1、2020高考数学（理）模拟卷（12）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）第I卷（选择题)一、 单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1复数上的虚部为（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】化简得到计算虚部得到答案.【详解】，所以的虚部为.故选：【点睛】本题考查了复数虚部的计算，属于简单题.2设集合，则（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】先计算得到，再计算得到答案.【详解】，所以.故选：【点睛】本题考查了集合的运算，属于简单题.3“”的一个充分条件是（ &nb
2、sp;）A或B且C且 D或【答案】C【解析】对于或，不能保证成立，故不对；对于或，不能保证成立，故不对；对于且，由同向不等式相加的性质知，可以推出，故正确；对于或，不能保证成立，故不对，故选C.42019年国庆黄金周影市火爆依旧，我和我的祖国、中国机长、攀登者票房不断刷新，为了解我校高三2300名学生的观影情况，随机调查了100名在校学生，其中看过我和我的祖国或中国机长的学生共有80位，看过中国机长的学生共有60位，看过中国机长且看过我和我的祖国的学生共有50位，则该校高三年级看过我和我的祖国的学生人数的估计值为( )A1150B1380C1610D1860【答案】C
3、【解析】【分析】根据样本中看过我和我的祖国的学生人数所占的比例等于总体看过我和我的祖国的学生人数所占的比例，即可计算出全校中看过该影片的人数.【详解】依题有接受调查的100名学生中有70位看过我和我的祖国，故全校学生中约有2300*0.71610人看过我和我的祖国这部影片，故选C【点睛】本题考查根据样本的频率分布与总体的频率分布的关系求值，难度较易.注意样本的频率和总体的频率分布一致.5已知数列是等差数列，且，则的值为（ ）.ABCD【答案】A【解析】试题分析：，所以考点：1、等差数列；2、三角函数求值.6已知向量、满足，则与夹角为（ ）AB
4、CD【答案】B【解析】【分析】根据|，两边平方，根据|，|，得出向量的数量积，再根据夹角公式求解【详解】由已知，（）23（）2，即42+423（4242）因为|1，|2，则224，所以8+43（84），即设向量与的夹角为，则|cos，即cos，故60故选：B.【点睛】本题考查了向量夹角的求法，考查了数量积的运算法则及模的求解方法，属于基础题7已知，则（ ）ABCD-7【答案】D【解析】【分析】利用两角和与差的余弦公式求出、，从而求出【详解】解：，故选：D【点睛】本题主要考查两角和与差的余弦公式，考查同角的三角函数关系，属于基础题8函数的图象大致为( &n
5、bsp;)ABCD【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性排除C，D，再根据函数值的正负即可判断【详解】由为奇函数，得的图象关于原点对称，排除C，D；又当时，故选B【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；由函数的单调性，判断图象的变化趋势；由函数的奇偶性，判断图象的对称性；由函数的周期性，判断图象的循环往复(2)由实际情景探究函数图象关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题9如图是一程序框图,则输出的值为( )ABCD【答案】
6、C【解析】【分析】由程序框图可得,根据数列的裂项求和,即可得出答案.【详解】由程序框图可知: 故选:C.【点睛】本题考查数列的裂项求和,解题关键是能够理解程序框图,考查了分析能力,属于基础题.10已知椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，为的内心，且，若椭圆的离心率为，则（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】设内切圆的半径为，根据题意化简得到，代入数据计算得到答案.【详解】设内切圆的半径为则，整理得.为椭圆上的点，解得.故选：【点睛】本题考查了椭圆离心率相关问题，根据面积关系化简得到是解得的关键.11已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在球面上，
7、平面ABC，为直角三角形，且，则球的表面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】根据题意将球的内接三棱锥P-ABC补成长方体，可求出球的半径，从而球的表面积可求.【详解】根据题意：，平面ABC，则三棱锥P-ABC可补成长方体，如图，三棱锥P-ABC的外接球即是对应长方体的外接球，所以长方体的对角线为其外接球的直径,由，,，所以球的半径为.所以球的表面积为：.故选：C.【点睛】本题考查球的内接体与球的关系，考查空间想象能力，利用割补法结合球内接多面体的几何特征求出球的半径是解题的关键,属于中档题.12已知函数，.若，则的取值范围是（ ）AB
8、CD【答案】C【解析】【分析】先计算的值域为，再计算在上的值域为，根据题意得到，计算得到答案.【详解】，所以的值域为.因为，所以在上的值域为依题意得，则解得.故选：【点睛】本题考查了根据函数值域求参数范围，意在考查学生对于函数知识的综合应用能力.第II卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。 13已知函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由题意可知，函数在区间上存在极小值，分和两种情况讨论，分析函数在区间上的单调性，在时求出函数的极值点，可得出，解出即可.【详解】，.当时，对任意的，此时，函数在区间上为增函数，则函
9、数在区间上没有最小值；当时，令，可得，当时，当时，此时，函数的极小值点为，由题意可得，解得.因此，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查利用函数的最值点求参数，解题时要熟悉函数的最值与导数之间的关系，考查运算求解能力，属于中等题.14已知的展开式中的第4项为常数项，若从展开式中任意抽取一项，则该项的系数是偶数的概率为_【答案】【解析】【分析】依题意知，求得展开式中的通项为Tr+1，令r=3，解得n，求出项的系数是偶数的项的个数，结合古典概型即可求得答案【详解】设展开式中的通项为Tr+1，则Tr+1xnrxrxn2r，当r=3时，n2r0，解得n6，展开式中共有7项，其中只有3项的系数，
10、为偶数该项的系数为偶数的概率是故答案为：.【点睛】本题考查二项式定理、二项展开式的项的系数、二项式系数、古典概型概率公式15在边长为1的正方形ABCD中，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，若，则的最大值为_.【答案】3【解析】【分析】根据题意，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立坐标系，可得A、B、C、D的坐标以及直线BD的方程，进而可得圆C的方程，据此设P的坐标为；由向量的坐标公式可得的坐标，又由向量的坐标计算公式可得，进而可得的表达式，相加后分析可得答案【详解】解：根据题意，如图，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立坐标系：则，则BD的方程为xy1，点C为圆心且与BD相切
11、的圆C，其半径，则圆C的方程为；P在圆C上，设P的坐标为，则，若，则，则有；，即的最大值为3；故答案为：3【点睛】本题考查直线与圆方程的应用，涉及平面向量的基本定理，注意建立坐标系，分析P的坐标与的关系，是中档题16如图，已知正方体的棱长为，点为线段上一点，是平面上一点，则的最小值是_【答案】【解析】【分析】当取得最小时，点必定是点在平面上的射影，即在上。与在二面角的两个面内，此时可将在两个不同平面上的量通过对平面翻折，转化到同一平面上求解。【详解】解：当取得最小时，点必定是点在平面上的射影，即在上。与在二面角的两个面内，为此将绕旋转90，使得平面与平面在同一平面内，由，故当共线且与垂直时，取
12、得最小。在平面内，因为所以，又，所以与都是等腰直角三角形，所以得到=，故的最小值为。【点睛】空间中的最短（长）距离常见方法是通过射影等方法转化为平面上的最值问题。三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题,每个考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17已知数列前项和.数列满足，数列满足.（1）求数列和数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）由先求出，再代入求出；（2）由（1）知数列为差比（等差等比）数列，利用错位相减法求和【详解】解：（1）当时，
13、又，符合上式，故数列的通项公式；又，故数列的通项公式为；（2）由（1）知，-得，【点睛】本题主要考查由数列的前项和求通项公式，考查错位相减法求和，属于中档题18如图所示，圆的直径，为圆周上一点，平面垂直圆所在平面，直线与圆所在平面所成角为，.（1）证明：平面.（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先证明平面，得出，又，则平面；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，通过计算法向量所成角的余弦值求出二面角的余弦值【详解】（1）证：是圆的直径，为圆周上一点，又平面平面，平面平面，平面，又，平面，平面，平面；（2）解：过作于，则平面，过作交于，
14、为直线与平面所成的角，则，由题意可得，在中，以为原点，、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，从而，设平面的法向量，则得，令，从而，而平面的法向量为，故，由图可知，二面角的平面角为锐角，二面角的余弦值为【点睛】本题主要考查空间中线面垂直、面面垂直的判定和性质，考查线面角、二面角的求法，考查空间向量在立体几何中的应用，属于中档题19某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况，对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表.购买金额（元）人数101520152010（1）根据以上数据完成列联表，并判断是否有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.不少于60
15、元少于60元合计男40女18合计（2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖概率为（每次抽奖互不影响，且的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元.若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数（元）的分布列并求其数学期望.附：参考公式和数据：，.附表：2.0722.7063.8416.6357.8790.1500.1000.0500.0100.005【答案】(1)见解析，有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.(2)分布列见解析，数学期望75【解析】【分析】（1）完善列联表，计算得到答案.
16、（2）先计算，分别计算，得到分布列，计算得到答案.【详解】（1）列联表如下：不少于60元少于60元合计男124052女182038合计306090，因此有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.（2）可能取值为65，70，75，80，且.，所以的分布列为65707580.【点睛】本题考查了列联表，分布列，意在考查学生的应用能力和计算能力.20已知椭圆的右顶点、上顶点分别为A、B，坐标原点到直线AB的距离为，且.（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的左焦点的直线交椭圆于M、N两点，且该椭圆上存在点P，使得四边形MONP（图形上字母按此顺序排列）恰好为平行四边形，求直线的方程.【答案】（1）；
17、（2）.【解析】【分析】（1）首先求直线方程，表示原点到直线的距离，再根据，联立解求椭圆方程；（2）直线，与椭圆方程联立，表示 ，再利用中点坐标公式表示点的坐标，根据点在椭圆上，代入椭圆方程求【详解】(1) 设直线AB的方程为，原点到AB的距离为，又，解得，故椭圆的方程为；（2）由（1）得椭圆的左焦点，易知直线的斜率不为0，可设直线，设，因为MOPN为平行四边形，得 ，联立，因为点P在椭圆上，有所以直线的方程为.【点睛】本题考查求椭圆方程和直线与椭圆相交的综合问题，意在考查转化与化归的思想和计算能力，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长
18、公式都是解题的基本工具.21已知函数.（1）求函数在点处的切线方程；（2）证明：.【答案】（1）（2）详见解析【解析】【分析】(1)对函数求导后由几何意义求出函数在点处的切线方程(2)由导数可知存在极小值点，即最小值，下证【详解】（1），又由题意得，所以，即切线方程为.（2）证明：由（1）知，易知在区间单调递增，且，所以，使得，即有唯一的根，记为，则，对两边取对数，得整理得，因为时，函数单调递减，时，函数单调递增，所以.当且仅当，即时，等号成立，因为，所以，即.【点睛】本题考查了运用几何意义求函数的切线方程，在求解不等式时要求出函数的最小值，由导数求得极值点，代入化简运用不等式求出结果，属于中
19、档题（二）选考题：共10分.请考生在22,23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22已知曲线C的极坐标方程是6sin，建立以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴的平面直角坐标系直线l的参数方程是，(t为参数)(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|AB|=，求直线的斜率k【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）运用xcos，ysin，即可将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）方法1:化直线的参数方程为普通方程，再由条件，即可得到直线方程，再求出圆心到直线的距离，结合|AB|=，利用勾股定理，即可求出直线的斜率；方法2:直接把
20、直线的参数方程代入圆，运用韦达定理，计算，结合|AB|=，即可得到斜率【详解】解：（1）由曲线的极坐标方程是，得直角坐标方程为，即 （2）把直线的参数方程（为参数），代入圆的方程得，化简得 设两点对应的参数分别是，则，故得， 得【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查直线与圆相交的弦长问题，运用点到直线的距离公式，结合弦长运用勾股定理即可求得斜率，考查运算能力，属于中档题23已知函数.（）若，求不等式的解集；（）若，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（）；（）【解析】【分析】（）分段去掉绝对值，求得不等式f（x）>7的解集（2）由题意可得的最小值为，只要，求得的范围【详解】（）依题意，；当时，原式化为，解得，故；当时，原式化为，解得，故，当时，原式化为，解得，故，综上所述，不等式的解集为.（）依题意，在和上是增函数，在上是减函数，的最小值是，要，使得能成立，只要，得，综上所述，实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的能成立问题，属于中档题
