1、2019-2020学年辽宁师大附中高二（上）第二次模块数学试卷（12月份）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，选出一个选项1（5分）过点A（2，3）且垂直于直线2x+y50的直线方程为（）Ax2y+40B2x+y70Cx2y+30Dx2y+502（5分）直线l：ax+y2a0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是（）A1B1C2或1D2或13（5分）点P是圆（x+1）2+（y2）22上任一点，则点P到直线xy10距离的最大值为（）ABCD4（5分）已知双曲线的渐近线为，则该双曲线的离心率为（）ABCD5（5分）点P（4，2）与圆x2+y24上任一点连线的中
2、点轨迹方程是（）A（x2）2+（y+1）21B（x2）2+（y+1）24C（x+4）2+（y2）21D（x+2）2+（y1）216（5分）若直线2axby+20（a0，b0）被圆x2+y2+2x4y+10截得的弦长为4，则a2+b2的最小值为（）ABCD27（5分）设椭圆C：y2+1（0m1）的两焦点分别为F1，F2，若在椭圆C上存在点P使得PF1PF2，则m的取值范围是（）A，1）B（0，C，1）D（0，8（5分）已知过双曲线C：1（a0，b0）的焦点的直线l与C交于A，B两点，且使|AB|4a的直线l恰好有3条，则双曲线C的渐近线方程为（）AyxByxCy2xDyx9（5分）已知直线l1：
3、4x3y+60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）AB2CD310（5分）已知椭圆C：+1（ab0）的左、右焦点分别为F1（c，0）、F2（c，0），P是椭圆C上一点，且|PF2|F1F2|，直线PF1与圆x2+y2相切，则椭圆的离心率为（）ABCD11（5分）过抛物线y24x的焦点的直线与抛物线交于A，B两个不同的点，当|AB|6时，OAB（O为坐标原点）的面积是（）ABCD12（5分）已知椭圆的方程为+y21（a1），上顶点为A，左顶点为B，设P为椭圆上一点，则PAB面积的最大值为+1若已知M（，0），N（，0），点Q为椭圆上任意一点，则+
4、的最小值为（）A2BC3D3+2二、填空题：本题包括4小题，共20分13（5分）已知椭圆：的焦距为4，则m为 14（5分）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mxy2m10（mR）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 15（5分）已知椭圆的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆于A、B两点若线段AB的中点坐标为（1，1），则椭圆的方程为 16（5分）抛物线y22px（p0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足AFB90，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为 三、解答题：本题包括4小题，共40分17（8分）已知M（m，n）为圆C：
5、x2+y24x14y+450上任意一点（1）求2m+n的最大值；（2）求（m+2）2+（n3）2的最小值；（3）求的最大值和最小值18（10分）已知曲线C的方程是mx2+ny21（m0，n0），且曲线C过A（，），B（，）两点，O为坐标原点（）求曲线C的方程；（）设M（x1，y1），N（x2，y2），向量（x1，y1），（x2，y2），且0，若直线MN过点（0，），求直线MN的斜率19（10分）已知双曲线：的离心率e，双曲线上任意一点到其右焦点的最小距离为1（）求双曲线的方程；（）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的
6、方程；若不存在，说明理由20（12分）已知抛物线C：y22px（p0）过点M（m，2），其焦点为F，且|MF|2（）求抛物线C的方程；（）设E为y轴上异于原点的任意一点，过点E作不经过原点的两条直线分别与抛物线C和圆F：（x1）2+y21相切，切点分别为A，B，求证：A、B、F三点共线2019-2020学年辽宁师大附中高二（上）第二次模块数学试卷（12月份）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，选出一个选项1（5分）过点A（2，3）且垂直于直线2x+y50的直线方程为（）Ax2y+40B2x+y70Cx2y+30Dx2y+50【分析】过点
7、A（2，3）且垂直于直线2x+y50的直线的斜率为 ，由点斜式求得直线的方程，并化为一般式【解答】解：过点A（2，3）且垂直于直线2x+y50的直线的斜率为 ，由点斜式求得直线的方程为 y3（x2），化简可得 x2y+40，故选：A【点评】本题主要考查两直线垂直的性质，用点斜式求直线方程，属于基础题2（5分）直线l：ax+y2a0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是（）A1B1C2或1D2或1【分析】先求出直线在两个坐标轴上的截距，由在两个坐标轴上的截距相等解方程求得a的值【解答】解：由直线的方程：ax+y2a0得，此直线在x轴和y轴上的截距分别为 和2+a，由 2+a，得a1 或 a2，故选
8、：D【点评】本题考查直线在两坐标轴上的截距的定义，待定系数法求参数的值3（5分）点P是圆（x+1）2+（y2）22上任一点，则点P到直线xy10距离的最大值为（）ABCD【分析】求出圆（x+1）2+（y2）22的圆心和半径r，再求出圆心（1，2）到直线xy10距离d，由此能求出点P到直线xy10距离的最大值【解答】解：圆（x+1）2+（y2）22的圆心（1，2），半径r，圆心（1，2）到直线xy10距离d2，点P是圆（x+1）2+（y2）22上任一点，点P到直线xy10距离的最大值为：3故选：C【点评】本题考查点到直线的距离的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质和点到直线的距
9、离公式的合理运用4（5分）已知双曲线的渐近线为，则该双曲线的离心率为（）ABCD【分析】求出双曲线的渐近线方程，由题意可得a4，b3，求得c，运用离心率公式即可得到所求值【解答】解：双曲线的渐近线方程为yx，由渐近线为，可得a4，又b3，可得c5，检验离心率e故选：C【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的方程和渐近线方程的关系，以及双曲线的基本量的关系，考查运算能力，属于基础题5（5分）点P（4，2）与圆x2+y24上任一点连线的中点轨迹方程是（）A（x2）2+（y+1）21B（x2）2+（y+1）24C（x+4）2+（y2）21D（x+2）2+（y1）21【分析】设圆上任意一
10、点为（x1，y1），中点为（x，y），则，由此能够轨迹方程【解答】解：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则代入x2+y24得（2x4）2+（2y+2）24，化简得（x2）2+（y+1）21故选：A【点评】本题考查点的轨迹方程，解题时要仔细审题，注意公式的灵活运用6（5分）若直线2axby+20（a0，b0）被圆x2+y2+2x4y+10截得的弦长为4，则a2+b2的最小值为（）ABCD2【分析】由圆的性质及点到直线的距离公式得到a+b1由此利用均值定理能求出当且仅当ab时，a2+b2取最小值【解答】解：圆x2+y2+2x4y+10的圆心（1，2），半径r2，直线2axby+20
11、（a0，b0）被圆x2+y2+2x4y+10截得的弦长为4，圆心（1，2）到直线2axby+20（a0，b0）的距离：d0，a+b1，a2+b212ab，a0，b0，a2+b212ab11当且仅当ab时，a2+b2取最小值故选：B【点评】本题考查代数式的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质及点到直线的距离公式、均值定理的合理运用7（5分）设椭圆C：y2+1（0m1）的两焦点分别为F1，F2，若在椭圆C上存在点P使得PF1PF2，则m的取值范围是（）A，1）B（0，C，1）D（0，【分析】求得椭圆的a，b，c，在椭圆C上存在点P使得PF1PF2，等价为以F1F2为直径的圆与椭圆
12、有交点，即有cb，解不等式即可得到所求范围【解答】解：椭圆C：y2+1（0m1）的a1，bm，c，在椭圆C上存在点P使得PF1PF2，等价为以F1F2为直径的圆与椭圆有交点，即有cb，即m，即为2m21，解得0m故选：B【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查圆与椭圆的位置关系，考查转化思想和运算能力，属于中档题8（5分）已知过双曲线C：1（a0，b0）的焦点的直线l与C交于A，B两点，且使|AB|4a的直线l恰好有3条，则双曲线C的渐近线方程为（）AyxByxCy2xDyx【分析】由|AB|4a的直线l恰好有3条，由双曲线的对称性可得，必有一条与x轴垂直，另两条关于x轴对称，令xc，代入双
13、曲线方程，计算即可得到弦长，由渐近线方程即可得到所求【解答】解：由|AB|4a的直线l恰好有3条，由双曲线的对称性可得，必有一条与x轴垂直，另两条关于x轴对称，令xc，代入双曲线C：1（a0，b0），可得yb，即有此时|AB|4a，即为ba，即有双曲线的渐近线方程为yx，即为yx故选：A【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用双曲线的对称性，考查运算能力，属于中档题9（5分）已知直线l1：4x3y+60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）AB2CD3【分析】设出抛物线上一点P的坐标，然后利用点到直线的距离公式分别求出P到直线l1和直线
14、l2的距离d1和d2，求出d1+d2，利用二次函数求最值的方法即可求出距离之和的最小值【解答】解：设抛物线上的一点P的坐标为（a2，2a），则P到直线l2：x1的距离d2a2+1；P到直线l1：4x3y+60的距离d1则d1+d2a2+1当a时，P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2故选：B【点评】此题考查学生灵活运用抛物线的简单性质解决实际问题，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题10（5分）已知椭圆C：+1（ab0）的左、右焦点分别为F1（c，0）、F2（c，0），P是椭圆C上一点，且|PF2|F1F2|，直线PF1与圆x2+y2相切，则椭圆的离心率为（）ABCD【分析】
15、由题意作椭圆的图象，从而结合图象可知|OS|，|F2T|c，|PF1|+|PF2|2c+2c2a，从而求离心率【解答】解：由题意作椭圆的图象如下，直线PF1与圆x2+y2相切，|OS|，|F2T|c，|F1T|c，|PF1|+|PF2|2c+2c2a，即e，故选：B【点评】本题考查了椭圆的方程与数形结合的思想方法的应用及转化思想的应用11（5分）过抛物线y24x的焦点的直线与抛物线交于A，B两个不同的点，当|AB|6时，OAB（O为坐标原点）的面积是（）ABCD【分析】先设A（x1，y1），B（x2，y2），并将直线设为xmy+1，代入抛物线y24x，运用抛物线定义和韦达定理计算x1+x2和y
16、1y2的值，再由OAB（O为坐标原点）的面积S|OF|y1y2|得到答案【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），抛物线y24x焦点F坐标为（1，0），准线方程为x1依据抛物线定义，|AB|x1+x2+26，x1+x24，设直线方程为xmy+1代入y24x，得y24my40y1y24y12+y22（y1y2）2+2y1y2（y1y2）284（x1+x2）16，y1y22，OAB（O为坐标原点）的面积S|OF|y1y2|，故选：B【点评】本题考查了抛物线的定义和直线与抛物线的关系，解题时要认真体会抛物线定义和韦达定理在解题中的重要应用12（5分）已知椭圆的方程为+y21（a1），上顶点为
17、A，左顶点为B，设P为椭圆上一点，则PAB面积的最大值为+1若已知M（，0），N（，0），点Q为椭圆上任意一点，则+的最小值为（）A2BC3D3+2【分析】利用直线与椭圆相切的性质，可得b，再利用点到直线的距离公式、三角形面积计算公式可得a，再利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：依题意，kAB，设切线为，化为2x2+2abx+a2b2a20，0，4a2b28（a2b2a2）0，解得b22b，yx+1，yx，d，|AB|，Sd|AB|+1，a2，|QM|+|QN|2a4（）（|QM|+|QN|）1+，根据基本不等式，原式1+，当且仅当|QM|2|QN|取等故选：B【点评】本题考查了椭圆的标准
18、方程及其性质、直线与椭圆相切的充要条件、点到直线的距离公式、不等式的解法、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题二、填空题：本题包括4小题，共20分13（5分）已知椭圆：的焦距为4，则m为4或8【分析】分焦点在x，y轴上讨论，结合焦距为4，可求m的值【解答】解：由题意，焦点在x轴上，10mm+24，所以m4；焦点在y轴上，m210+m4，所以m8，综上，m4或8故答案为：m4或8【点评】本题考查椭圆的性质，考查学生对椭圆方程的理解，属于基础题14（5分）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mxy2m10（mR）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（x1）2
19、+y22【分析】求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程【解答】解：圆心到直线的距离d，m1时，圆的半径最大为，所求圆的标准方程为（x1）2+y22故答案为：（x1）2+y22【点评】本题考查所圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础15（5分）已知椭圆的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆于A、B两点若线段AB的中点坐标为（1，1），则椭圆的方程为【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆的方程，两式相减，根据线段AB的中点坐标为（1，1），求出斜率，进而可得a，b的关系，根据右焦点为F（3，0），求出a，b的值，即可得出椭圆的方程【
20、解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则，两式相减可得，线段AB的中点坐标为（1，1），直线的斜率为，右焦点为F（3，0），a2b29，a218，b29，椭圆方程为：故答案为：【点评】本题考查椭圆的方程，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题16（5分）抛物线y22px（p0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足AFB90，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为【分析】设|AF|a，|BF|b，连接AF、BF由抛物线定义得2|a+b，由余弦定理可得|2（a+b）23ab，进而根据基本不等式，求得|的取值范围，从而得到本题答案【解答】解
21、：设|AF|a，|BF|b，由抛物线定义，得|AF|AQ|，|BF|BP|在梯形ABPQ中，2|AQ|+|BP|a+b由余弦定理得，|2a2+b22abcos90a2+b2，配方得，|2（a+b）22ab，又ab（） 2，（a+b）22ab（a+b）2（a+b）2（a+b）2得到|（a+b），即的最大值为故答案为：【点评】本题在抛物线中，利用定义和余弦定理求的最大值，着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题三、解答题：本题包括4小题，共40分17（8分）已知M（m，n）为圆C：x2+y24x14y+450上任意一点（1）求2m+n的最大值；（2）求
22、（m+2）2+（n3）2的最小值；（3）求的最大值和最小值【分析】（1）求出圆心C（2，7），半径r，设m+2nt，将m+2nt看成直线方程，该直线与圆有公共点，利用圆心到直线的距离公式可求，（2）（m+2）2+（n3）2的几何意义是圆上点与E（2，3）的距离的平方，然后求出圆心C（2，7）到E（2，3）的距离为d，最小为dr，可求，（3）记点Q（2，3），因为的表示直线MQ的斜率k，根据几何意义即可求解【解答】解：（1）因为x2+y24x14y+450的圆心C（2，7），半径r2，设m+2nt，将m+2nt看成直线方程，因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离d，解上式得，162t16+
23、2，所以所求的最大值为16+2，（2）（m+2）2+（n3）2的几何意义是圆上点与E（2，3）的距离的平方，因为圆心C（2，7）到E（2，3）的距离为d4，最大为d+r6，最小为dr2，（m+2）2+（n3）2的最小值8，（3）记点Q（2，3），因为的表示直线MQ的斜率k，所以直线MQ的方程为y3k（x+2），即kxy+2k+30由直线MQ与圆C有公共点，得，可得2k2+，最大值为2+最小值为2，【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式，考查计算能力18（10分）已知曲线C的方程是mx2+ny21（m0，n0），且曲线C过A（，），B（，）两点，O为坐标原点（）求曲线C的方
24、程；（）设M（x1，y1），N（x2，y2），向量（x1，y1），（x2，y2），且0，若直线MN过点（0，），求直线MN的斜率【分析】（）将A，B代入曲线C的方程，解方程组，可得m4，n1，即可得到所求曲线的方程；（）设直线MN的方程为，代入椭圆方程为y2+4x21，运用韦达定理，由向量的数量积的坐标表示，化简整理，解方程可得所求直线的斜率【解答】解：（）将A，B代入曲线C的方程，可得：，解得m4，n1所以曲线C方程为y2+4x21；（）设直线MN的方程为，代入椭圆方程为y2+4x21得，（2x1，y1）（2x2，y2）4x1x2+y1y20，由y1y2（kx1+）（kx2+）k2x1x2+
25、k（x1+x2），即【点评】本题考查曲线的方程的求法，注意运用待定系数法，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和向量垂直的条件：数量积为0，考查化简整理的运算能力，属于中档题19（10分）已知双曲线：的离心率e，双曲线上任意一点到其右焦点的最小距离为1（）求双曲线的方程；（）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由【分析】（）运用离心率公式和当P为右顶点时，可得PF取得最小值，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程；（）过点P（1，1）假设存在直线l，使直线l与双曲线交于R、T两点，且点P是线
26、段RT的中点设R（x1，y1），T（x2，y2），代入双曲线的方程两式相减，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，由点斜式方程可得直线l的方程，代入双曲线的方程，运用判别式检验即可判断存在性【解答】解：（）由题意可得e，当P为右顶点时，可得PF取得最小值，即有ca1，解得a1，c，b，可得双曲线的方程为x21；（）过点P（1，1）假设存在直线l，使直线l与双曲线交于R、T两点，且点P是线段RT的中点设R（x1，y1），T（x2，y2），可得x121，x221，两式相减可得（x1x2）（x1+x2）（y1y2）（y1+y2），由中点坐标公式可得x1+x22，y1+y22，可得直线l的斜率为k2，即有
27、直线l的方程为y12（x1），即为y2x1，代入双曲线的方程，可得2x24x+30，由判别式为1642380，可得二次方程无实数解故这样的直线l不存在【点评】本题考查双曲线的方程的求法，注意运用离心率公式和双曲线的性质，考查直线的存在性问题的解法，注意运用点差法和中点坐标公式、直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题20（12分）已知抛物线C：y22px（p0）过点M（m，2），其焦点为F，且|MF|2（）求抛物线C的方程；（）设E为y轴上异于原点的任意一点，过点E作不经过原点的两条直线分别与抛物线C和圆F：（x1）2+y21相切，切点分别为A，B，求证：A、B、F三点共线【分析】（
28、）利用抛物线的定义，结合抛物线C：y22px（p0）过点M（m，2），且|MF|2，求出p，即可求抛物线C的方程；（）设EA：ykx+t联立，消去y，可得k2x2+（2kt4）x+t20，利用直线EA与抛物线C相切，得到kt1代入，求出A的坐标；由几何性质可以判断点O，B关于直线EF：ytx+t对称，求出B的坐标，证明kAFkBF，即A，B，F三点共线；当t1时，A（1，2），B（1，1），此时A，B，F共线【解答】（I）解：抛物线C的准线方程为：，又抛物线C：y22px（p0）过点M（m，2），42pm，即（2分）p24p+40，p2，抛物线C的方程为y24x（4分）（II）证明；设E（0，t）（t0），已知切线不为y轴，设EA：ykx+t联立，消去y，可得k2x2+（2kt4）x+t20直线EA与抛物线C相切，（2kt4）24k2t20，即kt1代入，xt2，即A（t2，2t），（6分）设切点B（x0，y0），则由几何性质可以判断点O，B关于直线EF：ytx+t对称，则，解得：，即（8分）直线AF的斜率为，直线BF的斜率为，kAFkBF，即A，B，F三点共线（10分）当t1时，A（1，2），B（1，1），此时A，B，F共线综上：A，B，F三点共线（12分）【点评】本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查直线斜率的计算，考查学生分析解决问题的能力，计算量大
