1、2020高考数学（理）模拟卷（10）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
2、第卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设,若是纯虚数（其中为虚数单位）,则（ ）AB2C-1D1【答案】D【解析】,所以,选D.2已知为实数集，集合，则（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】化简集合，根据集合的并集补集运算即可.【详解】因为，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了集合的并集、补集运算，属于中档题.3函数f(x)=2x-2,x12sin(12x)-1,x>1，则ff(2)=（ ）A-2 B
3、-1 C23-1-2 D0【答案】B【解析】f(2)=2sin(122)-1=0 ，ff(2)=f(0)=20-2=-1 ，故选B .4对于问题“已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式”，给出如下一种解法：由的解集为，得的解集为，即关于的不等式的解集为.类比上述解法，若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】把题设中两个一元二次不等式的代数结构关系与对应的解集关系类比推广到两个分式不等式的代数结构关系与对应的解集关系即可得到要求的解集.【详解】将关于的不等式变形可得，从而
4、由条件可得.利用对数换底公式有，即，于是所求不等式的解集为，故选A.【点睛】类比推理中有一类是解题方法上的类比推理，即原有的解题方法是建立在代数式的合理变形的基础上，因此对我们需要解决的问题，如果它们也有代数式上类似的变形，那么解决问题的手段应该是相同的，从而使得新问题得到解决 .5如图，在矩形内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为()ABCD【答案】B【解析】【分析】根据定积分的应用，得到阴影部分的面积为，再由题意得到矩形的面积，最后由与面积有关的几何概型的概率公式，即可求出结果.【详解】由题意，阴影部分的面积为，又矩形的面积为，所以在矩形内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为.故选
5、B【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，以及定积分的应用，熟记微积分基本定理以及几何概型的概率计算公式即可，属于常考题型.6函数的图象大致为ABCD【答案】B【解析】，为奇函数，排除A，C；，且，排除D，故选B.7已知向量， ，则向量的夹角的余弦值为（ ） 【答案】C【解析】，故.8执行如图所示的程序框
6、图，则可以输出函数的为（ ）ABCD【答案】C【解析】分析：先根据流程图确定输出函数为非奇函数且有小于零的函数值,再结合选择项的函数判断得结果.详解：因为由流程图确定输出函数为非奇函数且有小于零的函数值,又因为为奇函数，恒大于零，恒非负，满足函数为非奇函数且有小于零的函数值,所以选C.点睛：本题考查流程图以及函数奇偶性、函数值域等性质，考查基本求解能力.9中国古代数学著作算法统宗中有这样一个“九儿问甲歌”问题：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推在这个问题中，记这位公公的第个儿子的年龄为，则（ ）ABCD【答案
7、】B【解析】由题意得数列成等差数列，公差为-3，所以 选B.10已知的内角，的对边分别为，.若，的面积为，则面积的最大值为（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】由余弦定理，结合三角形面积公式可得，再由余弦定理结合基本不等式求出的最大值，从而可得结果.【详解】，.，由余弦定理得，.故选：D.【点睛】余弦定理的应用一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.11已知函数在时有极值0，则椭圆的离心率为（ ）ABC或D【答案】B【解析】对
8、函数求导得，由题意得即解得或当时，故所以椭圆的离心率为，故选B12已知正六棱锥的所有顶点都在一个半径为的球面上，则该正六棱锥体积的最大值为（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】首先过作平面，取为球心，设，.然后计算出正六棱锥的体积.设，利用导数求出设最大值即可得到正六棱锥体积的最大值.【详解】过作平面，取为球心，设，.在中有，即.正六棱锥的体积.设.由得.在上单调递增，在上单调递减.所以当时取得最大值.所以正六棱锥体积的最大值为.故选：【点睛】本题主要考查了正六面体的外接球和体积，将体积的最大值用导数的方法求解是解决本题的关键，属于难题.第卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小
9、题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。13已知等差数列中，则通项公式为_.【答案】【解析】，的通项公式为.考点：等差数列.14如图，在中，在斜边上，且，则的值为_【答案】6【解析】【分析】以为基底，表示出向量，利用数量积计算即可求值.【详解】由题意，,因为，所以,所以,，故答案为：6【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，向量的数量积的运算性质，属于中档题.15已知函数，若函数在区间内没有零点，则的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】先把化为，求出其零点的一般形式后利用函数在区间内没有零点构建关于的不等式组，通过讨论的范围可得的取值范围.【详解】因为，故，令，则，故函数的零点为.因
10、为函数在内无零点，故存在整数，使得，故，因为正实数，故，故，又，故，故或.当时，当时，.故.故答案为：.【点睛】函数在给定区间上的单调性问题或零点问题，可以先求出单调区间或零点的一般形式，再利用函数在给定区间上的性质把问题转化为不等式组的整数解问题16给出下列四个命题已知为椭圆上任意一点，是椭圆的两个焦点，则的周长是8；已知是双曲线上任意一点，是双曲线的右焦点，则；已知直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，则；椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点，是它的焦点，长轴长为，焦距为，若静放在点的小球（小球的半
11、径忽略不计）从点沿直线出发则经椭圆壁反射后第一次回到点时，小球经过的路程恰好是其中正确命题的序号为_（请将所有正确命题的序号都填上）【答案】【解析】【分析】求得椭圆中的， ，的周长为：，即可判断；求得双曲线中的，讨论在双曲线的左支或右支上，求得最小值，即可判断；设出直线的方程，代入抛物线方程，运用韦达定理，即可判断；可假设长轴在，短轴在轴，对球的运动方向沿轴向左直线运动，沿轴向右直线运动，以及球不沿轴运动，讨论即可.【详解】由椭圆方程，得，因为椭圆上任意一点，由椭圆定义知，的周长为，故错误；已知是双曲线上任意一点，且，是双曲线的右焦点，若在双曲线左支上，则，若在双曲线右支上，则，故正确；直线过
12、抛物线的焦点，设其方程为，将直线代入抛物线的方程可得，由韦达定理可得，又，则，故正确；假设长轴在，短轴在轴，设为左焦点，为左焦点，以下分为三种情况：i球从 沿轴向左直线运动，碰到左顶点必然原路反弹，这时第一次回到路程是；ii球从沿轴向右直线运动，碰到右顶点必然原路反弹，这时第一次回到路程是；iii球从不沿轴斜向上（或向下）运动，碰到椭圆上的点，反弹后经过椭圆的另一个焦点，再弹到椭圆上一点，经反弹后经过点，此时小球经过的路程是；综上所述：从点沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到时，小球经过的路程是或或.故错误.故答案为：.【点睛】本题考查圆锥曲线的定义、方程和性质，考查分类讨论思想方法和化简整理
13、的运算能力，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题,每个考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17各项为正数的数列满足：，.（1）求的通项公式；（2）求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（1），得，两式作差，即可证明an为等差数列，从而求出an（2）利用裂项求和法能求出数列的前n项和，再放缩即可证明【详解】（1）由，两式相减得：，整理可得，可得，故.（2）.【点睛】本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意迭代法和裂项求和法和放缩法
14、的合理运用18如图，四棱锥中，底面ABCD为梯形，底面ABCD，1求证：平面平面PBC；2设H为CD上一点，满足，若直线PC与平面PBD所成的角的正切值为，求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】试题分析：（I）由直角三角形可得，由线面垂直的性质可得，从而可得平面进而可得结论；（II）以点为坐标原点，分别轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.试题解析：（I）由，可得，又 &n
15、bsp; 从而，底面， ，平面所以平面平面. （II）由（I）可知为与底面所成角.
16、 所以，所以 又及，可得, 以点为坐标原点，分别轴建立空间直角坐标系，则. &nbs
17、p; 设平面的法向量.则由得取 同理平面的法向量为 &
18、nbsp; 所以又二面角为锐角.所以二面角余弦值为.【方法点晴】本题主要考查利用空间垂直关系以及空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19若曲线C上的点到直线的距离比它到点F的距离大1，（1）求曲线C的方程。（2）过点F（1，0）作倾斜角
19、为的直线交曲线C于A、B两点，求AB的长（3）过点F（1，0）作斜率为k 的直线交曲线C于M、N 两点，求证：为定值【答案】（1）；（2）8；（3）见解析.【解析】【分析】（1）把直线变换为直线，则知其轨迹是抛物线，由此可得标准方程；（2）由直线方程与抛物线方程联立方程组，消元后利用韦达定理得出，而，代入即可；（3）直线方程为，与抛物线方程联立，没，消元后应用韦达定理，利用，化简计算可得定值.【详解】（1）由已知得曲线C上的点到直线的距离等于到点的距离，所以曲线C是抛物线，其方程是：；.（2）由 消去x并整理得：，设，或.（3）由消去x 并整理得：,设，,为定值.【点睛】本题考查求抛物线的标准
20、方程，考查直线与抛物线的位置关系问题.在抛物线中焦点弦具有一些性质：抛物线方程，是过焦点的弦，则，.202020年开始，国家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科，采用3+3模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科目满分100分.为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生 450 人）中，采用分层抽样的方法从中抽取名学生进行调查.（1）已知抽取的名学生中含女生45人，求的值及抽取到的男生人数；（2
21、）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），下表是根据调查结果得到的列联表. 请将列联表补充完整，并判断是否有 99%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；（3）在抽取到的45名女生中按（2）中的选课情况进行分层抽样，从中抽出9名女生，再从这9名女生中抽取4人，设这4人中选择“地理”的人数为，求的分布列及期望.选择“物理”选择“地理”总计男生10女生25总计，其中.0.050.013.8416.635【答案】（1），男生人数为
22、55人（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）由题意得，解方程即得的值及抽取到的男生人数.(2)根据已知完成22列联表，再利用独立性检验求出，所以有99%的把握认为选择科目与性别有关（3）先写出的分布列再求其期望.【详解】（1）由题意得，解得，男生人数为：550=55人（2）22列联表为：选择“物理”选择“地理”总计男生451055女生252045总计7030100 ，所以有99%的把握认为选择科目与性别有关（3）从45名女生中分层抽样抽9名女生，所以这9名女生中有5人选择物理，4人选择地理，9名女生中再选择4名女生，则这4名女生中选择地理的人数可为0，1，2，3，4。 设事件发生概率为
23、，则， . 的分布列为：01234期望.【点睛】本题主要考查独立性检验，考查离散型随机变量的分布列和数学期望，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.21已知函数.（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；（2）若对于任意都有成立，试求的取值范围；（3）记.当时，函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围。【答案】（1）单调增区间是，单调减区间是.（2）（3）【解析】【分析】（1）先由导数的几何意义求得a，在定义域内，再求出导数大于0的区间，即为函数的增区间，求出导数小于0的区间即为函数的减区间（2）根据函数的单调区间求出函数的最小值，要使f（x）2
24、（a1）恒成立，需使函数的最小值大于2（a1），从而求得a的取值范围（3）利用导数的符号求出单调区间，再根据函数g（x）在区间e1，e上有两个零点，得到， 解出实数b的取值范围【详解】（1）直线的斜率为1， 函数)的定义域为.因为，所以，所以，所以，.由解得；由解得.所以得单调增区间是，单调减区间是.（2）由解得；由解得.所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当时，函数取得最小值.因为对于任意都有成立，所以即可.则，即，解得，所以得取值范围是.（3）依题意得，则，由解得，由解得.所以函数在区间上有两个零点，所以，解得.所以的取值范围是.【点睛】本题考查导数的几何意义及利用导数求函数的单调
25、区间问题，考查了利用导数研究函数的最值及零点的问题，属于中档题（二）选考题：共10分.请考生在22,23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为（）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（）设点，若直线与曲线交于，两点，求的值【答案】（）曲线的普通方程为；直线的直角坐标方程为；（）.【解析】【分析】（）消去参数可得曲线的普通方程，利用极坐标与直角坐标互化的方法确定直线的直角坐标方程即可；（）由（）可知，点在直线上，联立直线的参数方程与C的直角坐标方程，结合直线的几何意义可得的值.【
26、详解】（）由，消去参数可得，故曲线的普通方程为由，可得，即，将，代入上式，可得，故直线的直角坐标方程为（）由（）可知，点在直线上，可设直线的参数方程为（为参数），将，代入，化简可得，设，两点对应的参数分别为，则，所以【点睛】本题主要考查极坐标与直角坐标的互化，参数方程与普通方程的互化，直线参数方程中参数的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23（1）解不等式；（2）求函数的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据二次根式的意义,将不等式化简.通过分类讨论即可解不等式.（2）根据柯西不等式形式,将不等式构造成柯西不等式,即可求得最大值.【详解】（1）原不等式化为当时,原不等式为得,即;当时,原不等式为得即;当时,原不等式为得,与矛盾;综上可知,不等式的解集为（2）函数的定义域为,且当且仅当,即时取到最大值【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法,柯西不等式在求最值中的应用,属于中档题.
