1、2020高考数学（理）模拟卷（5）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）第I卷（选择题)一、 单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知复数z满足(1+3i)z=23i（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】A【解析】试题分析：由(1+3i) =23i,得z=23i1+3i=23i(1-3i)(1+3i)(1-3i)=6+23i4=32+3i2，所以得在复平面内对应的点的坐标为(32,3
2、2)是第一象限的点,故选A.2若，则( )ABCD【答案】D【解析】【分析】利用集合的补集的定义求出的补集；利用子集的定义判断出【详解】解：，故选：【点睛】本题考查利用集合的交集、补集、并集定义求交集、补集、并集；利用集合包含关系的定义判断集合的包含关系3已知，则=（ ）ABCD 【答案】D【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系，由，化为正切即可求解.【详解】,且，故选：D【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，弦化切的思想，属于中档题.4已知向量，满足，则（
3、; ）AB2CD【答案】C【解析】【分析】根据，平方得到，再计算，得到答案.【详解】故选【点睛】本题考查了向量模的计算，先计算出是解题的关键.5设，则（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】由对数的运算化简可得，结合对数函数的性质，求得，又由指数函数的性质，求得，即可求解，得到答案.【详解】由题意，对数的运算公式，可得，又由，所以，即，由指数函数的性质，可得，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及指数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用指数函数与对数函数的图象与性质，求得的范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础
4、题.6设为等差数列，为其前项和，若，则公差( )A-2B-1C1D2【答案】A【解析】【分析】由题意结合等差数列的性质和前n项和的定义求解公差即可.【详解】由题意可得：，则，等差数列的公差.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查数列的前n项和与通项公式的关系，等差数列公差的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7某校高二（1）班甲、乙两同学进行投篮比赛，他们进球的概率分别是和，现甲、乙各投篮一次，恰有一人进球的概率是（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式求得 甲投进而乙没有投进的概率，以及乙投进而甲没有投进的概
5、率，相加即得所求【详解】甲投进而乙没有投进的概率为 ，乙投进而甲没有投进的概率为,故甲、乙各投篮一次，恰有一人投进球的概率是 ,故选：D【点睛】本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题8函数f(x)=xsinx+lnx在区间-2,2上的大致图象为（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】根据题意，分析函数的奇偶性可得函数f（x）为偶函数，据此可以排除A、D；又由x0时，xsinx+lnx0，分析可得答案【详解】根据题意，f（x）xsinx+ln|x|，其定义域为x|x0，有f（x）（x）sin（x）+ln|（x）|xs
6、inx+ln|x|f（x），即函数f（x）为偶函数，在区间2，0）（0，2上关于y轴对称，排除A、D；又由x0时，xsinx+lnx0，排除C；故选：B【点睛】本题考查函数图象的判断，考查函数的奇偶性，此类题目一般用排除法分析9如图，三棱锥的四个顶点恰是长、宽、高分别是m，2，n的长方体的顶点，此三棱锥的体积为2，则该三棱锥外接球体积的最小值为（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】根据三棱锥的体积关系可得,根据三棱锥与长方体共外接球,长方体的对角线就是外接球的直径可得,根据基本不等式可得半径的最小值,进一步可得体积的最小值.【详解】根据长方体的结构特征可知三棱锥的高
7、为,所以,所以,又该三棱锥的外接球就是长方体的外接球,该外接球的直径是长方体的对角线,设外接球的半径为,所以,所以,当且仅当时,等号成立,所以,所以该三棱锥外接球体积为.故选:C【点睛】本题考查了三棱锥的体积公式,球的体积公式,长方体的对角线长定理,基本不等式,属于中档题.10如图，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两 支分别交于点若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A4BCD【答案】B【解析】为等边三角形，不妨设为双曲线上一点，为双曲线上一点,由在中运用余弦定理得：,故答案选点睛：根据双曲线的定义算出各边长，由等边三角形求得内角，再利用余弦定理计算出离心率。11执行如图所示的程
8、序框图，若输入n的值为4，则输出s的值是（ ）A1B2C4D7【答案】D【解析】【分析】执行程序框图，依次写出的值，第四次循环后: ;此时，不成立,输出s的值为7.【详解】执行程序框图，有,第一次循环后: ,第二次循环后: ,第三次循环后: ,第四次循环后: ,此时，不成立,输出s的值为7.故选: D.【点睛】本题考查的是算法中流程图和循环结构的应用，是基础题.12已知直线与曲线相切，则的最大值为（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】根据切点处切线斜率等于导数值、切点处直线对应的函数值等于曲线对应的函数值，得到关于等式，由此将表示成关于的函
9、数形式，构造新函数分析的最大值.【详解】设切点，则由得，又由，得，则，有，令，则，故当时；当时，故当时取得极大值也即最大值.故选：C.【点睛】本题考查导数的几何意义以及构造函数求解最值，难度较难.(1)分析导数的切线问题，注意两个点：切线的斜率等于切点处曲线的导数值、切线对应的值等于曲线对应的函数值；(2)构造函数求解最值时，注意分析新函数的单调性以及定义域，然后分析最值即可.第II卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。13若倾斜角为的直线与曲线相切于点，则的值为_.【答案】【解析】【分析】根据题意，求出的导数，计算可得的值，由导数的几何意义可
10、得，由三角函数的恒等变形公式可得，代入数据计算可得答案【详解】解：根据题意，曲线，其导数，则；故答案为：【点睛】本题考查利用导数计算曲线的切线方程，关键是掌握导数的几何意义，属于中档题14法国数学家布丰提出一种计算圆周率的方法随机投针法，受其启发，我们设计如下实验来估计的值：先请200名同学每人随机写下一个横、纵坐标都小于1的正实数对；再统计两数的平方和小于1的数对的个数；最后再根据统计数来估计的值.已知某同学一次试验统计出，则其试验估计为_.【答案】3.12【解析】【分析】横、纵坐标都小于1的正实数对构成第一象限内的一个正方形, 两数的平方和小于1的数对为单位圆在第一象限的部分.由几何概型概
11、率的计算公式,及试验所得结果,即可估计的值.【详解】横、纵坐标都小于1的正实数对构成第一象限内的一个正方形,两数的平方和小于1的数对为单位圆在第一象限的部分.其关系如下图所示:则阴影部分与正方形面积的比值为 由几何概型概率计算公式可知 解得故答案为: 【点睛】本题考查了几何概型概率的求法,根据题意得各部分的关系是解决问题的关键,属于基础题.15在九章算术中，将底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵，如图，在堑堵中，堑堵的顶点到直线的距离为m，到平面的距离为n，则的取值范围是_.【答案】.【解析】【分析】设，利用等面积法和等体积法求出m，n关于a的不等式，根据a的范围得出的值【详解】
12、设，则，且B到平面的距离为，又，故答案为：【点睛】本题考查了空间距离的计算，棱锥的体积公式，属于中档题16已知双曲线的左、右焦点分别为，过且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于，两点，分别交轴于，两点，若的周长为16，则的最大值为_.【答案】4【解析】【分析】由题意可得的周长为32，利用双曲线的定义，可得，进而转化，变形后利用均值不等式求解即可.【详解】如图：由的周长为16，所以的周长为32，AB是双曲线的通径，可得，可得则，当且仅当，即时等号成立，故填.【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于难题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必
13、要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题,每个考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17已知数列的前项和为,且.(1)求数列的通项公式.(2)求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】由,当时，；当时，从而可得出结论；（2）由（1)可得，= =,利用“裂项相消”可求出数列的前项和.【详解】(1)当n=1时,a1=S1=3; 当n2时,an=Sn-Sn-1 =n2+2n-=2n+1.当n=1时,也符合上式, 故an=2n+1. （2）因为= =, 故Tn= =.【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之
14、一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18如图1，在等腰中，分别为，的中点，为的中点，在线段上，且。将沿折起，使点到的位置（如图2所示），且。（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）要证明线面平行，需证明线线平行，取的中点，连接，根据条件证明，即；（2）以为原点，所在直线为轴，过作平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求两个平面的法向量，利用法向量求
15、二面角的余弦值.【详解】（1）证明：取的中点，连接.，为的中点.又为的中点，.依题意可知，则四边形为平行四边形，从而.又平面，平面，平面.（2），且，平面，平面，且，平面，以为原点，所在直线为轴，过作平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，不妨设，则，.设平面的法向量为，则，即，令，得.设平面的法向量为，则，即，令，得.从而，故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线面平行的证明和空间坐标法解决二面角的问题，意在考查空间想象能力，推理证明和计算能力，属于中档题型，证明线面平行，或证明面面平行时，关键是证明线线平行，所以做辅助线或证明时，需考虑构造中位线或平行四边形，这些
16、都是证明线线平行的常方法.19随着通识教育理念的推广及高校课程改革的深入，选修课越来越受到人们的重视.国内一些知名院校在公共选修课的设置方面做了许多有益的探索，并且取得了一定的成果.因为选修课的课程建设处于探索阶段，选修课的教学、管理还存在很多的问题，所以需要在通识教育的基础上制定科学的、可行的解决方案，为学校选修课程的改革与创新、课程设置、考试考核、人才培养提供参考.某高校采用分层抽样法抽取了数学专业的50名参加选修课与不参加选修课的学生的成绩，统计数据如下表：成绩优秀成绩不够优秀总计参加选修课16925不参加选修课81725总计242650（1）试运用独立性检验的思想方法分析：你能否有99
17、%的把握认为“学生的成绩优秀与是否参加选修课有关”，并说明理由；（2）如果从数学专业随机抽取5名学生，求抽到参加选修课的学生人数的分布列和数学期望（将频率当做概率计算）.参考公式：，其中.临界值表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）没有99%的把握认为“学生的成绩优秀与是否参加选修课有关；（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）由卡方公式计算，再与临界值表对照可得结论；（2）由题意知，数学专业中参加选修课的学生的概率为.随机抽取5名学生，抽到参加选修课的学生人数的所有可能取值为
18、0，1，2，3，4，5，利用二项分布的概率公式可计算出概率得分布列，由期望公式可求得期望【详解】（1）由题意知，.没有99%的把握认为“学生的成绩优秀与是否参加选修课有关”（2）由题意知，数学专业中参加选修课的学生的概率为.随机抽取5名学生，抽到参加选修课的学生人数的所有可能取值为0，1，2，3，4，5.的分布列为012345P【点睛】本题考查独立性检验，考查随机事件的概率分布列与期望，掌握二项分布的概率公式是解题基础20已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，其渐近线方程是，双曲线过点(1)求双曲线方程(2)动直线经过的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问:是否存在直线,使G平分线段MN
19、，证明你的结论【答案】(1)所求双曲线方程为="1" ；(2)所求直线不存在【解析】本试题主要是考查了双曲线方程的求解，已知直线与双曲线的位置关系的综合运用（1）利用已知中的渐近线方程是，双曲线过点那么设出双曲线的标准方程，然后代入点和a,b的关系得到求解（2）假设存在直线，使G(2，2)平分线段MN，那么利用对称性，分别设出点的坐标，那么联立方程组，可知斜率，得到直线的方程，从而验证是否存在(1)如图，设双曲线方程为=1 1分由已知得3分解得5分所以所求双曲线方程为="1" 6分(2)P、A1、A2的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(3，0），其重心
20、G的坐标为(2，2）8分假设存在直线，使G(2，2)平分线段MN，设M(x1,y1)，N(x2,y2) 则有，kl=10分l的方程为y=(x2)+2,12分由,消去y,整理得x24x+28="0"=164280,所求直线不存在14分21已知函数f(x)=xex-1-a(x+lnx)，aR.（1）若f(x)存在极小值，求实数a的取值范围；（2）设x0是f(x)的极小值点，且f(x0)0，证明：fx02x02-x03.【答案】(1) 0,+.(2)见解析.【解析】【分析】（1）先求得导函数，根据定义域为0,+，可构造函数gx=xex-1-a，通过求导及分类讨论，即可求得a的取值
21、范围。（2）由（1）令x0ex0-1-a=0，通过分离参数得a=x0ex0-1，同时求对数，根据函数fx00，可得1-x0-lnx00。构造函数gx=1-x-lnx及Hx=x-lnx-1，由导数即可判断Hx的单调情况，进而求得Hx的最小值，结合fx0=x0ex0-11-x0-lnx0即可证明不等式成立。【详解】（1）f'x=x+1xxex-1-ax>0.令gx=xex-1-a，则g'x=x+1ex-1>0，所以gx在0,+上是增函数.又因为当x0时，gx-a；当x+时，gx+.所以，当a0时，gx>0，f'x>0，函数fx在区间0,+上是增函数，
22、不存在极值点；当a>0时，gx的值域为-a,+，必存在x0>0使gx0=0.所以当x0,x0时，gx<0，f'x<0，fx单调递减； gx="">0，f'x>0，fx单调递增；所以fx存在极小值点.综上可知实数a的取值范围是0,+.（2）由（1）知x0ex0-1-a=0，即a=x0ex0-1.所以"ln" a="ln" x_0+x_0-1，fx0=x0ex0-11-x0-lnx0.由fx00，得1-x0-lnx00.令gx=1-x-lnx，显然gx在区间0,+上单调递减.又g1=0，
23、所以由fx00，得00，H'x=1-1x=x-1x=x-1x，当x>1时，H'x>0，函数Hx单调递增；当0x1时，hx0，1-x0-lnx01-x0-x0-1=21-x00，所以fx0=x0ex0-11-x0-lnx0x0221-x0=2x02-x03，即fx02x02-x03.【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性、极值和最值中的综合应用，利用导数证明不等式成立，变换过程复杂，需要很强的逻辑推理能力，是高考的常考点和难点，属于难题。（二）选考题：共10分.请考生在22,23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标
24、系中，已知曲线C:=2cos，将曲线C上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C1，又已知直线l:x=tcos3y=3+tsin3（t是参数），且直线l与曲线C1交于A，B两点.（1）求曲线C1的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（2）设定点P(0,3)，求1|PA|+1|PB|.【答案】(1)x24+y2=1，表示焦点坐标为-3,0,3,0，长轴长为4的椭圆.(2)32.【解析】【分析】（1）先把曲线C的极坐标方程化成直角方程，在利用变换得到曲线C1，它是椭圆（2）点P在直线l上，可用直线参数方程中参数的几何意义来求1PA+1PB【详解】（1）曲线C的直角坐标
25、方程为：x2+y2-2x=0即x-12+y2=1曲线C1的直角坐标方程为x24+y2=1，曲线C1表示焦点坐标为-3,0,3,0，长轴长为4的椭圆（2）将直线l的参数方程代入曲线C的方程x24+y2=1中，得134t2+12t+8=0设A,B两点对应的参数分别为t1,t2，t1+t2=-4813,t1t2=3213，1PA+1PB=1t1+1t2=-1t1+1t2=32【点睛】如果直线l的参数方程是x=x0+tcosy=y0+tsin （t是参数且tR，是直线的倾斜角），那么t表示Px,y与Px0,y0之间的距离因此，在参数方程中，针对直线上的动点到定点的距离和、积或差等问题（动点和定点都在该
26、直线上），可用直线的参数方程结合韦达定理来考虑23选修4-5：不等式选讲已知实数正数x, y满足（1）解关于x的不等式； （2）证明：【答案】(1).(2)见解析.【解析】【分析】（1）利用零点分段法即可求解.（2）利用“1”的转换，以及基本不等式即可证明.【详解】（1）解得，所以不等式的解集为 （2）解法1： 且， . 当且仅当时，等号成立. 解法2： 且， 当且仅当时，等号成立.【点睛】主要考查了绝对值不等式的求解、不等式证明、以及基本不等式的应用，属于中档题.对于绝对值不等式的求解，主要运用零点分段法，也可以运用图像法.而不等式的证明，关键是灵活运用不等式的性质以及基本不等式./x1时，hx!-0，fx
