六年级奥数第09讲-比的应用(教)

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1、学科教师辅导讲义学员编号: 年 级:六年级 课 时 数:3学员姓名:辅导科目:奥数学科教师: 授课主题第09讲-比的应用授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 能运用比的意义解决按照一定的比进行分配的实际问题; 进一步体会比的意义,感受比在生活中的广泛应用,提高解决问题的能力。授课日期及时段T(Textbook-Based)同步课堂知识梳理 在学生学习了比与分数的联系,已掌握简单分数乘、除法应用题数量关系的基础上,把比的知识应用于解决相关的实际问题的一个课例,掌握了按比分配的解题方法,不仅能有效地解决生活、工作中把一个数量按照一定的比进行分配的问题,也为以后学习“比例”“比例尺”奠定了

2、基础。比是反映数量关系的一种常见形式,也是解数学题的一种重要工具,有了它,我们处理倍数关系、解答分数应用题就方便灵活得多。在这一讲,我们讲探讨稍复杂的比是应用题。典例分析 考点一:简单的数比的应用我们已经学过比的知识,都知道比和分数、除法其实是一回事,所有比与分数能互相转化。运用这种方法解决一些实际问题可以化难为易,化繁为简。例1、甲数是乙数的2/3,乙数是丙数的4/5,甲、乙、丙三数的比是( ):( ):( )。【解析】甲、乙两数的比 : 2:3 乙、丙两数的比 : 4:5 甲、乙、丙三数的比 8:12:15 答:甲、乙、丙三数的比是 8:12:15。例2、光明小学将五年级的140名学生,分

3、成三个小组进行植树活动,已知第一小组和第二小组人数的比是2:3,第二小组和第三小组人数的比是4:5。这三个小组各有多少人?【解析】先求出三个小组人数的连比,再按求出的连比进行分配。 一、二两组人数的比 2:3 二、三两组人数的比 4:5 一、二、三组人数的比 8:12:15 总份数:8+12+1535 第一组:1408/3532(人) 第二组:14012/3548(人) 第三组:14015/3560(人) 答:第一小组有32人,第二小组有48人,第三小组有60人。例3、甲、乙两校原有图书本数的比是7:5,如果甲校给乙校650本,甲、乙两校图书本数的比就是3:4。原来甲校有图书多少本?【解析】由

4、甲、乙两校原有图书本数的比是7:5可知,原来甲校图书的本数是两校图书总数的,由于甲校给了乙校650本,这时甲校的图书占两校图书总数的,甲校给乙校的650本图书,相当于两校图书总数的。即: 650()2450(本) 答:原来甲校有图书2450本。例4、从前有个农民,临死前留下遗言,要把17头牛分给三个儿子,其中大儿子分得1/2,二儿子分得1/3,小儿子分得1/9,但不能把牛卖掉或杀掉。三个儿子按照老人的要求怎么也不好分。后来一位邻居顺利地把17头牛分完了,你知道这到底是怎么回事吗?【解析】因为1/2+1/3+1/917/18,17/181,就是说三兄弟并未将全部牛分完,所以我们求出三个儿子分牛头

5、数的连比,最后再按比例分配。 三个儿子分牛头数的连比:1/2:1/3:1/99:6:2 总份数:9+6+217 三个儿子各分得牛的头数:179/179(头)176/176(头)172/172(头) 答:大儿子分得9头,二儿子分得6头,小儿子分得2头。例5、两个相同的瓶子装满酒精溶液。一个瓶中酒精与水的体积之比是3:1,另一个瓶中酒精与水的体积之比是4:1。若把两瓶酒精溶液混合,混合液中酒精与水的体积之比是多少?【解析】抓住两个瓶子相同的关系,分别求出每个瓶中的酒精占瓶子容积的几分之几再解答。 一个瓶中酒精占瓶子容积的比: 3/(1+3) 3/4 另一个瓶中酒精占瓶子容积的比: 4/(1+4)

6、4/5 两瓶子里的酒精占一个瓶子容积的比: 3/4+4/5 31/20 水占一个瓶子容积的比: 231/20 9/20 混合液中酒精与水的比 31/20:9/2031:9 答:混合液中酒精与水的比是31:9。考点二:用比解应用题 比是反映数量关系的一种常见形式,也是解数学题的一种重要工具,有了它,我们处理倍数关系、解答分数应用题就方便灵活得多。例1、甲、乙两个学生放学回家,甲要比乙多走1/5的路,而乙走的时间比甲少1/11,求甲、乙两人速度的比。【解析】因为 速度路程时间,所以,甲、乙速度的比: (1)甲、乙路程的比:(1+1/5):16:5 (2)甲、乙时间的比:1:(11/11)11:10

7、 (3)甲、乙速度的比:6/11:5/10=12:11 答:甲、乙速度的比是12:11。例2、制造一个零件,甲需6分钟,乙需5分钟,丙需4.5分钟。现在有1590个零件的制造任务分配给他们三个人,要求在相同的时间内完成,每人应该分配到多少个零件?【解析】先求出工作效率的比,然后根据同一时间内,工作总量的比等于工作效率的比进行解答。 甲、乙、丙工作效率的比: 1/6:1/5:1/1.515:18:20 总份数:15+18+2053 甲 :159015/53450(个) 乙:159018/53540(个) 丙:159020/53600(个) 答:甲、乙、丙分配到的零件分别是450个、540个、60

8、0个。例3、两个服装厂一个月内生产服装的数量是6:5,两厂西服价格的比是11:10。已知两厂这个月内总产值为6960万元。两厂的产值各是多少万元?【解析】因为产值价格产量,所以 甲产值:乙产值(甲价格甲产量):(乙价格乙产量) 两厂的产值比为:(116):(105)66:50 甲厂产值为:696066/(66+50)3960(元) 乙厂产值为:696050/(66+50)3000(元) 答:两厂的产值分别是3960万元和3000万元。例4、A、B两种商品的价格比是7:3。如果它们的价格分别上涨70元,它们的价格比就是7:4,这两种商品原来的价格各是多少元?【解析】解法一:因为A、B两种商品涨价

9、的数值相同,所以涨价后两种商品价格差不变。由于价格差不变, 所以价格差对应的份数也应该相同。 原价格比7:321:9 现价格比7:428:16 【这样前后项的差都是12,价格涨了(2821)7份,是70元】 70(2821)10元 A:1021210(元) B:10990(元) 解法二:由于两种商品的价格不变,选两种商品的价格差做单位“1“进行解答。(1)原来A商品的几个是价格差的几倍 7(73)7/4(2)后来A商品的价格是价格差的几倍 7(74)7/3(3)A、B两种商品的价格差是 70(7/37/4)120(元)(4)原来A商品的价格是 120(73)7210(元)(5) 原来B商品的价

10、格是 120(73)390(元) 答:A、B两种商品原来的价格分别是210元和90元。例5、如图是甲、乙、丙三地的线路图,已知甲地到丙地的路程与乙地到丙地的路程比是1:2。王刚以每小时4千米的速度从甲地步行到丙地,李华同时以每小时10千米的速度从乙地骑自行车去丙地,他比王刚早1小时到达丙地。甲、乙两地相距多少千米?【解析】解法一:根据路程的比和速度的比求出时间的比,从而求出王刚和李华所用的时间,再求出各自所走的路程。王刚和李华所用时间的比 1/4:2/105:4王刚所用的时间 1(54)55(小时)甲地到丙地的路程 4520(千米)甲、乙两地的路程 20(1+2)60(千米) 解法二:如果李华

11、每小时行428千米,他将与王刚同时到达丙地。现在他每小时多行1082千米。在王刚从甲地到丙地的这段时间内,李华比应行的路程多行了10110千米。据此,可求出王刚从甲地到丙地的时间。王刚从甲地到丙地的时间10 1(1042)5(小时)甲、乙两地的路程45(1+2)60(千米) 解法三:如果王刚每小时行1035千米,就能和李华同时到达。由此可见,王刚走完甲地到丙地的路程,用每小时4千米的速度和每小时5千米的速度相比,所用的时间相差1小时。再根据1千米的路程,两种速度所用的时间相差 1/41/5 1/20小时。最后求出甲地到丙地的路程。甲地到丙地的路程1(1/41/(102)20(千米)甲、乙两地的

12、路程20(1+2)60(千米) 答:甲、乙两地相距60千米。P(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、甲数是乙数的4/5,乙数是丙数的5/8,甲、乙、丙三数的比是( ):( ):( )。【解析】因为甲数:乙数=4:5, 乙数:丙数=5:8; 所以甲:乙:丙=4:5:8; 故答案为:4:5:8 2、某农场把61600公亩耕地划归为粮田与棉田,它们之间的比是7:2,棉田与其他作物面积的比6:1。每种作物各是多少公亩?【解析】因为棉田=7:2=21:6,棉田:其他作物=6:1,所以粮田:棉田:其他作物=21:6:1;所以粮田的面积为: 61600(21+6+1)21=61

13、6002821=220021=46200(公亩)棉田:61600(21+6+1)6 =22006 =13200(公亩)其它作物:61600(21+6+1)1=2200(公亩)。答:粮田的面积是46200公亩,棉田的面积是13200公亩,其他作物的面积是2200公亩。3、小明和小芳各走一段路。小明走的路程比小芳多,小芳用的时间比小明多。求小明和小芳速度的比。【解析】小明与小芳路程的比是(1+):16:5 小明与小芳时间的比是1:(1+)8:9 小明与小芳速度的比是:27:204、加工一个零件,甲需3分钟,乙需3.5分钟,丙需4分钟。现在有1825个零件需要甲、乙、丙三人加工。如果规定用同样的时间

14、完成任务,那么各应加工多少个?【解析】甲、乙、丙效率的比是:28:25:21 总份数:28+25+2173 甲应加工的个数:1825700个 乙应加工的个数:1825600个 丙应加工的个数:1825525个 5、两块一样重的合金,一块合金中铜与锌的比是2:5,另一块合金中铜与锌的比是1:3。现将两块合金合成一块,求出锌合金中铜与锌的比。【解析】铜与锌的比是2:5的合金中,含铜=2/(2+5)=2/7;即铜的质量是合金的2/7。铜与锌的比是4:1的合金中,含铜=4/(4+1)=4/5;即铜的质量是合金的 4/5。新合金中含铜=(2/7+4/5)/(1+1)=19/35.(其中1+1为两块合金的

15、质量和)即铜的质量是合金的19/35。那么 新合金中含锌=1-19/35=16/35,新合金中,铜:锌=19/35:16/35=19:16。 5、苹果和梨的单价的比是6:5,王大妈买的苹果和梨的重量的比是2:3,共花去18元。王大妈买苹果和梨各花了多少元?【解析】苹果与梨的总价比为: (62):(53)4:5 苹果:188元 梨 :1810元6、一辆汽车在甲、乙两站间行驶,往返一次共用去4小时(停车时间不算在内)。汽车去时每小时行45千米,返回时每小时行30千米。甲、乙两地相距多少千米?【解析】解法一:4(+)72千米 解法二:45(4)72千米7、下图是甲、乙、丙三地的路线图。已知甲地到丙地

16、的路程与乙地到丙地的路程的比是2:3。一辆货车以每小时40千米的速度从甲地开往丙地,一辆客车同时以每小时50千米的速度从乙地开往丙地,客车比火车迟1小时到达丙地。求甲、乙两地的路程? 甲 丙 乙【解析】(1)乙地到丙地的路程 1()300千米 (2)甲、乙两地之间的路程 300(1+)500千米 课后反击1、黄山小学六年级的同学分三组参加植树。第一组与第二组的人数的比是5:4,第二组与第三组人数的比是3:2。已知第一组的人数比二、三组人数的总和少15人。六年级参加植树的共有多少人?【解析】第一小组与第二小组人数之比为:5:4=15:12,第二小组与第三小组人数比为:3:2=12:8,第一、第二

17、、第三小组人数比是:15:12:8,总人数:15(12+8-15)(15+12+8), =15535 =335 =105(人) 答:六年级参加植树的共有105人。2、五年级三个班举行数学竞赛。一班参加比赛的占全年级参赛总人数的1/3,二班与三班参加比赛人数的比是11:13,二班比三班少8人。一班有多少人参加了数学竞赛?【解析】二班人数:811/(13-11)=44人; 三班人数:813/(13-11)=52人; 一班人数:(44+52)(1-1/3)1/3=48人。3、甲走的路程比乙多,乙用的时间比甲多。求甲、乙的速度比。【解析】甲、乙路程的比是(1+):14:3 甲、乙时间的比是1:(1+)

18、:14:5 甲、 乙速度的比是:5:34、大、小两种苹果,其单价比是5:4,重量比是2:3。把两种苹果混合,成为100千克的混合苹果,单价为每千克4.40元。大、小两种苹果原来每千克各是多少元?【解析】两样苹果的总价:4.4100440元 两种苹果总价的比:(52):(43)5:6 大苹果的总价:440200元 大苹果的重量:10040千克 大苹果的单价:200405元 小苹果的单价:5544元5、甲书架上的书是乙书架上的,两书架上各增加154本后,甲书架上的书是乙书架上的,甲、乙两书架上原来各有多少本书?【解析】解法一:甲、乙原来的比是4:7 甲、乙后来的比是5:615:18 甲书架上原有的

19、书:154(154)456本 乙书架上原有的书:154(187)798本 解法二:由于甲、乙两个书架上本数的差没有变,因此,以甲、乙两个书架上本书的差为单位“1”来考虑。甲、乙两个书架上相差的本数154()42本原来甲、乙两个书架上的本数甲:42(74)456本乙:42(74)798本6、兄弟两人,每年收入的比是4:3,每年支出的比是18:13。从年初到年底,他们都结余720元。他们每年的收入各是多少元?【解析】解法一:兄、弟二人收入的是4:320:15 兄、弟二人支出的比是18:13 兄一年的收入是720(2018)207200元 弟一年的收入是720(1513)155400元 解法二:兄弟

20、二人的收入相差 720()1800元兄、弟每年的收入各是: 兄:1800(43)47200元 弟:1800(43)35400元7、甲做3000个零件比乙做2400个零件多用1小时,甲、乙工作效率的比是6:5。甲、乙每小时各做多少个?【解析】乙:(30002400)1100个 甲:100120个直击赛场 1、甲、乙、丙三人承包一项工程,发给他们工资共1800元,三人完成这项工程的具体情况是:甲、乙两人合作6天完成了工程的,因为甲有事,由乙、丙合作2天完成余下工程的,以后三人合作5天完成了这项工程,按完成量的多少来付劳动报酬,甲、乙、丙各得多少元?【解析】根据题意可知,甲、乙两人的工作效率之和为;

21、 乙、丙两人的工作效率之和为; 甲、乙、丙三人的工作效率之和为。 分别可求得甲的工作效率为,乙的工作效率为,丙的工作效率为, 则甲完成的工程量为:,乙完成的工程量为:,丙完成的工程量为: ,三人所完成的工作量之比为。 所以,甲应得元,乙应得元,丙应得元2、一个圆柱体的容器中,放有一个长方形铁块。现在打开一个水龙头往容器中注水,3分钟时,水恰好没过长方体的顶面,又过了18分钟,水灌满容器。已知容器的高度是50厘米。长方体的高度是20厘米,那么长方体底面积:容器底面面积等于多少?【解析】注满容器20厘米高的水与30厘米高的水所用时间之比为20:30=2:3。注20厘米的水的时间为(分),这说明注入

22、长方形铁块所占空间的水要用时间为12-3=9(分)。已知长方形铁块高为20厘米,因此它们底的面积比等于它们的体积之比,而它们的体积比等于所注入时间之比,故长方形底面面积:容器底面面积=9:12=3:4S(Summary-Embedded)归纳总结名师点拨 在学生学习了比与分数的联系,已掌握简单分数乘、除法应用题数量关系的基础上,把比的知识应用于解决相关的实际问题的一个课例,掌握了按比分配的解题方法,不仅能有效地解决生活、工作中把一个数量按照一定的比进行分配的问题,也为以后学习“比例”“比例尺”奠定了基础。比是反映数量关系的一种常见形式,也是解数学题的一种重要工具,有了它,我们处理倍数关系、解答分数应用题就方便灵活得多。在这一讲,我们讲探讨稍复杂的比是应用题。我们已经学过比的知识,都知道比和分数、除法其实是一回事,所有比与分数能互相转化。运用这种方法解决一些实际问题可以化难为易,化繁为简。比是反映数量关系的一种常见形式,也是解数学题的一种重要工具,有了它,我们处理倍数关系、解答分数应用题就方便灵活得多。 学霸经验 本节课我学到了 我需要努力的地方是

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