1、定点、定值问题第11讲 满分晋级 解析几何 专题定点、定值问题解析几何11级直线与双曲线、抛物线的位置关系 本讲是圆锥曲线的综合问题，难度较大，例题的重点和难点都在第二问，主要还是让学生 了解碰到定点定值问题时一般的处理方法虽然本质上还是直线与圆锥曲线、韦达定理的应用，但是在处理的技巧上需要细细琢磨选择合适的参数，并利用参数得到有关的曲线方程或函数关系式是解决问题的关键，尽量让计算量在可控的范围内 常用的处理方法有两种：从特殊入手，先求出定点或定值等，再证明这个点或值与参数无关；直接推理，计算，并在计算过程中消去参数，从而得到定点或定值11.1定点问题考点1：直线过定点的问题知识点睛如果满足一
2、定条件的曲线系恒过某一点，就是定点问题直线过定点问题的求解方法一般是先求出直线的方程（含参数），再由直线恒过定点的证明方法来求解经典精讲【例1】 设直线的方程为，证明直线过定点在双曲线的一支上有不同的两点、，且，证明线段的垂直平分线经过定点，并求出定点的坐标【解析】 直线的方程可化为，令，得无论为任何实数，直线总经过定点 设的中点为，的垂直平分线为，由分析可知，的斜率存在，则有，的方程为， ，得，即的垂直平分线方程为若使上式对一切实数恒成立，则，即直线过定点【备选】 已知抛物线上的两个动点和，其中且证明线段的垂直平分线经过定点，并求出定点的坐标【解析】 设线段的中点为，则，线段的垂直平分线的方
3、程是 易知是的一个解，所以线段的垂直平分线与轴的交点为定点，且点坐标为【例2】 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为1求椭圆的标准方程；若直线与椭圆相交于，两点（，不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标【思路探究】这是一道关于椭圆的综合题，第问主要考查待定系数法、椭圆的标准方程与椭圆的几何性质等知识只要设出椭圆的标准方程，然后运用待定系数法即可解决；第问是证直线过定点，这就暗示我们，直线的方程中斜率是变化的，而参数不能自由变化，即它应与有关，所以首先应由条件求出与的关系只要将直线的方程与椭圆的方程联立并消去得
4、到关于的一元二次方程，然后利用判别式、根与系数的关系，再结合等即可使问题得到解决【解析】 如图，由题意设椭圆的标准方程为，由题设知，得解得则所以椭圆的标准方程为 方法1：设，由消去，得，即由根与系数的关系，得， 所以 以为直径的圆过椭圆的右顶点，所以，即，所以，化简得，将代入上式，得，整理得，解得，且满足当时，直线，过定点是椭圆的右顶点，且不过椭圆的右顶点，定点舍当时，直线，过定点综上可知，直线过定点，定点坐标为方法2：设，因为椭圆的右顶点为，则可设直线方程为将代入椭圆方程，并整理得， 显然与是方程的两个根，所以，即，所以，因为，且也过右顶点所以，用替换上式中的，即得，设直线与轴交于点，并设，
5、即，所以消去，得，解得所以，直线过定点，定点坐标为，【反思与启迪】解答这类问题主要方法是联立直线方程与椭圆方程，消去一个字母（比如），得到关于另一个字母的一元二次方程，进而利用根与系数的关系得到与用参数（这里是，）表示的关系式，再结合其他条件，即可得到这些参数的关系式，使问题得以顺利解决本题除考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识外，还考查分类讨论的思想、解析几何的基本思想方法和综合解题能力问题的本质是当椭圆的弦对其某一顶点张角为直角时必过定点若设直线的斜率为参数，则较容易地得到点的坐标，利用对称性就能得到点的坐标，再由对称性可猜想，该定点应该在这个顶点所在的对称轴上设直线与轴交于
6、点，由、共线可知是与参数无关的定值，从而证明直线过定点换个角度后，解题思路就简捷、明了了解决这类问题的核心就是“直角”的几种等价形式，如：以为直径的圆过点等另外，如果能够恰当地利用圆锥曲线相关的性质，更能棋高一筹通过解答本题第问，我们发现了圆锥曲线的一个几何性质：命题1 若直线与曲线交于、两点，为曲线上一点，且，则直线必过定点其中当时，曲线为焦点在轴上的椭圆；当时，曲线为焦点在轴上的椭圆；当时，曲线为圆心在原点的圆，直线即直径必过圆心此命题可以看作是圆的直径的一个性质在椭圆上的拓展，这从一个侧面揭示了椭圆和圆的辩证统一关系特别地，当点位于椭圆的顶点时，直线必过定点命题2 若直线与双曲线交于、两
7、点，为双曲线上一点，且，则直线必过定点特别地，当点位于双曲线实轴顶点时，直线必过定点命题3 若直线与抛物线交于、两点，为抛物线上一点，且，则直线必过定点特别地，当点位于抛物线顶点时，直线必过定点提高班学案1【拓1】 在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于不同的两点 如果直线过抛物线的焦点，求的值； 如果，证明直线必过一定点，并求出该定点【解析】 由题意：抛物线焦点为设代入抛物线，消去得，设，则， 设代入抛物线消去，得，设，则，令，直线过定点尖子班学案1【拓2】 （2010江苏18）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为、，右焦点为设过点的直线、与椭圆分别交于点、，其中， 设动点满足，
8、求点的轨迹； 设，求点的坐标； 设，求证：直线必过轴上的一定点（其坐标与无关）【解析】 设点，则：、由，得 化简得故所求点的轨迹为直线 将分别代入椭圆方程，以及得：、直线方程为：，即，直线方程为：，即联立方程组，解得：，所以点的坐标为 点的坐标为直线方程为：，即，直线方程为：，即分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，解得：、方法一：当时，直线方程为： 令，解得：此时必过点；当时，直线方程为：，与轴交点为所以直线必过轴上的一定点方法二：若，则由及，得，此时直线的方程为，过点若，则，直线的斜率，直线的斜率，得，所以直线过点因此，直线必过轴上的点目标班学案1【拓3】 （2009江西理21）已知点为双曲线
9、（为正常数）上任一点，为双曲线的右焦点，过作直线的垂线，垂足为，连接并延长交轴于 求线段的中点的轨迹的方程； 设轨迹与轴交于、两点，在上任取一点，直线，分别交轴于两点求证：以为直径的圆过两定点【思路探究】从动点的成因来看，点是主动点，通过点，传递到，为从动点，首先用的坐标来表示的坐标，点用、来表示，再归结为用来表示，然后，反过来用的坐标来表示的坐标，代入双曲线方程，进而得到的轨迹的方程第问，欲证以为直径的圆过两定点，需要先将以为直径的圆的方程写出来，于是需要先求出点、的坐标，然后是，的方程，接着求，的坐标，最后是以为直径的圆的方程，当圆的方程出来之后，通过观察方程的特点，求出定点坐标【解析】
10、设，由已知得，则直线的方程为：，令得，即，设，则，即代入，得，即的轨迹的方程为 在中令得，则不妨设，于是直线的方程为：，直线的方程为：，可得，则以为直径的圆的方程为： ，令得，而在上，则，于是，即以为直径的圆过两定点，【反思与启迪】求动点的轨迹方程，是高考考查的重点内容之一其中，由某一曲线上的动点，利用直线与直线，直线与曲线的位置关系，构造另一动点，求后者的轨迹问题，是近几年高考的热点，需要引起足够的重视对于第问，可以将其推广到一般的情形：设双曲线的顶点为，为双曲线上的一个动点，、分别与轴相交于、两点，则以为直径的圆经过定点和，且圆的半径大于 【备选】 已知抛物线及定点，是抛物线上的点，设直线
11、与抛物线的另一交点分别为求证：当点在抛物线上变动时（只要存在且与是不同两点），直线恒过一定点，并求出定点的坐标【解析】 设，因为三点共线，所以，即，即，求出，同理可求出，设直线过定点，则点共线，即即，即，即，所以由，消去得上式对任意恒成立，所以得到，所以所求的直线恒过定点11.2定值问题考点2：圆锥曲线中的定值问题知识点睛在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成定值问题求解这类问题的基本策略是“大处着眼、小处着手”，从整体上把握问题给出的综合信息和处理问题的函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想等，并恰当地运用待定系数法、相关点法、定义法等基本数学方法若题设中未告知定
12、值，可考虑用特殊化方法探求定值的可能值，再证明之若已告知，可设参数（有时甚至要设两个参数），运算推理到最后，参数必须消去三种圆锥曲线对同一个定值问题经常有相似的结论，这部分内容不仅要求会根据法则、公式定理、定律正确地进行运算，而且要做到举一反三经典精讲【例3】 （2009辽宁理20文22）已知，椭圆过点，两个焦点为，求椭圆的方程；是椭圆上的两个动点，如果直线的斜率与的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值【追问】反过来，是椭圆上的两个动点，如果的斜率为，那么与的斜率互为相反数吗？【思路探究】欲证明的斜率为定值，实际上是证明随着，两点的运动，它们的坐标可以表示为某一参数，比如的斜率
13、的函数，而的斜率的取值与无关基于这个想法，不妨从的斜率入手，逐步推出，两点的坐标，进而得到的斜率表达式，化简后必与无关【解析】 由题意，可设椭圆方程为因为在椭圆上，所以，解得，（舍去）所以椭圆方程为 设直线方程：得，代入得 设，因为点在椭圆上，所以，又直线的斜率与的斜率互为相反数，在上式中以代，可得，所以直线的斜率即直线的斜率为定值，其值为【追问】是成立的设直线方程为，代入椭圆中，化简得由，可得于是，当时，则，上式的分子为，所以当或为时，不妨设，代入，结合，可得，于是，从而点与点重合，的斜率等于椭圆在点的切线的斜率而椭圆在点的切线为，即，斜率另外，由可以算出方程的另一根，则，于是易算出，因此综
14、上，与的斜率互为相反数【反思与启迪】对于第二问，可以有一般性结论： 对于椭圆方程，是椭圆上一点，过的两条斜率相反的直线与椭圆交于除外的、两点，则椭圆在点的切线方程为，斜率为，所以与点处的切线斜率互为相反数设关于或轴的对称点为，显然在椭圆上，且椭圆在点的切线斜率为，因此与点处的切线平行 反过来，如果椭圆上的点，且的斜率等于椭圆在点的切线斜率的相反数，则和的斜率互为相反数 对于抛物线和双曲线，也有类似结论提高班学案2【拓1】 如图，过抛物线上一定点，作两条直线分别交抛物线于， 求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点的距离； 当与的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线的斜率是非零常数【解析】 方法一
15、： 当时，又抛物线的准线方程为由抛物线定义得，所求距离为 设直线的斜率为，直线的斜率为，由，相减得，故同理可得由，倾斜角互补知，即，所以，故设直线的斜率为，由，相减得，所以，将代入得，所以是非零常数方法二： 显然该点的坐标为，又，由两点间距离公式得所求距离为 设直线的斜率为，则直线的斜率为，且所以直线的方程为由，消去整理得， 显然，是方程的两个根，由根与系数的关系得， 用替换式中的得， 得又，所以得，而，所以故直线的斜率为即直线的斜率是非零常数【反思与启迪】本题以抛物线为载体全面考查解决解析几何问题的思想方法第问的基本解法应用抛物线定义灵活简洁，而解法2是运用两点间距离公式求解，给人返朴归真、
16、回归基础之感；第问的基本解法1和解法2都是解决直线与圆锥曲线位置关系问题的通法，体现了方程思想、设而不求、对称思想的灵活运用直线与圆锥曲线位置关系问题是多年来高考重点考查的热点内容本题推理与计算有机结合，分步设问，层次清晰，且分层递进基本思路是：“代点作差”或“联立方程组消元韦达定理”，其中设计合理的推理运算途径尤为重要尖子班学案2【拓2】 如图，过圆锥曲线上一点，作两条直线分别交圆锥曲线于、直线与的斜率存在且倾斜角互为补角，证明直线的斜率是非零常数【解析】 设直线的斜率为，则直线的方程为由，消去整理得， 显然，是方程的两个根，由根与系数的关系得， 因为直线与的倾斜角互为补角，所以直线的斜率为
17、，用替换中的，得， 因为得，所以得所以，即直线的斜率是非零常数显然，当时，表示圆；当，且时，表示椭圆；当时，表示双曲线这就是说，上述性质是圆锥曲线的一条统一性质它不仅揭示了问题的条件和结论之间的必然联系，还体现了三种圆锥曲线的和谐统一，给人以美的感受目标班学案2【拓3】 （2010西城二模19）如图，椭圆短轴的左右两个端点分别为，直线与轴、轴分别交于两点，与椭圆交于两点 若，求直线的方程； 设直线的斜率分别为，若，求的值【解析】 设，由得，由已知，又，所以所以，即，所以，解得，符合题意，所以，所求直线的方程为或 ，所以，平方得，又，所以，同理，代入上式，计算得，即，所以，解得或，因为，所以异号
18、，故舍去，所以圆锥曲线与向量结合也是很重要的题型，向量在处理长度、角度、平行、垂直时有其独到之处，注意向量共线的充要条件的应用【例4】 如图，已知点，直线，为平面上的动点，过点作的垂线，垂足为点，且求动点的轨迹的方程；过点的直线交轨迹于、两点，交直线于点，且，求的值【思路探究】欲求点的轨迹的方程，只需将向量条件转化为关于点的坐标的代数关系式即可对于第问，由于、点的坐标都由过点的直线 确定所以引入刻画直线的参数，即写出直线的方程，再与抛物线方程联立，用这个参数表示、三点的坐标，结合向量条件和，得到用该参数表示的，进而即可求出的值【解析】 方法一：设点，则，由，得，化简得曲线的方程为方法二：由，得
19、，即，所以所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为 方法一：由于直线不能垂直于轴，且又过轴上的定点，故可设直线的方程为，则设，联立方程组消去得，故由，得，利用对应的纵坐标相等，得，整理得，所以方法二：由已知，得则 过点、分别作准线的垂线，垂足分别为、，则有 由、得，即【反思与启迪】本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力对于第问，可推广出系列命题：命题1 过定点的直线与抛物线交于，两点，与直线交于点，若，则命题2 过定点的直线与椭圆交于，两点，与直线交于点，若，则的值恒等于推论 直线过椭圆的焦点，交轴于点，交椭圆于，
20、两点，若，则的值恒等于命题3 过定点的直线与双曲线交于，两点，与线交于点，若，则推论 直线过双曲线的一个焦点，交轴于点，交双曲线于，两点，若，则尖子班学案3【拓2】 已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，斜率为且过椭圆右焦点的直线交椭圆于、两点，与共线 求椭圆的离心率； 设为椭圆上任意一点，且，证明为定值【解析】 设椭圆方程为，则直线的方程为，代入，化简得设，则由，与共线，得又，即，所以，故离心率 由知，所以椭圆可化为设，由已知得，在椭圆上，即由知，又，代入得故为定值，定值为目标班学案3【拓3】 （2010宣武一模19）已知椭圆的离心率为 若原点到直线的距离为，求椭圆的方程； 设过椭圆的右焦点
21、且倾斜角为的直线和椭圆交于两点 i）当，求的值； ii）对于椭圆上任一点，若，求实数满足的关系式【解析】 ，解得椭圆的方程为 i），椭圆的方程可化为 易知右焦点，据题意有： 由，有： 设， ii）显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数，使得等式成立设，又点在椭圆上， 由有：则 又在椭圆上，故有 将，代入可得：圆锥曲线中包含直线与圆的内容时，仍然遵循尽量结合平面几何的知识，而不是盲目的用直线与圆锥曲线来解例5主要是碰到要求长度相关问题时的一种处理方法，圆的切线的应用和切点弦方程是解决此类问题的关键【例5】 （2010崇文二模理19）已知椭圆和圆
22、：，过椭圆上一点引圆的两条切线，切点分别为（i）若圆过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率；（ii）若椭圆上存在点，使得，求椭圆离心率的取值范围设直线与轴、轴分别交于点，求证：为定值【解析】 （）圆过椭圆的焦点，圆：，（ii）由及圆的性质，可得，即， 设，由，则整理得，同理，直线方程为，即令，得，令，得，为定值，定值是提高班学案3【拓1】 已知抛物线，过定点作一弦，则_【解析】设，直线的斜率不存在时，方程为，解得，从而直线的斜率存在时，设的方程为，代入中，消去得：，又，故，综上知，【备选】 已知：为坐标原点，点、满足， 当变化时，求点的轨迹方程； 若是轨迹上不同于的另一点，且存在非零实数，使得，求证
23、：【解析】 法一：代入消参法设，则由得是线段的中点，得，又， 化简得： 由、得：；法二：定义法如图，可分析得，点到的距离等于到直线的距离，即点轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线，由定义可知： 易知是抛物线的焦点，由，得、三点共线，即直线为过焦点的弦，设、，直线的方程为：代入得：，则，由抛物线的定义知：经检验：当斜率不存在时，结论也成立（2008安徽理22）设椭圆过点，且左焦点为 求椭圆的方程； 当过点的动直线与椭圆相交于两不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上【思路探究】因为椭圆方程中有两个未知量，所以欲求其方程只需建立关于它们的两个独立方程即可，这由已知不难做到：曲线上的点必适
24、合曲线的方程，即已得到一个方程，另外，由椭圆中的关系，可知解方程组就得到椭圆的方程第问探求点的性质，而是线段上满足的点换个角度看，可得到，即动点受制于比值若记这个比值为以此为参数，则利用向量的坐标运算便将几何条件转化为坐标关系，经过恰当运算与推理即可使问题获得解决【解析】 利用待定系数法可求得椭圆的方程为 方法一：设点、的坐标分别为、，由题设知、均不为零，记则且又、四点共线，从而，于是，（由于点、点都在椭圆上，为了整体消参，可利用上式尝试产生“平方项”，这只要将上下两式左右两边对应相乘即可）从而， 又点，在椭圆上，即， （考虑椭圆方程的特点，将“”所在的方程乘以加上“”所在的方程即可整体消元）
25、并结合，得即点总在定直线上方法二：设点、，由题设，、均不为零，且，又、四点共线，可设，（）于是， ， 由于，在椭圆上，将分别代入的方程，整理得 ，得，即点总在定直线上方法三：设点、，由题设，、均不为零，又、四点共线，于是可设， ， 代入椭圆方程，得，即是关于的方程的两个根化简，得由知，即，所以即点总在定直线上【反思与启迪】本题主要考查直线、椭圆的方程及几何性质，线段的定比分点公式等基础知识、基本方法和分析问题、解决问题的能力由于在线段上取点，满足，两个不同点、在椭圆上，故涉及多参数问题，以比值为参数，可以把各点的坐标独立表示出来，较快理出解题思路，多参数的消参问题是本题的一个难点，要善于观察、
26、分析、比较，有向线段所成的比，线段的定比分点等概念，本身就是解析几何研究的一类重要问题，向量概念的引入，使这类问题的解决显得简捷而流畅实战演练【演练1】在平面直角坐标系中，设点，直线，点在直线上移动，是线段与轴的交点， 求动点的轨迹的方程； 记的轨迹的方程为，过点作两条互相垂直的曲线的弦、，设、的中点分别为，求证：直线必过定点【解析】 依题意知，直线的方程为：点是线段的中点，且，是线段的垂直平分线是点到直线的距离点在线段的垂直平分线，故动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，其方程为： 设，直线的方程为则 ，得，即，代入方程，解得所以点的坐标为，同理可得：的坐标为 直线的斜率为，方程为，整理得，
27、显然，不论为何值，均满足方程，所以直线恒过定点【演练2】（2009湖南长沙高三模拟题）已知点、，是平面上一动点，且满足 求点的轨迹的方程； 已知点在曲线上，过点作曲线的两条弦、，且、的斜率、满足试推断：动直线是否过定点，证明你的结论【解析】 因为点、，所以，设代入，得化简得 将代入，得，即，、两点不可能关于轴对称，的斜率必存在设直线的方程为，、由得，（、）且、将，代入化简得，将代入得，过定点将代入得过定点即为点，不合题意，舍去直线恒过定点【点评】 求解某一直线是否过定点的问题，通常是求出直线系方程（含一参数的直线方程）再看其是否过定点【演练3】过抛物线的对称轴上的定点作直线与抛物线相交于、两点
28、，若点为定直线：上的任意一点，试证明：三条直线、的斜率成等差数列【解析】 设，直线的方程为，则，消去得由韦达定理得，直线的斜率为，直线的斜率为，于是，又，即三条直线、的斜率成等差数列【演练4】已知动点到点的距离与它到直线的距离之比为 求动点的轨迹方程； 设点的轨迹为曲线，过点作互相垂直的两条直线、，交曲线于、两点，交曲线于、两点求证：为定值【解析】 设，由题意得所以点的轨迹方程为 证明：当直线，中的一条直线与轴垂直时，不妨设与轴垂直，此时，所以当直线，都不与轴垂直时，由题意设直线方程为，则的方程为，由得因为交双曲线于、两点，所以解得设，则，因为，所以同理，所以，即为定值0【演练5】如图所示，已
29、知、为椭圆和双曲线的公共顶点、分别为双曲线和椭圆上不同的动点，且有，设、的斜率分别是、求证：【解析】 设点、坐标分别为、，则，即所以 类似地， 设为原点，则，三点、共线，由得大千世界1（2009年上海市新知杯高中数学竞赛10）如图，是双曲线的右顶点，过点的两条互相垂直的直线分别与双曲线的右支交于点，问直线是否一定过轴上一定点？如果不存在这样的定点，请说明理由；如果存在这样的定点，试求出这个定点的坐标【解析】 解法一：，将轴向右平移个单位，使点成为新直角坐标系的原点，在新坐标系下，双曲线的方程为，即 （*）若轴，则，即，代入（*）式可得，进而所以，则点在原坐标系中的坐标为若不垂直轴，设，则，于是
30、（*）可以改写成，即，该方程的两个根即是的斜率因为，所以， 所以，故，所以过定点，则点在原坐标系中的坐标为综上所述，直线过轴上的定点解法二：设直线的斜率为，由，同理得，当时，所以过当时，由直线的方程得， 所以，直线过轴上的定点2（2010年清华自主招生）设为抛物线上不同的四点，关于该抛物线的对称轴对称，平行于该抛物线在点处的切线设到直线直线的距离分别为已知判断是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中的哪一种三角形，并说明理由；【解析】 设，则由，可知直线的斜率，因此可以设直线方程为把代入，整理得，所以因为，都不平行于轴，所以直线，斜率之和为，可知直线的倾角互补，而平行于轴，所以平分作为垂足，则，可得由已知，可得，所以，所以，为直角三角形25第11讲尖子-目标教师版
