1、期末考试第14讲 本试卷分第I卷（选择题）和第II（非选择题）两部分，共150分考试时间120分钟姓名_ 成绩_第I卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1、 已知椭圆的焦点在轴上，焦距为，焦点到相应的长轴顶点的距离为，则椭圆的标准方程为（ ）A B C D【解析】 A； 2、 设，若，则（ ）A B C D【解析】 B；， 3、 椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（ ） 【解析】 ；椭圆化成标准方程为，焦点在轴上，长轴长为，短轴长为， 4、 抛物线上一点的纵坐标是4，则点与抛物线焦点的距离为（ ）A B
2、C D【解析】 A抛物线的准线方程为，故 5、 设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是（ ）【解析】 C 6、 若椭圆的离心率是，则双曲线的离心率是（ ） 【解析】椭圆的离心率是，设椭圆的半焦距为，双曲线的半焦距为，即，双曲线的离心率为 7、 若在上是减函数，则的取值范围是（ ）A B C D【解析】 C，当时，有，故，故对一切成立，故 8、 已知抛物线的焦点为点，过点且斜率为的直线交抛物线于点、，若，则（ ）A1 B C D【解析】 D如图，为抛物线准线，由抛物线定义又选择题答案：题号12345678答案ABAACBCD第II卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5
3、分，共30分把答案填在题中横线上 9、 以双曲线的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是 【解析】双曲线的中心为，该双曲线的右焦点为，则抛物线的顶点为，焦点为，所以，所求抛物线的方程是 10、 曲线在点处的切线方程是 【解析】，则，从而切线方程为，即 11、 设是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，则的最大值为 ；最小值为 【解析】 ；由题意得，设，则由椭圆的定义得，则，当时，有最大值；当时，有最小值 12、 函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是 【解析】，从而的两根为，列表如下：在区间上，即的取值范围是 13、 已知点，分别是双曲线的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于
4、，两点，若是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是_【解析】依题意，点横坐标为，则有不妨位于第二象限，则中，而为锐角三角形，即 14、 是抛物线上的动点，当到的距离最小时，点的位置是，若，则的取值范围是 【解析】设，由在上，则当时，的最小值在时取得为1，但，矛盾，且最小值在处取得即，三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15、 （本小题满分13分）已知函数，且 求的值； 求函数的单调区间【解析】 由，得当时，得， 解得 因为 从而，列表如下：100极大值极小值所以的单调递增区间是和；的单调递减区间是 16、 （本题满分13分）已知直线，双曲线，与相交于，
5、两点， 若的中点横坐标是，求实数的值； 若（为坐标原点），求实数的值【解析】 设，则由，消去得，即，又中点横坐标为 ，即即，解得或 即由则， 17、 （本题满分13分）已知函数 求的最小值； 对所有都有，求实数的取值范围【解析】 的定义域为，令，解得；令，解得从而在单调递减，在单调递增 所以，当时，取得最小值 解法一：令，则若，当时，故在上为增函数，所以，时，即若，方程的根为，此时，若，则，故在该区间为减函数，所以时，即，与题设相矛盾综上，满足条件的的取值范围是解法二：依题意，得在上恒成立，即不等式对于恒成立 令，则当时，因为，故在上是增函数，所以的最小值是，所以的取值范围是 18、 （本题满
6、分13分）已知椭圆，过点作圆的切线交椭圆于，两点 求椭圆的焦点坐标和离心率； 将表示为的函数，并求的最大值【解析】 焦点坐标为，离心率； 依题意，切线斜率不可能为0，故可设切线方程为； 由圆心到切线的距离为1，可得：，即； 联立，消去可得： 于是； 由弦长公式可得：； 由于点必定不在圆内，所以；当且仅当时等号成立，此时弦长取最大值 19、 （本小题满分14分）已知定义在上的函数，其中为常数 若是函数的一个极值点，求的值； 若函数在区间上是增函数，求的取值范围； 若函数，在处取得最大值，求正数的取值范围【解析】 是的一个极值点，； 法一：当时，在区间上是增函数，符合题意；当时，令得：；当时，对任
7、意，符合题意；当时，当时，符合题意；综上所述，法二：，从而依题意可知，有恒成立，即，恒成立，当时，则 法一：，令，即（*），显然有设方程（*）的两个根为，由（*）式得，不妨设当时，为极小值，所以在上的最大值只能为或；当时，由于在上是单调递减函数，所以最大值为，所以在上的最大值只能为或，又已知在处取得最大值，所以，即，解得，又因为，所以法二：，从而依题意，有恒成立，即，从而，恒成立，而当时，又，所以 20、 （本题满分14分）已知椭圆过点，离心率 求椭圆的方程； 过点的直线与椭圆相交于，两点当直线，的斜率之和为时（其中为坐标原点），求直线的斜率；求的值值范围【解析】 由题意得解得，设椭圆的方程为
8、，又因为点在椭圆上，所以，所以椭圆的方程为 因为直线与椭圆有两个交点，所以，即设，则，又 解得，经检验成立所以，直线的斜率当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 将代入，解得，则， 当直线的斜率存在时，由得 因为，所以，所以 综上，得的取值范围是附加题本题满分20分，不计入试卷总分如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为、和、 求椭圆和双曲线的标准方程； 设直线、的斜率分别为、，证明； 是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由【解析】 设椭圆的半焦距为，由题意知：，所以，又，因此故椭圆的标准方程为由题意设等轴双曲线的标准方程为，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点所以，因此 双曲线的标准方程为； 设，则，因为点在双曲线上，所以因此，即 设，依题意，均不为，不妨设，则，则的方程为，将其代入椭圆方程得：，所以同理可得，故因此，存在，使恒成立9第14讲尖子-目标教师版
