1、精锐教育辅导讲义学员姓名： 学科教师：徐泽文年 级：初三 辅导科目：数学 授课日期主 题第11讲-期中备考学习目标1、回顾复习相似三角形章节知识及一般考点；2、回顾复习锐角三角比章节知识及考题；教学内容课前小练习1.已知线段，求作线段，使，以下做法正确的是（ ）ABCD【正确答案】C.【易错分析】对求作比例线段的方法掌握不熟练。2.比例尺为1500000的地图上，、两地的距离为30厘米，那么、两地的实际距离是（ ）5000米； 50千米； 150千米； 15千米【正确答案】C.【易错分析】比例尺的概念不熟悉；单位换算出错。3. 已知，若是的比例中项，则 【正确答案】。4.已知线段2cm，9cm
2、，那么线段和的比例中项为_ 【正确答案】5.已知线段，若线段是线段、的比例中项，则 【正确答案】12【易错分析】注意题目中描述的比例中项是哪一个；另外题目中若出现“线段”或“单位”时，值为正值；否则，取正、负两个值6.如图四，在中，36，平分交于点，平分交于点，则 （图四）EDABC【正确答案】.【易错分析】黄金分割的概念理解不清晰。7.中,直线交于,交于点,那么能推出的条件是 ( ) ； 【正确答案】A.【易错分析】三角形一边平行线的判定，必须由边上的比得平行8.已知：如图，在平行四边形ABCD中，E是边AB的中点，点F在边BC上，且CF=3BF，EF与BD相交于点G，求的值【正确答案】：【
3、易错分析】三角形一边平行线的应用不熟练，想不到添合适的辅助线。9.如图，中，平分，是边上的中线，、交于点，则长为_【正确答案】【易错分析】三角形的重心性质混淆。【知识梳理1】（相似三角形）1、相似形：把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者说是相似形。相似的图形,它们的大小不一定相同.大小相同的两个相似形,是全等形.如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。当两个相似的多边形是全等形时，它们的对应边的长度的比值都是1。2、合比性质：如果，那么，。等比性质：如果（），那么。3、黄金分割：若点C把线段AB分成两条线段AC、BC (ACBC)，若，我们称线段AB被点
4、C黄金分割，C点为该条线段的黄金分割点，较短线段与较长线段（或较长线段与原线段）的比叫做黄金比。 （叫做黄金分割数）注意:一般来说,一条线段的黄金分割点有两个4、三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例.三角形一边的平行线性质定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.5、三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍6、 三角形一边平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平 行于三角形的第
5、三边三角形一边的平行线判定定理推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边7、平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一直线上所截得的线段相等，那么在另一直线上所截得的线段也相等8、常见的图形9、如果一个三角形与另一个三角形的三个角对应相等、三边对应成比例的两个三角形，那么这两个三角形叫做相似三角形相似三角形具有传递性，如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似。相似三角形预备定理：平行于三角形一边的直线截其
6、他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。（平行即相似）10、相似三角形判定定理1：两角对应相等，两个三角形相似相似三角形判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似相似三角形判定定理3：三边对应成比例，两个三角形相似相似三角形判定定理4：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似11、相似三角形的性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.相似三角形的性质定理2：相似三角形周长比等于相似比相似三角形的性质定理3：相似三角形的面积比等于相似比的平方12、设是一个实数，是向量，那么与相乘所得的积是一个向量，记作如果0，且，那么的长度=；的方向：当时与
7、同方向； 当时与反方向； 当=0或=，那么=13、根据实数与向量相乘的意义，可知 与任意向量平行（方向是任意的，是一个向量）14、实数与向量相乘满足下列运算律：设、为实数，则（1）； （2）； （3）14、平行向量定理：如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数，使15、（1）长度为1的向量叫做单位向量；设为单位向量，则=1。单位向量有无数个，不同的单位向量，是指它们的方向不同 （2）在实数中，0和1是特殊的数；在向量中，和是特殊的向量16、（1）向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算； （2）一般来说，如果、是两个不平行的向量，是平面内的一个向量，那么可以用、表示
8、，并且通常将其表达式整理成的形式，其中、是实数； （3）两个向量相加减可以用平行四边形法和三角形法【例题精讲】例题1. 如图，在平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果，那么= 考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质。分析：由平行四边形的性质可证BEFDAF，再根据相似三角形的性质得BE：DA=BF：DF即可解解答：解：ABCD是平行四边形，BCAD，BC=AD，BEFDAF，BE：DA=BF：DF BC=AD，BF：DF=BE：BC=2：3点评：本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定定理和性质试一试：如图，在ABCD中，E为CD中点，AE与BD相交于点O，
9、SDOE=12cm2，则SAOB等于cm2 考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质。分析：根据相似三角形的性质，先证DOEBOA，求出相似比为，故面积比为，即可求SAOB=4SDOE解答：解：在ABCD中，E为CD中点，DEAB，DE=AB， DOE与BOA中，DOE=BOA，OBA=ODE，DOEBOA，相似比为=， 故面积比为，即SAOB=4SDOE=412=48cm2点评：本题考查的是平行四边形的性质及相似三角形的性质例题2. 在ABC中，B=25，AD是BC边上的高，并且AD2=BDDC，则BCA的度数为 考点：相似三角形的判定与性质。专题：分类讨论。分析：根据已知可得到BDA
10、ADC，注意C可以是锐角也可是钝角，故应该分情况进行分析，从而确定BCA度数解答：解：（1）当C为锐角时，由AD2=BDDC，AD是BC边上的高得，BDAADC，CAD=B=25， BCA=65；（2）当C为钝角时，同理可得，BDAADC BCA=25+90=115 点评：本题涉及相似三角形的性质以及分类讨论思想试一试. 如图，在RtABC中，ACB=90，CDAB于D，若AD=1，BD=4，则CD= 考点：相似三角形的判定与性质。分析：首先证ACDCBD，然后根据相似三角形的对应边成比例求出CD的长解答：解：RtACB中，ACB=90，CDAB；ACD=B=90A； 又ADC=CDB=90，
11、ACDCBD；CD2=ADBD=4，即CD=2点评：此题主要考查的是相似三角形的判定和性质例题3. 如图，在ABC中，M、N是AB、BC的中点，AN、CM交于点O，那么MON与AOC面积的比是 考点：相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理。分析：由于M、N是AB、BC的中点，那么MN是ABC的中位线，由中位线所得MN、AC的位置关系，可判定MNOCAO，根据中位线得到的数量关系，可得到两个相似三角形的相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比即可得解解答：解：M、N是AB、BC的中点，MNAC，且MN=AC；MONCOA， SMON：SCOA=MN2：AC2=1：4点评：此题主要考查的是相似三
12、角形的判定和性质以及三角形中位线定理的综合应用试一试如图，AD=DF=FB，DEFGBC，则S：S：S= 考点：相似三角形的判定与性质；平行线的性质。专题：计算题。分析：根据平行线的性质先证明ADEAFGABC，再根据已知及相似三角形的性质求出SADE：SAFG：SABC的值，从而得出S：S：S的值解答：解：DEFGBC，ADEAFGABC，AD=DF=FB，AD：AF：AB=1：2：3，SADE：SAFG：SABC=1：4：9，S：S：S=1：3：5点评：本题考查了平行线的性质及相似三角形的性质相似三角形的面积比等于相似比的平方例题4（选讲）：已知在矩形中，是边上的一动点，联结、，过点作射线
13、交线段的延长线于点，交边于点，且使得，如果，；来源:（1）求关于的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当时，求的正切值；ABCDPME （第25题）（3）如果是以为底角的等腰三角形，求的长；解：（1）在矩形ABCD中，ADBC，APB=CBPABE=CBP，APB=ABE A=A，ABPAMBAB=2，AP=x，PM=y， 所求函数的解析式为定义域为 （2）AP=4，MP=3AP=4，AD=5，PD=1 A=D，ABPDPC APB=DCP DPC+DCP=90，DPC+APB=90BPE=BPC=90 ADBC，即 解得 又AP=4，AB=2，另解：作MHBP，垂足为点H AP=4，MP=3
14、AP=4，AB=2， 由BPM的面积，可得，即 解得AM=1，AB=2， （3）（i）当EBC=ECB时，可得AMB=DPC，AMBDPC AM=DPx+x-y=5，即解得x=4或x=1（不符合题意，舍去）（ii）当EBC=BEC时，可得EC=BC=5，PE=PM=y 整理，得3x2-10x-4=0）解得或（不符合题意，舍去） ） 综上所述，AP的长为4或试一试：如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，对角线AB、BD交于点O，点E在AB延长线上，联结CE，AFCE，AF分别交线段CE、边BC、对角线BD于点F、G、G（点F不与点C、E重合）.(1) 当点F是线段CE的中点时，求GF的长；
15、(2) 设BE=，OH=，求关于的函数解析式，并写出它的定义域；(3) 当BHG是等腰三角形时，求BE的长. （1）矩形ABCD中， ,且点是线段的中点， （2） （3）当时，即，解得 当时，, 过点A作，垂足为。中，. （1） 将代入（1） 解得当时，点在垂直平分线上， 此时点与点重合，（舍） 综上所述的长是3或.【知识梳理2】（锐角三角比）如图，在RtABC中，C=90，A、B、C所对的边分别记为a、b、c（1）把锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作：tanAA的对边cACBB的邻边斜边ba（2）把锐角A的邻边与对边的比叫做A的余切，记作：cotA.（3）把锐角A的对边与斜边边的比叫做
16、A的正弦，记作：sinA（4）把锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作：cosA一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比。2.一般地，在RtABC中, 当C=90时，sinA=cosB， cosA=sinB， tanA =cotB tanAtanB=1 0sina1，0cosa1.AtanAcotAsinAcosA304560RtABC中，C=90，a、b、c、A、B这五个元素之间关系直角三角形的边与角之间的关系：(1)两锐角互余：AB90；(2)三边满足勾股定理：；(3)边与角关系：，。小结：如果知道五个元素中的两个，一条边和一个锐角或者两条边，就可以求出其他元素【例题精讲】
17、例1：通过学习三角的三角比，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。类似地，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系。我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）.如图在ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的。根据上述角的正对定义，解下列问题：（1）sad60= 。（2）对于0A180，A的正对值的取值范围是 。（3）如图，已知，其中A为锐角，试求的值。AABCCB图图解：（1）1（2）0PN），若MP=2，PN=_12如图4，若,则当的值为_
18、时，有.13两个相似三角形的相似比为2:3，则其对应的周长比为_.A BC DO(图4)14已知直角三角形的斜边为6，那么该直角三角形的重心到直角顶点的距离为_15已知向量、满足关系式，那么用向量、的线性组合表示向量_（图5）ADCBFGE16如图5，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若，则GF的长为 34CEABD（图6）17直角三角形纸片的两直角边长分别为3和4，现将如图6那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是_18己知菱形ABCD的边长是3，点E在直线AD上，DE1，联结BE与对角线AC相交于点M，则 的值是 三、解答题（本大题共7题，满分58分）【
19、请将解题过程写在答题纸的相应位置】19（本题满分7分）计算：20（本题满分7分）如果，其中向量是非零向量，那么与是平行向量吗？请说明理由123BCDEFA21（本题满分7分）如图7，在中，求证：.（图7）22（本题满分7分）（图8）如图8，ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DEF的面积为1，求ABCD的面积23（本题满分9分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分）GCDEABF（图9）如图9，梯形中，点是边的中点，联结交于点，的延长线交的延长线于点（1）求证：；（2）若，求线段的长24（本题满分9分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分）ABCDEFG(图10
20、 ) 如图10，在等边中，点为上一点，联结，直线与线段、分别相交于点、，且.（1）请直接写出图10中所有与相似的三角形（不用证明）；（2）若,试求的值25（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分4分）CA M N BQP（图11）已知：中 ，,四边形的边在边上，顶点、分别在边、上，于,，如图11设，四边形的面积记为（1）当时，求的长；（2）求关于的函数关系式，并写出的取值范围；（3）能与相似吗？若能，请求出的值；若不能，请说明理由参考答案：一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分）1A ； 2C ； 3B ； 4B ； 5D ； 6C .二、填空题
21、：（本大题共12题，每题2分，满分24分）7 ； 8 ； 9 ； 10 12 ； 11 ；122 ； 132：3 ；142 ； 15 ； 166 ； 17； 18或 三、解答题（本大题共7题，满分58分）19（本题满分7分）解：原式（4分） （2分） （1分）20（本题满分7分）解：/（1分）由，得：，（3分），（3分）根据实数与向量相乘的意义，可知：/ 说明：其他解法请参照评分21（本题满分7分） 证明：是的一个外角，（2分）,（2分）同理，可得：,（2分）.（1分）22（本题满分7分）解：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABCD，DEFCEB，DEFABF，（2分）又,，,（2分）,
22、（2分）,.（1分）23（本题满分9分）（1）证明：， ，（ 2分） 又，即 （2分）（2）解：， 由（1）知，（1分） 设，则，则有，（2分）即，解得：，（1分）经检验，都是原方程的根，但不合题意，舍去故的长为2（1分）24（本题满分9分）解：（1）（4分）(2)由（1）知：，（2分）, ，（1分）又是等边三角形，,，（1分）（1分）25（本题满分12分）解：（1），（1分）又，,，（1分）.（1分）（2）由（1）知：，又，（2分）又,（3分）（3）能当时，有,此时，可得：，（1分）当时，有,此时，可得：，（2分）所以，当或1时，能与相似（1分）回顾相似三角形知识。已知，如图，小明同学身高1.5米，经太阳光照射，在地面的影长2米，若此时测得一塔在同一地面的影长为60米，则塔高应为多少米？1.5m2mBEDFCA60m参考答案：45米教学说明：由前面的问题中，知道，将比例式中同一三角形的边放在一边有；引出下面的问题。在直角三角形中，我们至少知道哪些元素就可以求出其余元素？参考答案：知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素备注：老师可以引导学生回顾直角三角形全等判定条件来寻找答案。解直角三角形无非以下两种情况：(1)已知两条边，求其它边和角.(2)已知一条边和一个锐角，求其它边角 27 / 27
