1、期末考试第14讲 本试卷分第I卷（选择题）和第II（非选择题）两部分，共150分考试时间120分钟姓名_ 成绩_第I卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1、 已知椭圆的焦点在轴上，焦距为，焦点到相应的长轴顶点的距离为，则椭圆的标准方程为（ ）A B C D【解析】 A 2、 已知的三个顶点为，则边上的中线长为（ ）A2 B3 C4 D5【解析】 B的中点为， 3、 椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（ ）A 【解析】 ；椭圆化成标准方程为，焦点在轴上，长轴长为，短轴长为， 4、 抛物线上一点的纵坐标是4，
2、则点与抛物线焦点的距离为（ ）A B C D【解析】 A抛物线的准线方程为，故 5、 已知，则向量与的夹角为（ ）A B C D【解析】 C，设向量与的夹角为，则 6、 若椭圆的离心率是，则双曲线的离心率是（ ） 【解析】椭圆的离心率是，设椭圆的半焦距为，双曲线的半焦距为，即，双曲线的离心率为 7、 在三棱锥中，与所成角的余弦值是（ ）A0BCD【解析】 C如图建立空间坐标系，则， 8、 如图抛物线，圆，其中，直线经过的焦点，依次交，于，四点，则的值为（ ） 【解析】 D设直线斜率存在，设为则方程为如图，设，则把直线的方程代入抛物线方程，有化简得： 即当垂直于轴时，同样得第II卷（共110分）
3、二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在题中横线上 9、 以双曲线的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是 【解析】双曲线的中心为，该双曲线的右焦点为，则抛物线的顶点为，焦点为，所以，所求抛物线的方程是 10、 已知，若，且，则向量的坐标为_【解析】，设则又， 11、 设是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，则的最大值为 ；最小值为 【解析】 ；由题意得，设（），则由椭圆的定义得，则，当时，有最大值；当时， 有最小值 12、 如图，在正方体中，、分别为、的中点，则异面直线与所成的角等于 【解析】连、，则，且、，所以异面直线与所成的角等于 13、 已知点，分别是双曲线
4、的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，若是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是_【解析】依题意，点横坐标为，则有不妨位于第二象限，则中，而为锐角三角形，即 14、 是抛物线上的动点，当到的距离最小时，点的位置是，若，则的取值范围是 【解析】设，由在上，则当时，的最小值在时取得为1，但，矛盾，且最小值在处取得即，三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15、 （本小题满分13分）已知点是平行四边形所在平面外一点， 求证：是平面的法向量； 求平行四边形的面积【解析】 ，平面，是平面的法向量 ， 16、 （本题满分13分）已知直线，双曲线，与相交
5、于，两点， 若的中点横坐标是，求实数的值； 若（为坐标原点），求实数的值【解析】 设，则由，消去得，即又中点横坐标为，即即，解得或 即由则 17、 （本题满分13分）如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，且点分别在棱上，且 求证：； 求证：平面； 求二面角的余弦值【解析】 因为四棱锥的底面是正方形，底面故建立如图所示的空间直角坐标系 又则有， 设，则有，同理可得即由，又，平面 连结，设平面的法向量为，由取而为平面的法向量，结合图形可知，所求二面角的余弦值为 18、 （本题满分13分）已知椭圆，过点作圆的切线交椭圆于，两点 求椭圆的焦点坐标和离心率； 将表示为的函数，并求的最大值【解析】 焦点坐
6、标为，离心率； 依题意，切线斜率不可能为0，故可设切线方程为； 由圆心到切线的距离为1，可得：，即； 联立，消去可得： 于是； 由弦长公式可得：； 由于点必定不在圆内，所以；当且仅当时等号成立，此时弦长取最大值 19、 （本小题满分14分）如图，在三棱锥中，点、分别是、的中点，底面 求证：平面； 当时，求直线与平面所成角的正弦值 当取何值时，在平面内的射影恰好为的重心？【解析】 平面，以为原点，为轴建立如图的空间直角坐标系，设，则，设，则 为的中点，又，平面 ，设平面的法向量为，则，令得：，设与平面所成的角为，则，与平面所成的角的正弦值为 的重心，平面，又，即，反之，当时，三棱锥为正三棱锥，在
7、平面内的射影为的重心故 20、 （本题满分14分）已知椭圆过点，离心率 求椭圆的方程； 过点的直线与椭圆相交于，两点当直线，的斜率之和为时（其中为坐标原点），求直线的斜率；求的取值范围【解析】 由题意得解得，设椭圆的方程为，又因为点在椭圆上，所以，所以椭圆的方程为 因为直线与椭圆有两个交点，所以，即设，则，又 解得，经检验成立所以，直线的斜率当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 将代入，解得，则， 当直线的斜率存在时，由得 因为，所以，所以 综上，得的取值范围是附加题本题满分20分，不计入试卷总分如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为、和、 求椭圆和双曲线的标准方程； 设直线、的斜率分别为、，证明； 是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由【解析】 设椭圆的半焦距为，由题意知：，所以，又，因此故椭圆的标准方程为由题意设等轴双曲线的标准方程为，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点所以，因此 双曲线的标准方程为； 设，则，因为点在双曲线上，所以因此，即 设，依题意，均不为，不妨设，则，则的方程为，将其代入椭圆方程得：，所以同理可得，故因此，存在，使恒成立9第14讲尖子班教师版
