1、专题六与圆有关的证明与计算类型一 与全等相结合 (2019鹿城区二模)如图，在ABC中，BD平分ABC，交ABC外接圆于另一点D.点E在BA延长线上，DEDB.(1)求证：EABC；(2)若EB8，BC2，求ED2CD2的值【分析】(1)连结AD，由等腰三角形的性质得到EDBA，由角平分线的性质得到DBCDBA，根据全等三角形的性质即可得到结论；(2)过D作DHAB于H，于是得到EHEB4，根据勾股定理即可得到结论【自主解答】1(2017台州)如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点(不与B，C重合)，PE是ABP的外接圆O的直径(1)求证：APE是等腰直角三角形；(2)若O的直径
2、为2，求PC2PB2的值类型二 与相似相结合 (2019玉环一模)如图，ABC是O的内接三角形，直径AB10，sin A，点D为线段AC上一动点(不运动至端点A，C)，作DFAB于F，连结BD，并延长BD交O于点H，连结CF.(1)当DF经过圆心O时，求AD的长；(2)求证：ACFABD；(3)求CFDH的最大值【分析】(1)由AB是直径知ACB90，依据三角函数求出BC6，由勾股定理求出AC8，由ABDF知AFDACB90，结合A为公共角可证ADFABC，得出对应边成比例，即可求出AD的长；(2)由ADFABC知，结合A为ACF和ABD的公共角可证ACFABD；(3)连结CH，先证ACFHC
3、D得出比例式，即CFDHCDAF，再设ADx，则CD8x，AFx，从而得出CFDH(x4)2，利用二次函数的性质求解可得【自主解答】2(2019温州)如图，在ABC中，BAC90，点E在BC边上，且CACE，过A，C，E三点的O交AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交AB于点G，连结CD，CF.(1)求证：四边形DCFG是平行四边形；(2)当BE4，CDAB时，求O的直径长类型三 与锐角三角函数相结合 (2019金华模拟)如图，AB是O的直径，过O上一点C作O的切线，交AB的延长线于点 E过点A作CE的垂线，垂足为D，AD交O于点F，设ABC (090)(1)用含的代数式表示DAC；(2
4、)若AB10，sin ，求AD的长；(3)若60，AB10，求图中阴影部分的面积【分析】(1)连结OC，求出ADOC，根据平行线的性质求出DACACO，即可求出答案；(2)解直角三角形求出AC的长，然后证得ADCACB，求出AD的长即可；(3)连结OF，首先证明S阴影S扇形OCF，然后利用扇形面积公式计算即可【自主解答】3(2018温州)如图，D是ABC的BC边上一点，连结AD，作ABD的外接圆，将ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在O上(1)求证：AEAB；(2)若CAB90，cosADB，BE2，求BC的长4(2019杭州模拟)如图，O的圆心O在RtABC的直角边AC上，O经过C，D两
5、点，与斜边AB交于点E，连结BO，ED，有BOED，作弦EFAC于点G，连结DF.(1)判断直线AB与O的位置关系，并证明你的结论；(2)若O的半径为5，sinDFE，求EF的长类型四 与特殊四边形相结合 (2019金华)如图，在OABC中，以O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点B，与OC相交于点D.(1)求的度数(2)如图，点E在O上，连结CE与O交于点F，若EFAB，求OCE的度数【分析】(1)连结OB，证明AOB是等腰直角三角形，即可求解；(2)AOB是等腰直角三角形，则OAt，HOt，即可求解【自主解答】5(2018台州)如图，ABC是O的内接三角形，点D在上，点E在弦AB上(E不与
6、A重合)，且四边形BDCE为菱形(1)求证：ACCE；(2)求证：BC2AC2ABAC；(3)已知O的半径为3.若，求BC的长；当为何值时，ABAC的值最大？参考答案【专题类型突破】类型一【例1】 (1)如图，连结AD.DEDB，EDBA.BD平分ABC，DBCDBA，DBCE.EADBCD，DEADBC，EABC.(2)如图，过D作DHAB于H，DEDB，DHAB，EHEB4.EABC2，AHEHEA2.DBCDBA，CDAD，CD2AD2.ED2HD2HE2HD216，AD2HD2HA2HD24，ED2CD216412.跟踪训练1(1)证明：ABAC，BAC90，CABC45，AEPABP
7、45.PE是直径，PAE90，APEAEP45，APAE，PAE是等腰直角三角形(2)解：ACAB，APAE，CABPAE90，CAPBAE，CAPBAE，ACPABE45，PCEB，PBEABCABE90，PB2PC2PB2BE2PE2224.类型二【例2】 (1)当DF经过圆心O时，AFOA5，AB为直径，AB10，ACB90，sinA，BC6，由勾股定理得AC8.ABDF，AFDACB90.AA，ADFABC，AD.(2)由(1)得ADFABC，即.又A为ACF和ABD的公共角，ACFABD.(3)如图，连结CH.由(2)知ACFABD，ABDACF.ABDACH，ACHACF.又CAF
8、H，ACFHCD，即CFDHCDAF.设ADx，则CD8x，AFx，CFDHx(8x)x2x(x4)2，当x4时，CFDH的最大值为.跟踪训练2(1)证明：如图，连结AE.BAC90，CF是O的直径ACEC，CFAE.AD是O的直径，AED90，即GDAE，CFDG.AD是O的直径，ACD90，ACDBAC180，ABCD，四边形DCFG是平行四边形(2)解：由CDAB，设CD3x，AB8x，CDFG3x.AOFCOD，AFCD3x，BG8x3x3x2x.GECF，.BE4，ACCE6，BC6410，AB88x，x1，在RtACF中，AF3，AC6，CF3.即O的直径长为3.类型三【例3】 (
9、1)如图，连结OC.AB为O的直径，ACB90，CAB90ABC90.DE切O于点C，OCDE.ADCE，ADOC，DACACOCAB90.(2)在RtABC中，sin ，AB10，AC8.OAOC，OACACO.DACACO，DACOAC.ADCACB90，ADCACB，即，AD6.4.(3)如图，连结OF，交AC于G.DAC90906030，DAC与FOC对同弧，FOC2DAC60，OBOC，ABC60，OBC是等边三角形，BOC60，AOF60.OAOF，OAF是等边三角形，AFOFOC，AFO60.在AFG和COG中，AFGCOG(AAS)，SAFGSCOG，AB10，O的半径r5，S
10、阴影S扇形OFC.跟踪训练3(1)证明：由折叠的性质可知，ADEADC，AEDACD，AEAC.ABDAED，ABDACD，ABAC，AEAB.(2)解：如图，过A作AHBE于点H，ABAE，BE2，BHEH1.ABEAEBADB，cosADB，cosABEcosADB，ACAB3.BAC90，ACAB，BC3.4解：(1)AB与O相切证明如下：如图，连结OE.EDOB，12，3OED.又OEOD，2OED，13.又OBOB，OEOC，BCOBEO(SAS)，BEOBCO90，即OEAB.又OE是O的半径，AB是O切线(2)如图，连结CE.F4，CD2OC10，CD为O的直径，在RtCDE中，
11、EDCDsin4CDsinDFE106.CE8.在RtCEG中，sin4，EG8.根据垂径定理得EF2EG.类型四【例4】 (1)如图1，连结OB.图1BC是O的切线，OBBC.四边形OABC是平行四边形，OABC，OBOA，AOB是等腰直角三角形，ABO45，BOCABO45，的度数为45.(2)如图2，连结OE，过点O作OHEC于点H，设EHt，图2OHEC，EF2HE2t.四边形OABC是平行四边形，ABCOEF2t.AOB是等腰直角三角形，OAt，则HOt，OC2OH，OCE30.跟踪训练5(1)证明：四边形EBDC为菱形，DBEC.四边形ABDC是圆的内接四边形，AD180，又BEC
12、AEC180，AAEC，ACCE.(2)证明：如图，以点C为圆心，CE长为半径作C，与BC交于点F，于BC延长线交于点G，则CFCG，由(1)知ACCECD，CFCGAC，四边形AEFG是C的内接四边形，GAEF180.又AEFBEF180，GBEF.EBFGBA，BEFBGA，即BFBGBEAB.BFBCCFBCAC，BGBCCGBCAC，BECEAC，(BCAC)(BCAC)ABAC，即BC2AC2ABAC.(3)解：设AB5k，AC3k，BC2AC2ABAC，BC2k.如图，连结ED交BC于点M.四边形BDCE是菱形，DE垂直平分BC，则点E，O，M，D四点共线在RtDMC中，DCAC3k，MCBCk，DMk，OMODDM3k.在RtCOM中，由OM2MC2OC2得(3k)2(k)232，解得k或k0(舍)，BC2k4.设OMd，则MD3d，MC2OC2OM29d2，BC2(2MC)2364d2，AC2DC2DM2CM2(3d)29d2，由(2)得ABACBC2AC24d26d184(d)2，当d，即OM时，ABAC最大，最大值为，DC2，ACDC，AB，此时.
