初三数学寒假班讲义第01讲-二次函数(提高)-教案

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1、学科教师辅导讲义学员编号: 年 级:九年级(下)课 时 数:3学员姓名:辅导科目:数 学学科教师:授课主题第01讲-二次函数授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标熟练掌握二次函数的定义、图像与性质、三种表达式及最值等综合应用问题。授课日期及时段T(Textbook-Based)同步课堂体系搭建一、 知识概念(一) 二次函数的定义一般地,如果yax2bxc(a,b,c是常数,a0),那么y叫做x的二次函数注意:1、二次项系数a0;yax2bxc(a,b,c是常数,a0)叫做二次函数的一般式;2、ax2bxc必须是整式;3、一次项、常数项也可以为零,一次项和常数项可以同时为零; x的取值范

2、围是全体实数(二) 二次函数的图像与性质1、二次函数图像的基本性质二次函数yax2bxc(a,b,c为常数,a0)图象(a0)(a0)开口方向开口向上开口向下对称轴直线x直线x顶点坐标增减性当x时,y随x的增大而减小;当x时,y随x的增大而增大当x时,y随x的增大而增大;当x时,y随x的增大而减小最值当x时,y有最小值当x时,y有最大值2、二次函数图像的平移 方法一: 总结:在原有函数的基础上“值正右移,负左移;值正上移,负下移” 方法二:沿轴平移:向上(下)平移个单位,变成(或)沿轴平移:向左(右)平移个单位,变成(或)总结:概括成八个字“左加右减,上加下减” 3、二次函数的图象与各项系数之

3、间的关系 (1) 二次项系数的正负决定开口方向,的大小决定开口的大小(2)一次项系数:在确定的前提下,决定了抛物线对称轴的位置, “左同右异”。 (3) 常数项:决定了抛物线与轴交点的位置 总之,只要都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的(三) 二次函数的表达式1、一般式:(,为常数,);2、顶点式:(,为常数,);3、两根式:(,是抛物线与轴两交点的横坐标).使用条件:1、已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;2、已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;3、已知抛物线与轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式;4、已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式(四) 二次函数的应用解题

4、一般方法步骤(先构造二次函数模型):(1)列出二次函数的解析式,列解析式时,要根据自变量的实际意义,确定自变量的取值范围(2)在自变量取值范围内,运用公式法或配方法或对称轴判定法,求出二次函数的最大值或最小值(五) 二次函数与一元二次方程(1)二次函数yax2bxc(a0),当y0时,就变成了ax2bxc0(a0)(2)ax2bxc0(a0)的解是抛物线与x轴交点的横坐标(3)当0时,有两个不同的交点;当0时,有一个交点;当0时,抛物线与x轴没有交点考点一: 二次函数的定义例1、若y=(1+m)是二次函数,且开口向下,则m的值为()A3 B3 C+3 D0【解析】B例2、下列函数关系中,可以看

5、做二次函数y=ax2+bx+c模型的是()A在一定距离内,汽车行驶的速度与行驶的时间的关系B我国人中自然增长率为1%,这样我国总人口数随年份变化的关系C竖直向上发射的信号弹,从发射到落回地面,信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)D圆的周长与半径之间的关系【解析】C考点二: 二次函数的图像与性质例1、一次函数y=ax+b(a0)与二次函数y=ax2+bx+c(a0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是()A B C D【解析】C例2、如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴交于点A(1,0),与y轴的交点B在(0,2)和(0,1)之间(不包括这两点),对称轴为直线x=1下列结

6、论:abc0; 4a+2b+c0 ;4acb28a ;a;bc其中含所有正确结论的选项是()A B C D【解析】函数开口方向向上,a0;对称轴在y轴右侧ab异号,抛物线与y轴交点在y轴负半轴,c0,abc0,故正确;图象与x轴交于点A(1,0),对称轴为直线x=1,图象与x轴的另一个交点为(3,0),当x=2时,y0,4a+2b+c0,故错误;图象与x轴交于点A(1,0),当x=1时,y=(1)2a+b(1)+c=0,ab+c=0,即a=bc,c=ba,对称轴为直线x=1=1,即b=2a,c=ba=(2a)a=3a,4acb2=4a(3a)(2a)2=16a208a04acb28a故正确图象

7、与y轴的交点B在(0,2)和(0,1)之间,2c123a1,a;故正确a0,bc0,即bc;故正确;故选:D例3、将抛物线y=2(x+1)22向右平移2个单位,再向上平移2个单位所得新抛物线的表达式()Ay=2(x+3)2 By=(x+3)2 Cy=(x1)2 Dy=2(x1)2【解析】D考点三: 二次函数的表达式例1、把二次函数y=x2x+3配方化为y=a(xh)2+k形式()Ay=(x2)2+2 By=(x2)2+4 Cy=(x+2)2+4 Dy=(x1)2+3【解析】C例2、如图,二次函数y=x2+bx+c的图象过点B(0,2)它与反比例函数y=的图象交于点A(m,4),则这个二次函数的

8、解析式为()Ay=x2x2 By=x2x+2 Cy=x2+x2 Dy=x2+x+2【解析】A考点四: 二次函数的应用例1、便民商店经营一种商品,在销售过程中,发现一周利润y(元)与每件销售价x(元)之间的关系满足y=2(x20)2+1558,由于某种原因,价格只能15x22,那么一周可获得最大利润是()A20 B1508 C1550 D1558【解析】当x=20时,y最大值=1558故选D例2、如图,正六边形的边长为10,分别以正六边形的顶点A、B、C、D、E、F为圆心,画6个全等的圆若圆的半径为x,且0x5,阴影部分的面积为y,反映y与x之间函数关系的大致图形是()A BC D【解析】正六边

9、形的内角和=(62)180=720,y=2x2当x=5时,y=225=50故选:D例3、某片果园有果树80棵,现准备多种一些果树提高果园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少,单棵树的产量随之降低若该果园每棵果树产果y(千克),增种果树x(棵),它们之间的函数关系如图所示(1)求y与x之间的函数关系式;(2)在投入成本最低的情况下,增种果树多少棵时,果园可以收获果实6750千克?(3)当增种果树多少棵时,果园的总产量w(千克)最大?最大产量是多少?【解析】(1)设函数的表达式为y=kx+b,该一次函数过点(12,74),(28,66),得,解得,该函数的表达式为y=0.

10、5x+80,(2)根据题意,得,(0.5x+80)(80+x)=6750,解得,x1=10,x2=70投入成本最低x2=70不满足题意,舍去增种果树10棵时,果园可以收获果实6750千克(3)根据题意,得w=(0.5x+80)(80+x)=0.5 x2+40 x+6400 =0.5(x40)2+7200a=0.50,则抛物线开口向下,函数有最大值当x=40时,w最大值为7200千克当增种果树40棵时果园的最大产量是7200千克考点五:二次函数与一元二次方程例1、若二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示,且关于x的方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实根,则常数k的取值范围是()A

11、0k4 B3k1 Ck3或k1 Dk4【解析】由图象可知,抛物线的对称轴为x=1,顶点坐标为(1,4),设抛物线的解析式为:y=a(x+1)2+4,把(1,0)代入解析式得,a=1,解析式为:y=x22x+3,方程=x22x+3=k有两个不相等的实根,=4+124k0,解得:k4故选:D例2、如图,一段抛物线y=x(x3)(0x3),记为C1,它与x轴交于点O和A1;将C1绕A1旋转180得到C2,交x轴于A2;将C2绕A2旋转180得到C3,交x轴于A3,如此进行下去,得到一条“波浪线”若点P(41,m)在此“波浪线”上,则m的值为()A2 B2 C0 D【解析】当y=0时,x(x3)=0,

12、解得x1=0,x2=3,则A1(3,0),OA1=3,C1绕A1旋转180得到C2,A1A2=OA1=3,则OA2=6,A2(6,0),C2的解析式为y=(x3)(x6)(3x6),同样可得OA13=39,OA14=42,则A13(39,0),A14(42,0),C14的解析式为y=(x39)(x42)(39x42),点P(41,m)在抛物线C14上,当x=41时,m=2(1)=2故选BP(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、若y=(a2+a)是二次函数,那么()Aa=1或a=3 Ba1或a0 Ca=3 Da=1【解析】C2、下列函数关系中,是二次函数的是()A在

13、弹性限度内,弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系B当距离一定时,汽车行驶的时间t与速度v之间的关系C矩形的面积S和矩形的宽x之间的关系D等边三角形的面积S与边长x之间的关系【解析】D3、二次函数y=ax2+bx+c(a0)图象上部分点的坐标(x,y)对应值列表如下:x32101y323611则该函数图象的对称轴是()A直线x=3 B直线x=2 C直线x=1 D直线x=0【解析】B4、如图是抛物线y=ax2+bx+c(a0)的部分图象,其顶点坐标为(1,n),且与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间则下列结论:ab+c0;3a+b=0;b2=4a(cn);一元二次方程ax2+bx+c

14、=n1有两个不相等的实数根其中正确结论的个数是()A1 B2 C3 D4【解析】当x=1时,y0,即ab+c0,所以正确;抛物线的对称轴为直线x=1,即b=2a,3a+b=3a2a=a,所以错误;抛物线的顶点坐标为(1,n),=n,b2=4ac4an=4a(cn),所以正确;抛物线与直线y=n有一个公共点,抛物线与直线y=n1有2个公共点,一元二次方程ax2+bx+c=n1有两个不相等的实数根,所以正确故选C5、将抛物线y=x24x4向左平移3个单位,再向上平移5个单位,得到抛物线的表达式为()Ay=(x+1)213 By=(x5)23 Cy=(x5)213 Dy=(x+1)23【解析】D6、

15、二次函数y=ax2+bx与一次函数y=ax+b(a0)在同一平面直角坐标系中可能的图象为()A B C D【解析】A7、如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与轴交于A、B两点,顶点C的纵坐标为2,现将抛物线向右平移2个单位,得到抛物线y=a1x2+b1x+c1,则下列结论:b0;ab+c0;阴影部分的面积为4;若c=1,则b2=4a正确的是()A B C D【解析】抛物线开口向上,a0,又对称轴为x=0,b0,结论不正确;x=1时,y0,ab+c0,结论不正确;抛物线向右平移了2个单位,平行四边形的底是2,函数y=ax2+bx+c的最小值是y=2,平行四边形的高是2,阴影部分的面积是:22=4

16、,正确;=2,c=1,b2=4a,正确综上,结论正确的是:故选D8、若二次函数y=x2+2x+m2+1的最大值为4,则实数m的值为()A B C2 D1【解析】y=x2+2x+m2+1=(x1)2+m2+2,m2+2=4,解得,m=,故选A9、某宾馆有客房50间,当每间客房每天的定价为220元时,客房会全部住满;当每间客房每天的定价增加10元时,就会有一间客房空闲,设每间客房每天的定价增加x元时,客房入住数为y间(1)求y与x的函数关系式(不要求写出x的取值范围);(2)如果每间客房入住后每天的各种支出为40元,不考虑其他因素,则该宾馆每间客房每天的定价为多少时利润最大?【解析】(1)由题意可

17、得,y=50=,即y与x的函数关系式是:y=x+50;(2)当每间客房每天的定价增加x元时,设宾馆的利润为w元, 则w=(x+50)(220+x40)=,当x=160时,w有最大值,故这一天宾馆每间客房的定价为:220+160=380(元),即当宾馆每间客房的定价为380元时,宾馆利润最大10、如图,抛物线y=x23x+与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,点D是直线BC下方抛物线上一动点,过点D作y轴的平行线,与直线BC相交于点E(1)求直线BC的解析式;(2)当线段DE的长度最大时,求点D的坐标【解析】(1)抛物线y=x23x+与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,令y=0,可得x

18、=或x=,A(,0),B(,0);令x=0,则y=,C点坐标为(0,),设直线BC的解析式为:y=kx+b,则有,解得:,直线BC的解析式为:y=x;(2)设点D的横坐标为m,则坐标为(m,),E点的坐标为(m,m),设DE的长度为d,点D是直线BC下方抛物线上一点,则d=m+(m23m+),整理得,d=m2+m,a=10,当m=时,d最大= D点的坐标为(,) 课后反击1、若y=(1+m)是二次函数,且开口向下,则m的值为()A3 B3 C+3 D0【解析】B2、在同一平面直角坐标系内,一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+5x+b的图象可能是()A BCD【解析】C3、如图,抛物线y=

19、ax2+bx+c(a0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(1,0),其部分图象如图所示,下列结论:4acb2;方ax2+bx+c=0的两个根是x1=1,x2=3;3a+c0;当y0时,x的取值范围是1x3;当x0时,y随x增大而增大其中结论正确的个数是()A4个 B3个 C2个 D1个【解析】抛物线与x轴有2个交点,b24ac0,所以正确;抛物线的对称轴为直线x=1,而点(1,0)关于直线x=1的对称点的坐标为(3,0),方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=1,x2=3,所以正确;x=1,即b=2a,而x=1时,y=0,即ab+c=0,a+2a+c=0,所以错误;抛物线与x轴的

20、两点坐标为(1,0),(3,0),当1x3时,y0,所以错误;抛物线的对称轴为直线x=1,当x1时,y随x增大而增大,所以正确故选B4、已知二次函数y=ax2+4x+a1的最小值为2,则a的值为()A3 B1 C4 D4或1【解析】a=1或4,a0,a=4故选C5、若二次函数的图象的顶点坐标为(2,1),且抛物线过(0,3),则二次函数的解析式是()Ay=(x2)21 By=(x2)21 Cy=(x2)21 Dy=(x2)21【解析】C6、已知某二次函数的图象如图所示,则这个二次函数的解析式为()Ay=3(x1)2+3 By=3(x1)2+3Cy=3(x+1)2+3 Dy=3(x+1)2+3【

21、解析】A7、某种产品的成本是120元/件,试销阶段每件产品的售价x(元)与产品的日销量y(件)之间关系如表所示: x/元 130 150165 y/件70 50 35若日销售量y是销售价x的一次函数,那么,要使每天所获得最大的利润,每件产品的销售价应定为多少元?此时每天的销售利润是多少?【解析】设y与x之间的函数关系为y=kx+b,解得,y与x之间的函数关系为y=x+200,设获得的利润为w元,w=(x120)(x+200)=(x160)2+1600,当x=160时,w取得最大值,此时w=1600,即要使每天所获得最大的利润,每件产品的销售价应定为160元,此时每天的销售利润是1600元8、已

22、知关于x的一元二次方程x2(2m+1)x+2m=0(1)求证:不论m为任何实数时,该方程总有两个实数根;(2)若抛物线y=x2(2m+1)x+2m与x轴交于A、B两点(点A与点B在y轴异侧),且AB=4,求此抛物线的表达式;(3)在(2)的条件下,若抛物线y=x2(2m+1)x+2m向上平移b个单位长度后,所得到的图象与直线y=x没有交点,请直接写出b的取值范围【解析】(1)=b24ac=(2m+1)242m=4m24m+1=(2m1)2不论m为任何实数时,总有=(2m1)20,该方程总有两个实数根(2)令y=x2(2m+1)x+2m=0,即x2(2m+1)x+2m=0,则(x2m)(x1)=

23、0,解得x=2m,x=1,由AB=4,|12m|=4,解得m=或m=,当m=时,抛物线解析式为y=x26x+5,点A(1,0),点B(5,0)不合题意,舍去,当m=时,抛物线解析式为y=x2+2x3,点A(1,0),点B(3,0),符合题意,抛物线的表达式为y=x2+2x3(3)将抛物线y=x2+2x3向上平移b个单位后得到的抛物线为:,依题意列方程组:,消去y,得x2+x+b3=0,图象与直线y=x没有交点,=1241(b3)0,解得,直击中考1、【2016广州】对于二次函数y=+x4,下列说法正确的是()A当x0时,y随x的增大而增大 B当x=2时,y有最大值3C图象的顶点坐标为(2,7)

24、 D图象与x轴有两个交点【解析】B2、【2016赤峰】函数y=k(xk)与y=kx2,y=(k0),在同一坐标系上的图象正确的是()A B C D【解析】C3、【2016临沂】二次函数y=ax2+bx+c,自变量x与函数y的对应值如表:x543210y402204下列说法正确的是()A抛物线的开口向下 B当x3时,y随x的增大而增大C二次函数的最小值是2 D抛物线的对称轴是x=【解析】二次函数的解析式为y=x2+5x+4选D4、【2016兰州】二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,对称轴是直线x=1,有以下结论:abc0;4acb2;2a+b=0;ab+c2其中正确的 结论的个数是()A

25、1 B2 C3 D4【解析】正确;正确;b=2a,2ab=0,所以错误;x=1对应的y值是最大值,ab+c2,所以正确故选C5、【2016武汉】某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售,每年产销x件已知产销两种产品的有关信息如表:产品每件售价(万元)每件成本(万元)每年其他费用(万元)每年最大产销量(件)甲6a20200乙201040+0.05x280其中a为常数,且3a5(1)若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元,直接写出y1、y2与x的函数关系式;(2)分别求出产销两种产品的最大年利润;(3)为获得最大年利润,该公司应该选择产销哪种产品?请说明理由【解析】(1)y1=

26、(6a)x20,(0x200)y2=10x400.05x2=0.05x2+10x40(0x80)(2)对于y1=(6a)x20,6a0,x=200时,y1的值最大=(1180200a)万元对于y2=0.05(x100)2+460,0x80,x=80时,y2最大值=440万元(3)(1180200a)=440,解得a=3.7, (1180200a)440,解得a3.7,(1180200a)440,解得a3.73a5,当a=3.7时,生产甲乙两种产品的利润相同当3a3.7时,生产甲产品利润比较高当3.7a5时,生产乙产品利润比较高S(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾二次函数的定义;二次函数的图像与性质;二次函数的表达式与应用;二次函数与一元二次方程。名师点拨本章内容丰富且综合性较强,也是中考的必考点与重难点,结合教案做好总结及勤学多练是掌握的关键。学霸经验 本节课我学到 我需要努力的地方是16

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