1、第11讲反比例函数(参考用时:50分钟)A层(基础)1.(2019安徽)已知点A(1,-3)关于x轴的对称点A在反比例函数y=kx的图象上,则实数k的值为(A)(A)3 (B)13 (C)-3 (D)-13解析:点A(1,-3)关于x轴的对称点A的坐标为(1,3),把A(1,3)代入y=kx得k=13=3.故选A.2.若ab0,则正比例函数y=ax与反比例函数y=bx在同一坐标系中的大致图象可能是(B)解析:ab0,正比例函数图象与反比例函数图象不在同一象限,其中一个在第一、三象限时,另一个就在第二、四象限.同时,正比例函数的图象是过原点的直线.故选B.3.(2019江西)已知正比例函数y1的
2、图象与反比例函数y2的图象相交于点A(2,4),下列说法正确的是(C)(A)反比例函数y2的表达式是y2=-8x(B)两个函数图象的另一交点坐标为(2,-4)(C)当x-2或0x2时,y1y2(D)正比例函数y1与反比例函数y2都随x的增大而增大解析:将点A(2,4)代入y2=kx,解得k=8,反比例函数y2的表达式是y2=8x,故A错误;由函数图象的对称性可得另一个交点坐标为 (-2,-4),故B错误;当x-2或0x2时,y1y2,故C正确;反比例函数y2=8x中,在每个象限内y随x的增大而减小,故D错误.故选C.4.若点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)都是反比例函数y=-1x
3、图象上的点,并且y10y2y3,则下列各式中正确的是(D)(A)x1x2x3(B)x1x3x2(C)x2x1x3(D)x2x3x1解析:反比例函数y=-1x中,k=-10,此函数的图象在第二、四象限,且在每一象限内y随x的增大而增大.y10y2y3,点(x1,y1)在第四象限,(x2,y2),(x3,y3)两点均在第二象限,x2x3x1.故选D.5.(2019咸宁)在平面直角坐标系中,将一块直角三角板如图放置,直角顶点与原点O重合,顶点A,B恰好分别落在函数y=-1x(x0)的图象上,则sinABO的值为(D)(A)13(B)33(C)54(D)55解析:过点A,B分别作ADx轴,BEx轴,垂
4、足为D,E,点A在y=-1x上,点B在y=4x上,SAOD=12,SBOE=2,AOB=BEO=90,AOD+BOE=BOE+OBE=90,AOD=OBE,ADO=OEB=90,AODOBE,SAODSOBE=(AOOB)2=14,AOOB=12,设OA=m,则OB=2m,AB=m2+(2m)2=5m,在RtAOB中,sinABO=OAAB=m5m=55.故选D.6.春季是传染病多发的季节,积极预防传染病是学校高度重视的一项工作,为此,某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒.在对某宿舍进行消毒的过程中,先经过5 min的集中药物喷洒,再封闭宿舍10 min,然后打开门窗进行通风,室内每立方米空气中
5、含药量y(mg/m3)与药物在空气中的持续时间x(min)之间的函数关系,在打开门窗通风前分别满足两个一次函数,在通风后又成反比例函数,如图所示,下面四个选项中错误的是(C)(A)经过5 min集中喷洒药物,室内空气中的含药量最高达到10 mg/m3(B)室内空气中的含药量不低于8 mg/m3的持续时间达到了11 min(C)当室内空气中的含药量不低于5 mg/m3且持续时间不低于35分钟,才能有效杀灭某种传染病毒,此次消毒完全有效(D)当室内空气中的含药量低于2 mg/m3时,对人体才是安全的,所以从室内空气中的含药量达到2 mg/m3开始,需经过59 min后,学生才能进入室内解析:如图,
6、A(5,10)是函数图象最高点,选项A正确,不符合题意;用待定系数法可求,线段OA的函数表达式为y=2x(0x5),线段AB的函数表达式为y=-15x+11(5x15),曲线BC的函数表达式为y=120x(x15),把y=8代入y=2x,解得x=4,15-4=11,室内空气中的含药量不低于8 mg/m3的持续时间达到了11 min,选项B正确,不符合题意;把y=5代入y=2x,解得x=2.5,把 y=5代入y=120x,解得x=24,24-2.5=21.50)与双曲线y=6x交于A(x1,y1)和B(x2,y2)两点,则3x1y2-9x2y1的值为36.解析:由题意可知点A(x1,y1),B(
7、x2,y2)关于原点对称,x1=-x2,y1=-y2,把A(x1,y1)代入双曲线y=6x,得x1y1=6,3x1y2-9x2y1=-3x1y1+9x1y1=6x1y1=66=36.8.(2019山西)如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,菱形ABCD的顶点B在x轴的正半轴上,点A的坐标为(-4,0),点D的坐标为(-1,4),反比例函数y=kx(x0)的图象恰好经过点C,则k的值为16.解析:过点C,D作CEx轴,DFx轴,垂足为E,F,四边形ABCD是菱形,AB=BC=CD=DA,点A(-4,0),D(-1,4),DF=CE=4,OF=1,AF=OA-OF=3,在RtADF中,AD=3
8、2+42=5,CD=AD=5,OE=EF-OF=CD-OF=5-1=4,C(4,4),k=44=16.9.(2019乐山)如图,点P是双曲线C:y=4x(x0)上的一点,过点P作x轴的垂线交直线AB:y=12x-2于点Q,连结OP,OQ.当点P在曲线C上运动,且点P在Q的上方时,POQ面积的最大值是3.解析:PQx轴,设P(x,4x),则Q(x,12x-2),PQ=4x-12x+2,SPOQ=12(4x-12x+2)x=-14(x-2)2+3,-14120,超速了.故方方不能在当天11点30分前到达B地.12.(2019自贡)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y1=kx+b(k0)的图象与反比
9、例函数y2=mx(m0)的图象相交于第一、三象限内的A(3,5),B(a,-3)两点,与x轴交于点C.(1)求该反比例函数和一次函数的表达式;(2)在y轴上找一点P使PB-PC最大,求PB-PC的最大值及点P的坐标;(3)直接写出当y1y2时,x的取值范围.解:(1)把A(3,5)代入y2=mx(m0),可得m=35=15,反比例函数的表达式为y2=15x.把点B(a,-3)代入,可得a=-5,B(-5,-3).把A(3,5),B(-5,-3)代入y1=kx+b,可得3k+b=5,-5k+b=-3,解得k=1,b=2,一次函数的表达式为y1=x+2.(2)一次函数的表达式为y1=x+2,令x=
10、0,则y1=2,点D的坐标为(0,2).令y1=0,则x=-2,C(-2,0),连结PB,PC,当B,C和P不共线时,由三角形三边关系得PB-PCy2时,-5x3.B层(能力)13.如图,已知直线y=k1x+b与x轴,y轴相交于P,Q两点,与y=k2x的图象相交于A(-2,m),B(1,n)两点,连结OA,OB,给出下列结论:k1k2k2x的解集是x-2或 0x1,其中正确结论的序号是.解析:由图象知,k10,k20,错误;把A(-2,m),B(1,n)代入y=k2x中,得-2m=n,m+12n=0,正确;把A(-2,m),B(1,n)代入y=k1x+b,得m=-2k1+b,n=k1+b,解得
11、k1=n-m3,b=2n+m3,-2m=n,k1=-m,b=-m.y=-mx-m,已知直线y=k1x+b与x轴,y轴相交于P,Q两点,P(-1,0),Q(0,-m),OP=1,OQ=m,SAOP=12m,SBOQ=12m,SAOP=SBOQ,正确;由图象知不等式k1x+bk2x的解集是x-2或0x0,x0),y2=2kx(x0,x0)的图象经过点M且与边AB交于点N,连结MN.(1)当点M是边BC的中点时.求反比例函数的表达式;求OMN的面积;(2)在点M的运动过程中,试证明:MBNB是一个定值.(1)解:点B(4,2),且四边形OABC是矩形,OC=AB=2,BC=OA=4,点M是BC的中点,CM=2,则点M(2,2),反比例函数表达式为y=4x.当x=4时,y=4x=1,N(4,1),则CM=BM=2,AN=BN=1,SOMN=S矩形OABC-SOAN-SCOM-SBMN=42-1241-1222-1221=3.(2)证明:设M(a,2),则k=2a,反比例函数表达式为y=2ax,当x=4时,y=a2,N(4,a2),则BM=4-a,BN=2-a2,MBNB=4-a2-a2=4-a4-a2=2.
