1、2017-2018学年山东师大附中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设，则（）ABCD2（5分）已知集合Ax|x2+x20，xz，Bx|x2k，kz，则AB等于（）A0，1B4，2C1，0D2，03（5分）已知函数f（x）3x（）x，则f（x）（）A是奇函数，且在R上是增函数B是偶函数，且在R上是增函数C是奇函数，且在R上是减函数D是偶函数，且在R上是减函数4（5分）设x，y满足约束条件，则目标函数z2x+y的最小值是（）A15B9C1D95（5分）函数f（x）的最小正周期为（）ABCD2
2、6（5分）设R，则“|”是“sin”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7（5分）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）ABCD8（5分）（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（）A15B20C30D359（5分）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（）A5B4C3D210（5分）记Sn为等差数列an的前n项和若a4+a524，S648，则an的公差为（）A1B2C4D811（5分）已知双曲线C：1（a0，b0）的离心率为，则点
3、（4，0）到C的渐近线的距离为（）AB2CD212（5分）已知F是抛物线C：y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N若M为FN的中点，则|FN|（）A4B6C8D10二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）函数的最大值为 14（5分）设等比数列an满足a1+a21，a1a33，则前4项的和S4 15（5分）已知函数f（x）x2+2cosx，曲线yf（x）在点（，f（）处的切线方程为 16（5分）正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，若与对角线A1C垂直的平面截正方体得到的截面是六边形，则这个六边形的周长为 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或
4、演算步骤，第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必做题60分17（12分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinC+csinB4asinBsinC，b2+c2a28，求ABC的面积18（12分）如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAPCDP90（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若PAPDABDC，APD90，求二面角APBC的余弦值19（12分）已知椭圆1（ab0）的短轴长为，离心率为，点A（3，0），P是C上的动点，F为C的左焦点（）求椭圆C的方程；（）若点P在y轴的右侧，以AP为底边的等腰ABP的顶点B
5、在y轴上，求四边形FPAB面积的最小值20（12分）近年电子商务蓬勃发展，平台对每次成功交易都有针对商品和快递是否满意的评价系统从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0.70，对快递的满意率为0.60，商品和快递都满意的交易为80（）根据已知条件完成下面的22列联表，并回答能否有99%认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”？对快递满意对快递不满意合计对商品满意80 对商品不满意 合计 200（）若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3次购物中，设对商品和快递都满意的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望EX附：，P（2k）0.0500.01
6、00.001k3.8416.63510.82821（12分）设函数f（x），g（x）ax（）求函数yf（x）的单调区间和极值；（）当x（0，+），f（x）g（x）恒成立，求实数a的范围选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程（10分）22（10分）在直角坐标系中xOy中，曲线C的参数方程为为参数，a0）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为（1）设P是曲线C上的一个动点，当a2时，求点P到直线l的距离的最大值；（2）若曲线C上所有的点均在直线l的右下方，求a的取值范围选修4-5：不等式
7、选讲（10分）23已知函数f（x）|2x+2|2x2|，xR（1）求不等式f（x）3的解集；（2）若方程有三个实数根，求实数a的取值范围2017-2018学年山东师大附中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设，则（）ABCD【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义【解答】解：i，则+i，故选：D【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2（5分）已知集合Ax|x2+x20，xz，Bx|x2k，kz，则AB等于（）A0，1B4，2
8、C1，0D2，0【分析】运用二次不等式的解法，化简集合A，再由交集的定义，即可得到所求集合【解答】解：集合Ax|x2+x20，xZx|2x1，xZ2，1，0，1，Bx|x2k，kZ，则AB2，0故选：D【点评】本题考查集合的交集的求法，注意运用二次不等式的解法和定义法解题，考查运算能力，属于基础题3（5分）已知函数f（x）3x（）x，则f（x）（）A是奇函数，且在R上是增函数B是偶函数，且在R上是增函数C是奇函数，且在R上是减函数D是偶函数，且在R上是减函数【分析】由已知得f（x）f（x），即函数f（x）为奇函数，由函数y3x为增函数，y（）x为减函数，结合“增”“减”“增”可得答案【解答】解
9、：f（x）3x（）x3x3x，f（x）3x3xf（x），即函数f（x）为奇函数，又由函数y3x为增函数，y（）x为减函数，故函数f（x）3x（）x为增函数，故选：A【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题4（5分）设x，y满足约束条件，则目标函数z2x+y的最小值是（）A15B9C1D9【分析】先根据条件画出可行域，设z2x+y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距，只需求出直线z2x+y，过可行域内的点A（2，1）时的最小值，从而得到z最小值即可【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图：在坐标系中画出可行域ABC，A
10、（6，3），B（0，1），C（6，3），由图可知，当x6，y3时，则目标函数z2x+y的最小，最小值为15故选：A【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定5（5分）函数f（x）的最小正周期为（）ABCD2【分析】利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论【解答】解：函数f（x）sin2x的最小正周期为，故选：C【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题6（5分）设R，则“|”是“sin”的（）A充分而不必要条件B
11、必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】运用绝对值不等式的解法和正弦函数的图象和性质，化简两已知不等式，结合充分必要条件的定义，即可得到结论【解答】解：|0，sin+2k+2k，kZ，则（0，）（+2k，+2k），kZ，可得“|”是“sin”的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查充分必要条件的判断，同时考查正弦函数的图象和性质，运用定义法和正确解不等式是解题的关键，属于基础题7（5分）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）ABCD【分析】先求出基本事件总数n5525，再用列举法求出抽
12、得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件个数，由此能求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率【解答】解：从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数n5525，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共有m10个基本事件，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p故选：D【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用8（5分）（1+）（1+x）6展开
13、式中x2的系数为（）A15B20C30D35【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可【解答】解：（1+）（1+x）6展开式中：若（1+）（1+x2）提供常数项1，则（1+x）6提供含有x2的项，可得展开式中x2的系数：若（1+）提供x2项，则（1+x）6提供含有x4的项，可得展开式中x2的系数：由（1+x）6通项公式可得可知r2时，可得展开式中x2的系数为可知r4时，可得展开式中x2的系数为（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为：15+1530故选：C【点评】本题主要考查二项式定理的知识点，通项公式的灵活运用属于基础题9（5分）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N
14、的最小值为（）A5B4C3D2【分析】通过模拟程序，可得到S的取值情况，进而可得结论【解答】解：由题可知初始值t1，M100，S0，要使输出S的值小于91，应满足“tN”，则进入循环体，从而S100，M10，t2，要使输出S的值小于91，应接着满足“tN”，则进入循环体，从而S90，M1，t3，要使输出S的值小于91，应不满足“tN”，跳出循环体，此时N的最小值为2，故选：D【点评】本题考查程序框图，判断出什么时候跳出循环体是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题10（5分）记Sn为等差数列an的前n项和若a4+a524，S648，则an的公差为（）A1B2C4D8【分析】利用等差数列
15、通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出an的公差【解答】解：Sn为等差数列an的前n项和，a4+a524，S648，解得a12，d4，an的公差为4故选：C【点评】本题考查等差数列公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用11（5分）已知双曲线C：1（a0，b0）的离心率为，则点（4，0）到C的渐近线的距离为（）AB2CD2【分析】利用双曲线的离心率求出a，b的关系，求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离求解即可【解答】解：双曲线C：1（a0，b0）的离心率为，可得，即：，解得ab，双曲线C：1（ab0）的渐近线方程为：yx，点（4，0
16、）到C的渐近线的距离为：2故选：D【点评】本题看出双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力12（5分）已知F是抛物线C：y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N若M为FN的中点，则|FN|（）A4B6C8D10【分析】求出抛物线的焦点坐标，推出M坐标，然后求解即可【解答】解：抛物线C：y28x的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N若M为FN的中点，可知M的横坐标为：1，则M的纵坐标为：2 ，|FN|2|FM|26故选：B【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）函数的最大值为【分析】利
17、用诱导公式化简变形，则函数的最大值可求【解答】解：+cos（）+sin（x+）函数的最大值为故答案为：【点评】本题考查诱导公式的应用，考查yAsin（x+）型函数的图象和性质，是基础题14（5分）设等比数列an满足a1+a21，a1a33，则前4项的和S45【分析】根据an是等比数列，a1+a21，a1a33，求解通项an，即可求解前4项和S4【解答】解：根据an是等比数列，a1+a21，a1a33，即解得：，通项an（2）n1前4项的和S4a1+a2+a3+a412+485故答案为：5【点评】本题主要考查等比数列的应用，根据等比数列建立条件关系求出公比是解决本题的关键15（5分）已知函数f（
18、x）x2+2cosx，曲线yf（x）在点（，f（）处的切线方程为y2x22【分析】求出f（x）的导数，可得曲线在x处的导数，即为曲线的切线的斜率，求得切点，由斜截式方程即可得到所求切线的方程【解答】解：函数f（x）x2+2cosx的导数为f（x）2x2sinx，可得曲线yf（x）在点（，f（）处的切线斜率为k22sin2，切点为（，22），即有曲线yf（x）在点（，f（）处的切线方程为y2x22，故答案为：y2x22【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用斜截式方程是解题的关键，属于基础题16（5分）正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，若与对角线A1C
19、垂直的平面截正方体得到的截面是六边形，则这个六边形的周长为3【分析】根据题意画出图形，结合图形得出与对角线A1C垂直的平面截正方体所得六边形的周长【解答】解：如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，连接BD、BC1、DC1，则A1C平面BDC1；又A1C平面，且平面截正方体得到的截面是六边形，不妨取AB、BB1、B1C1、C1D1、D1D和DA的中点E、F、G、H、I、J，连接E、F、G、H、IJ，得六边形EFGHIJ，且A1C平面EFGHIJ，则六边形EFGHIJ的周长为63故答案为：【点评】本题考查了正方体的对角线与垂直关系的应用问题，是中档题三、解答题（共70分，解答应写出文
20、字说明、证明过程或演算步骤，第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必做题60分17（12分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinC+csinB4asinBsinC，b2+c2a28，求ABC的面积【分析】由正弦和余弦定理，求得bc的值，再计算ABC的面积【解答】解：ABC中，bsinC+csinB4asinBsinC，由正弦定理得，sinBsinC+sinCsinB4sinAsinBsinC，sinA；又b2+c2a28，由余弦定理得，cosA，bc，ABC的面积为SbcsinA【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用
21、问题，也考查了三角形面积公式的应用问题，是基础题18（12分）如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAPCDP90（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若PAPDABDC，APD90，求二面角APBC的余弦值【分析】（1）由已知可得PAAB，PDCD，再由ABCD，得ABPD，利用线面垂直的判定可得AB平面PAD，进一步得到平面PAB平面PAD；（2）由已知可得四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB平面PAD，得到ABAD，则四边形ABCD为矩形，设PAAB2a，则AD取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐
22、标系，求出平面PBC的一个法向量，再证明PD平面PAB，得为平面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角APBC的余弦值【解答】（1）证明：BAPCDP90，PAAB，PDCD，ABCD，ABPD，又PAPDP，且PA平面PAD，PD平面PAD，AB平面PAD，又AB平面PAB，平面PAB平面PAD；（2）解：ABCD，ABCD，四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB平面PAD，ABAD，则四边形ABCD为矩形，在APD中，由PAPD，APD90，可得PAD为等腰直角三角形，设PAAB2a，则AD取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP
23、所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则：D（），B（），P（0，0，），C（），设平面PBC的一个法向量为，由，得，取y1，得AB平面PAD，AD平面PAD，ABPD，又PDPA，PAABA，PD平面PAB，则为平面PAB的一个法向量，cos由图可知，二面角APBC为钝角，二面角APBC的余弦值为【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题19（12分）已知椭圆1（ab0）的短轴长为，离心率为，点A（3，0），P是C上的动点，F为C的左焦点（）求椭圆C的方程；（）若点P在y轴的右侧，以AP为底边的等腰ABP的顶点B在y轴上
24、，求四边形FPAB面积的最小值【分析】（）运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（）设，设线段AP中点为M，求得M的坐标，以及AP的垂直平分线方程，和B的坐标，运用四边形的面积公式和基本不等式，可得最小值【解答】解：（）依题意得，解得，椭圆C的方程是；（）设，设线段AP中点为M，A（3，0），AP中点，直线AP斜率为，由ABP是以AP为底边的等腰三角形，可得BMAP，直线AP的垂直平分线方程为y（x），令x0得，由F（2，0），四边形FPAB面积，当且仅当即时等号成立，四边形FPAB面积的最小值为【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式，考查四边形面积
25、的最值求法，注意运用等腰三角形的性质和点满足椭圆，考查化简整理的运算能力，属于中档题20（12分）近年电子商务蓬勃发展，平台对每次成功交易都有针对商品和快递是否满意的评价系统从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0.70，对快递的满意率为0.60，商品和快递都满意的交易为80（）根据已知条件完成下面的22列联表，并回答能否有99%认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”？对快递满意对快递不满意合计对商品满意8060140对商品不满意402060合计12080200（）若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3次购物中，设对商品和快递都满意的次数为
26、随机变量X，求X的分布列和数学期望EX附：，P（2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【分析】（1）由题意得n200，再由满意率可求得a，b，c，d填入22列联表，算卡方与数据6.635对比能求出结果（2）由二项分布能写出布列及期望【解答】解：（1）22列联表：对快递满意对快递不满意合计对商品满意8060140对商品不满意402060合计12080200K21.59，由于1.596.635，没有99%的把握认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”（2）每次购物时，对商品和快递都满意的概率为，且X的取值可以是0，1，2，3P（X0）（）3，P（X1）；P（X
27、2），P（X3）X的分布列为：X0123PEX0+1+2+3【点评】本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查排列组合、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题21（12分）设函数f（x），g（x）ax（）求函数yf（x）的单调区间和极值；（）当x（0，+），f（x）g（x）恒成立，求实数a的范围【分析】（）求出函数f（x）的导函数，分别由导函数大于0和小于0求得函数的增区间与减区间，进一步求得极值；（）x0时，f（x）g（x）ax，即a，令h（x），利用导数求其最小值，则实数a的取值范围可求【解答】解：（），当x（，0）（0，1）时，
28、f（x）0；当x（1，+），f（x）0，函数yf（x）的减区间为（，0），（0，1），增区间为（1，+）则f（x）极小值f（1）e；（）x0时，f（x）g（x）ax，即a，令h（x），则，当x（0，2）时，h（x）0，h（x）递减；当x（2，+）时，h（x）0，h（x）递增，则即实数a的范围为（，【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的极值，考查利用分离参数法求解恒成立问题，是中档题选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程（10分）22（10分）在直角坐标系中xOy中，曲线C的参数方程为为参数，a
29、0）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为（1）设P是曲线C上的一个动点，当a2时，求点P到直线l的距离的最大值；（2）若曲线C上所有的点均在直线l的右下方，求a的取值范围【分析】（1）将直线l极坐标方程转化成直角坐标，设P点坐标，利用点到直线的距离公式及辅助角公式，根据余弦函数的性质，即可求得点P到直线l的距离的最大值；（2）由题意可知：tR，acost2sint+40恒成立，利用辅助角公式，只需4，即可求得a的取值范围【解答】解：（1）由，得（cossin）2，化成直角坐标方程得（xy）2，直线l的方程为xy+40，依题意，设P（2cost，2sint），
30、则P到直线l的距离d2+2cos（t+），当t+2k，即t2k，kZ时，dmax4，故点P到直线l的距离的最大值为4（2）因为曲线C上的所有点均在直线l的右下方，tR，acost2sint+40恒成立，即cos （t+）+40（其中tan）恒成立，4，又a0，解得0a2，故a取值范围（0，2）【点评】本题考查直线的极坐标方程与直角坐标方程的转化，考查点到直线的距离公式，余弦函数的性质，考查不等式恒成立，考查计算能力，属于中档题选修4-5：不等式选讲（10分）23已知函数f（x）|2x+2|2x2|，xR（1）求不等式f（x）3的解集；（2）若方程有三个实数根，求实数a的取值范围【分析】（1）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，求出不等式的解集即可；（2）分离a，得到ax+|x1|x+1|，令h（x）x+|x1|x+1|，结合函数的图象求出a的范围即可【解答】解：（1）原不等式等价于或或，解得：x1或，不等式f（x）3的解集为（2）由方程可变形为ax+|x1|x+1|，令，作出图象如下：于是由题意可得1a1【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及数形结合思想，是一道中档题
