1、第12讲 导数的运算 与几何意义导数4级导数在研究函数中的综合应用满分晋级 导数2级导数在研究函数中的简单应用导数3级导数的运算与几何意义新课标剖析当前形势导数在近五年北京卷(文)考查1314分高考要求内容要求层次具体要求ABC导数概念与几何意义导数概念了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵导数的几何意义通过函数图象直观的理解导数的几何意义导数的运算根据导数定义求简单函数的导数根据导数定义求函数，的导数导数的四则运算能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数导数公式表会使用导数公式表北京高考解读2009年2010年（新课标）2011年
2、（新课标）2012年（新课标）2013年（新课标）第18题14分第18题13分第18题13分第18题13分第18题13分导数的实质是函数值相对于自变量的瞬时变化率 由于实践的需要，对于与物体运动速度问题相类似的一些问题长期的探索的结果，产生了微积分，而导数的概念就是变量变化速度在数学上的一种抽象比值叫做函数在区间（或）的平均变化率，把叫做函数在处的导数或瞬时变化率 【备选】若函数在区间内可导，且，则的值为（ ） ABCD0【解析】 C因为在可导，所以12.1导数的运算 知识点睛1基本初等函数的导数公式表：（为常数）；2导数的四则运算法则：其中都是可导函数，为常数：；（）经典精讲考点1：导数的四
3、则运算【例1】 求下列函数的导数；【解析】 .提高班学案1【铺1】已知函数，则的值为 【解析】，.尖子班学案1【铺2】已知函数，则（ ）.ABCD0【解析】 A设，则，且可导，有，令得：目标班学案1【铺3】设函数，（、是两两不等的常数），则 【解析】因为,所以，同理：，原式.【例2】 设，则 等于（ ）. . . .（2010宣武一模14改编）有下列命题：若，则；若函数，则； 若函数，则.其中真命题的序号是 .【解析】 ， ，对：，；对：，； 对:令,则. . 所以.12.2导数的几何意义知识点睛题型一 曲线在某点的切线由于函数在处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率，因此，曲线在点处的切
4、线方程可如下求得： 求出函数在处的导数，即曲线在点处切线的斜率. 在已知切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线方程为.注意：如果曲线在点的切线平行于轴(此时导数不存在)时,由切线的定义可知,切线的方程为.题型二 曲线过某点的切线把握以下四点:曲线的切线不一定和曲线只有一个公共点;“在”某一点的切线和“过”某点的切线是两个不同的概念；在某一点的切线，若有，则只有一条；而过某点的切线可能不只一条；用导数求切线的斜率时，必须设出切点，即采用“待定切点法”.经典精讲考点2：导数的几何意义【例3】 如图，函数的图象在点处的切线方程是，则 函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ） ABCD【解析】 ，
5、又在点处的切线斜率，解又点在切线上，可得，得， B设时曲线上的点为，点处的切线为，点处的切线为，易得切线的倾斜角小于直线的倾斜角小于切线的倾斜角，所以选B提高班学案2【拓1】设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为（ ）.A4BC2D【解析】 A由已知，而，所以故选A.尖子班学案2【拓2】设为曲线：上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为（ ） 【解析】设点的横坐标为，曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，曲线在点 处切线斜率的取值范围为，又，即，故选目标班学案2【拓3】设，函数的导函数是，且是奇函数若曲线的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（ ）.A B
6、 C D 【解析】 D，因为是奇函数，所以，设切点的横坐标为， 则有，即，可以转化为.因为，所以，. 考点3：曲线在某点的切线提高班学案3【铺1】曲线在点处的切线方程为（ ）.ABCD【解析】 B，故切线方程为，即，故选B.尖子班学案3【铺2】曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）A B C D【解析】 A，于是曲线在点处的切线方程为，令得；令得，于是所求的三角形的面积为【例4】 （2012新课标文13）曲线在点处的切线方程为 已知抛物线在处的切线与直线平行，则.已知直线与曲线相切，则的值为( ). A1 B2 C D已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程为 【解析】 ，该切线方程
7、为，即，抛物线在处的切线与直线平行，可得，解得设切点，则，又.，.故答案选B.方法一：由，得，即，.切线方程为，即方法二：因为，所以.令，有，解得.切线方程为，即.(注：此方法设计复合函数求导，老师选用)【例5】 已知直线为曲线在点处的切线，为该曲线的另一条切线，且，求直线的方程；求由直线、和轴所围成的三角形的面积【解析】 由已知，所以，设与曲线切于点， 则，因为，所以，所以，直线的方程为解，得直线的交点坐标为，直线与轴的交点坐标分别为，所以所求三角形的面积尖子班学案4【拓2】设函数，曲线在点处的切线方程为 求的解析式； 证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定
8、值【解析】 方程可化为当时，又，于是，解得，故 设为曲线上任一点，由知曲线在点处的切线方程为，即令得，从而得切线与直线的交点坐标为令得，从而得切线与直线的交点坐标为所以点处的切线与直线，所围成的三角形面积为故曲线上任一点处的切线与直线，所围成的三角形的面积为定值，此定值为目标班学案3【拓3】设函数，曲线在点处的切线方程为 求的解析式； 证明：曲线的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心； 证明：曲线上任一点的切线与直线和直线所围三角形的面积为定值，并求出此定值【解析】 ，由题设知，于是，解得或因，故 法一：已知函数，都是奇函数所以函数也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形而函数的图象是
9、以点为中心的中心对称图形法二：故函数的图象是以点为中心的中心对称图形 证明：在曲线上任取一点由知，过此点的切线方程为令得，切线与直线交点为令得，切线与直线交点为直线与直线的交点为从而所围三角形的面积为所以所围三角形的面积为定值考点4： 曲线过某点的切线【例6】 已知曲线求曲线在点处的切线方程；求曲线过点的切线方程 若存在过点的直线与曲线和都相切，求的值.【解析】 ，在点处的切线的斜率，曲线在点处的切线方程为，即设曲线与过点的切线相切于点，则切线的斜率，切线方程为，即点在切线上，即，解得或，故所求的切线方程为或 过的直线与相切于点，所以切线方程为即，又在切线上，则或，当时，切线方程为. 方法一:
10、 设直线与曲线的切点为.则,解得.方法二:直线与抛物线相切，联立解析式消后关于的一元二次方程有两个相等的实根.方程有两个相等的实根. ,解得.当时，切线方程为. 同理可解得.所以的值为或.提高班学案4【拓1】已知曲线：及点，则过点可向引切线的条数为_【解析】 设曲线与过点的切线相切于点，则切线的斜率，切线方程为，即点在切线上，即，解得或，故过点可向引切线的条数为2条设函数，其中，曲线在点处的切线方程为. 确定的值. 设曲线在点及处的切线都过点，证明：当 时，.【解析】 由得：，又由曲线在点处的切线的方程为，得，故， ，由于点处的切线方程为，而点在切线上，所以，化简得，即满足的方程为下面用反证法
11、证明方法一：假设，由于曲线在点及处的切线都过点，则下列等式成立： 变形得:;.消得:.所以有,即，与已知矛盾，所以假设不成立,故原命题成立.方法二：假设，由于曲线在点及处的切线都过点，则下列等式成立. 由得由-得 又故由得，此时与矛盾，所以实战演练 【演练1】直线是曲线的一条切线，则实数的值为 【解析】求导得，令，则，切点为，代入直线方程，得，故【演练2】设曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）.A2BCD【解析】 D，于是，由题意得：【演练3】（2010全国卷2理10）若曲线在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则（ ）.A64 B32 C16 D8 【解析】 A，切线方程是，令，
12、令，三角形的面积是，解得故选A【演练4】（2010辽宁理10）已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是（ ）.ABCD【解析】 D，即，.【演练5】曲线过点的切线方程为（ ）.A B CD【解析】 C设切点为,则有，过点的切线方程为，将点代入上式得所以切点为，所以所求切线方程为故选C.【演练6】已知函数求曲线在点处的切线方程；求曲线过点的切线的方程【解析】 求函数的导数；曲线在点处的切线方程为：，即设所求的切线方程与曲线相切于点，由知其方程为，于是有，化简得，故或，对应的切线方程为与大千世界 （2011年第二十二届“希望杯”全国数学邀请试题高二 第2试）设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标是，则的值为（ ）A B CD1【解析】 A函数的导函数为，所以曲线在点处的切线方程为即得则 13第12讲尖子-目标教师版
