(均值)与方差：若离散型随机变量的分布列为则称为随机变量的数学期望(或均值)，它反映了离散型随机变量的平均取值水平称为随机变量的方差，它反映了离散型随机
5、变量相对于期望的平均波动大小(或说离散程度)，其算术平方根为随机变量的标准差，记作，方差(或标准差)越小表明的取值相对于期望越集中，否则越分散均值与方差的性质：；经典精讲考点1：离散型随机变量的数字特征【例1】已知离散型随机变量的分布列如下，则的数学期望（）1A B2 C D设随机变量的概率分布列是，其中为常数，则的值为（ ）A B C D已知离散型随机变量的分布列如右表若，则 ， 【解析】A；B；【例2】设掷一颗骰子所得的点数为随机变量，则期望_，方差_编号1，2，3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是则随机变量的期望 ，方差 如图
6、，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为，则的均值（）A B C D【解析】；B【教师备案】例1是熟悉期望和方差的基本公式，例2难度约大一些主要是如何写出分布的概率再计算期望和方差考点2：分布列的求法【例3】福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业，现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下： 该福利彩票中奖率为； 每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种； 顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为，获得50元奖金的概率为 假设某顾客一次性花10元购买两张彩票，求其至少有一张
7、彩票中奖的概率； 为了能够筹得资金资助福利事业，求的取值范围【解析】 ； 当时，福彩中心可以获取资金资助福利事业【拓展】在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率； 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求的分布列和数学期望【解析】 观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为的分布列如下表:0123数学期望【例
8、4】一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为，求随机变量的分布列和数学期望【解析】 取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为 随机变量的分布列是数学期望14.2典型分布及其数字特征征知识梳理二点分布：如果随机变量的分布列为10其中，则称离散型随机变量服从参数为的二点分布若服从参数为的二点分布，则二项分布：一般的，在相同条件下重复地做次试验，各次试验的结果相互独立，称为次独立重复试验在次
9、独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为(其中为在一次试验中事件发生的概率，)若将次独立重复试验中事件发生的次数设为，则的分布列为01P称这样的离散型随机变量服从参数为的二项分布，记作若，则超几何分布：一般的，设有总数为件的两类物品，其中一类有件，从所有物品中任取件，这件中所含这类物品件数是一个离散型随机变量，它取值为时的概率为，其中为和中较小的一个)我们称离散型随机变量的这种形式的概率分布为超几何分布，也称服从参数为的超几何分布若，则，经典精讲考点3：二点分布及其数字特征【例5】某人练习射击，每次击中目标的概率为用表示击中目标的次数，若射击1次，求的分布列、期望和方差某商店有两种杯子，顾客选购
10、杯子的概率为，用表示选购杯子，若一位顾客前来选购，问当为多少时，分布列的方差最大，最大值为多少？【解析】服从二点分布01， 当时，有最大值考点4：二项分布及其数字特征【例6】某游乐场将要举行狙击移动靶比赛比赛规则是：每位选手可以选择在区射击3次或选择在区射击2次，在区每射中一次得3分，射不中得0分；在区每射中一次得2分，射不中得0分已知参赛选手甲在区和区每次射中移动靶的概率分别是和 若选手甲在区射击，求选手甲至少得3分的概率； 我们把在两区射击得分的数学期望高者作为选择射击区的标准，如果选手甲最终选择了在区射击，求的取值范围【解析】 ； 考点5：超几何分布及其数字特征【例7】甲、乙两人参加某种
11、选拔测试在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的5道题规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选 求乙得分的分布列和数学期望； 求甲、乙两人中至少有一人入选的概率【解析】 乙得分的分布列如下： 甲乙两人至少有一人入选的概率为【拓展】某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有个蓝球与2个白球的袋中任意摸出个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等
12、奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级 求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率； 求摸奖者在一次摸奖中获奖金额的分布列与期望【解析】 恰好摸到1个红球的概率为的分布列为01050200（元）【例8】某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示 123 10 20 30 4050参加人数活动次数 求合唱团学生参加活动的人均次数； 从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率 合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望【解析
13、】 的分布列：012的数学期望为【例9】甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是，假设各局比赛结果相互独立 分别求甲队以，胜利的概率； 若比赛结果为或，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为，则胜利方得2分、对方得1分求乙队得分的分布列及数学期望【解析】甲队以，胜利的概率分别是，；的分布列为0123课后习题【演练1】某射手射击所得环数的分布列如下：已知的期望，则的值为 【解析】；【演练2】一批产品有8件正品和4件次品，现从中任取3件，其中次品数为，写出的分布列【解析】0123【演练3】设随机变量服从二项分布，且，则_，_【解析】，6【演练4】（2012西城一模理16）乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同 求甲以4比1获胜的概率； 求乙获胜且比赛局数多于5局的概率； 求比赛局数的分布列【解析】 比赛局数的分布列为：4567
