1、第14讲函数的综合应用(参考用时:50分钟)A层(基础)1.已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流I(单位:A)与电阻 R(单位:)是反比例函数关系,它的图象如图所示.则用电阻R表示电流I的函数表达式为(D)(A)I=3R (B)I=-6R(C)I=-3R(D)I=6R解析:设用电阻R表示电流I的函数表达式为I=kR,把点(2,3)代入I=kR,得k=32=6.I=6R.故选D.2.如图,大拇指与小拇指尽量张开时,两指尖的距离称为指距.根据最近人体构造学的研究成果表明,一般情况下人的指距d和身高h成某种关系.如表是测得的指距与身高的一组数据:指距d(cm)20212223身高h(cm)16
2、0169178187根据上表解决下面这个实际问题:姚明的身高是226 cm,可预测他的指距约为(C)(A)25.3 cm(B)26.3 cm(C)27.3 cm(D)28.3 cm解析:设这个一次函数的表达式是y=kx+b,则20k+b=160,21k+b=169,解这个方程组,得k=9,b=-20.一次函数的表达式是y=9x-20.当y=226时,9x-20=226,解得x27.3.故选C.3.(2019金乡县模拟)小明以二次函数y=2x2-4x+8的图象为灵感为“2017北京房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子,如图为杯子的设计稿,若AB=4,DE=3,则杯子的高CE为(B)(A)14 (B
3、)11 (C)6 (D)3解析:y=2x2-4x+8=2(x-1)2+6,抛物线的顶点D的坐标为(1,6),AB=4,B点的横坐标为x=3,把x=3代入y=2x2-4x+8,得y=232-43+8=14,CD=14-6=8,CE=CD+DE=8+3=11.故选B.4.(2019连云港)如图,利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD,其中C=120.若新建墙BC与CD总长为12 m,则该梯形储料场ABCD的最大面积是(C)(A)18 m2 (B)18 m2(C)24 m2(D)4532 m2解析:如图,过点C作CEAB于E,则四边形ADCE为矩形,设CD=AE=x m,DCE=CEB=90,则
4、BCE=BCD-DCE=30,BC=12-x,在RtCBE中,BCE=30,BE=12BC=6-12x,AD=CE=3BE=63-32x,AB=AE+BE=x+6-12x=12x+6,梯形ABCD面积S=12(CD+AB)CE=12(x+12x+6)(63-32x)=-338x2+33x+183=-338(x-4)2+243,当x=4时,S最大=243.即CD长为4 m时,梯形储料场ABCD的面积最大,为243 m2.故选C.5.为了建设生态丽水,某工厂在一段时间内限产并投入资金进行治污改造,下列描述的是月利润y(万元)关于月份x之间的变化关系,治污改造完成前是反比例函数图象的一部分,治污改造
5、完成后是一次函数图象的一部分,则下列说法不正确的是(C)(A)5月份该厂的月利润最低(B)治污改造完成后,每月利润比前一个月增加30万元(C)治污改造前后,共有6个月的月利润不超过120万元(D)治污改造完成后的第8个月,该厂月利润达到300万元解析:由函数图象可得,5月份该厂的月利润最低为60万元,故选项A正确;治污改造完成后,从5月到7月,利润从60万元到120万元,每月利润比前一个月增加30万元,故选项B正确;设反比例函数表达式为y=ax,把(5,60)代入y=ax,得a=300.y=300x.当y=120时,120=300x,解得x=52.只有3月,4月,5月,6月,7月共5个月的利润
6、不超过120万元,故选项C错误;设一次函数表达式为y=kx+b,把(5,60),(7,120)代入,得5k+b=60,7k+b=120.解这个方程组,得k=30,b=-90.一次函数表达式为y=30x-90(x5).当y=300时,300=30x-90,解得x=13.则治污改造完成后的第8个月,该厂月利润达到300万元,故选项D正确.故选C.6.在照明系统模拟控制电路实验中,研究人员发现光敏电阻阻值R(单位:)与光照度E(单位:lx)之间成反比例函数关系,部分数据如下表所示.光照度E/lx0.511.522.53光敏电阻阻值R/603020151210则光敏电阻阻值R与光照度E的函数表达式为R
7、=30E.解析:设光敏电阻阻值R与光照度E的函数表达式为R=kE,把(1,30)代入R=kE,得k=30.R=30E.7.某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20x30,且x为整数)出售,可卖出(30-x)件,若使利润最大,则每件商品的售价应为25元.解析:设利润为w元,则w=(x-20)(30-x)=-(x-25)2+25,-10,20x30,当x=25时,w有最大值为25.8.星期天,小明上午8:00从家里出发,骑车到图书馆去借书,再骑车回到家.他离家的距离y(千米)与时间t(分钟)的关系如图所示,则上午8:45小明离家的距离是1.5千米.解析:设当40t60时,
8、距离y(千米)与时间t(分钟)的函数关系为y=kt+b,图象经过(40,2)(60,0),40k+b=2,60k+b=0.解这个方程组,得k=-110,b=6.y与t的函数关系式为y=-110t+6.当t=45时,y=-11045+6=1.5.上午8:45小明离家的距离是1.5千米.9.如图,一块矩形土地ABCD由篱笆围着,并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开.已知篱笆的总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计),当AB=150 m时,矩形土地ABCD的面积最大.解析:设AB=x m,则BC=12(900-3x)m,根据题意,得S=ABBC=12x(900-3x)=-32(x-150)2+33 7
9、50.当x=150时,S有最大值,S最大=33 750.当AB=150 m时,矩形土地ABCD的面积最大.10.(2019广安)为了节能减排,我市某校准备购买某种品牌的节能灯,已知3只A型节能灯和5只B型节能灯共需50元,2只A型节能灯和3只B型节能灯共需31元.(1)求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元?(2)学校准备购买这两种型号的节能灯共200只,要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的3倍,请设计出最省钱的购买方案,并说明理由.解:(1)设1只A型节能灯的售价是x元,1只B型节能灯的售价是y元,根据题意,得3x+5y=50,2x+3y=31,解得x=5,y=7.答:1只
10、A型节能灯的售价是5元,1只B型节能灯的售价是7元.(2)设购买A型号的节能灯a只,则购买B型号的节能灯(200-a)只,费用为w元,w=5a+7(200-a)=-2a+1 400,a3(200-a),a150,-20,w随a的增大而减小,当a=150时,w取得最小值,此时w=1 100,200-a=50.最省钱的购买方案是:购买A型号节能灯 150只,B型号节能灯50只.11.(2019鄂州)“互联网+”时代,网上购物备受消费者青睐.某网店专售一款休闲裤,其成本为每条40元,当售价为每条80元时,每月可销售100条.为了吸引更多顾客,该网店采取降价措施.据市场调查反映:销售单价每降1元,则每
11、月可多销售5条.设每条裤子的售价为x元(x为正整数),每月的销售量为y条.(1)直接写出y与x的函数关系式;(2)设该网店每月获得的利润为w元,当销售单价降低多少元时,每月获得的利润最大,最大利润是多少?(3)该网店店主热心公益事业,决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生.为了保证捐款后每月利润不低于4 220元,且让消费者得到最大的实惠,该如何确定休闲裤的销售单价?解:(1)由题意可得y=100+5(80-x),整理得y=-5x+500.(2)由题意,得w=(x-40)(-5x+500)=-5x2+700x-20 000=-5(x-70)2+4 500.a=-50,w有最大值,即当x=70
12、时,w最大=4 500.应降低80-70=10(元).答:当销售单价降低10元时,每月获得最大利润为 4 500 元.(3)由题意,得w=4 220+200=4 420,即-5(x-70)2+4 500=4 420,解得x1=66,x2=74,如图,抛物线开口向下,对称轴为直线x=70,当66x74时,w4 420,而为了让消费者得到最大的实惠,故x=66.当销售单价定为66元时,既符合网店要求,又能让消费者得到最大实惠.B层(能力)12.如图是抛物线型拱桥,当拱顶离水面2 m时,水面宽4 m,水面下降 2 m时,水面宽度增加了(42-4)m.解析:如图,以拱桥顶为坐标原点建立平面直角坐标系,
13、根据题意可知A(2,-2),则抛物线的表达式为y=-12x2,水面下降2 m,即y=-4时,-12x2=-4,解得x1=22,x2=-22,此时水面的宽度为4 m,水面宽度增加了(42-4)m.13.(2019咸宁)某工厂用50天时间生产一款新型节能产品,每天生产的该产品被某网店以每件80元的价格全部订购,在生产过程中,由于技术的不断更新,该产品第x天的生产成本y(元/件)与x(天)之间的关系如图所示,第x天该产品的生产量 z(件) 与x(天)满足关系式z=-2x+120.(1)第40天,该厂生产该产品的利润是元;(2)设第x天该厂生产该产品的利润为w元.求w与x之间的函数关系式,并指出第几天
14、的利润最大,最大利润是多少?在生产该产品的过程中,当天利润不低于2 400元的共有多少天?解:(1)1 600.(2)设直线AB的表达式为y=kx+b(k0),把(0,70),(30,40)代入,得b=70,30k+b=40,解得b=70,k=-1,直线AB的表达式为y=-x+70.当0x30时,w=80-(-x+70)(-2x+120)=-2x2+100x+1 200=-2(x-25)2+2 450,当x=25时,w最大值=2 450;当30x50时,w=(80-40)(-2x+120)=-80x+4 800,w随x的增大而减小,当x=31时,w最大值=2 320.w=-2x2+100x+1
15、 200(0x30),-80x+4 800(30x50).第25天的利润最大,最大利润为2 450元.当0x30时,令-2(x-25)2+2 450=2 400,解得x1=20,x2=30,抛物线w=-2(x-25)2+2 450开口向下,由其图象可知,当20x30时,w2 400,此时,当天利润不低于2 400元的天数为30-20+1=11(天).当3025,h=29.(2)由表格可知,m是p的一次函数,设m=kp+b,则0.2k+b=0,0.25k+b=5,解得k=100,b=-20,m=100p-20.当10t25时,p=150t-15,m=100(150t-15)-20=2t-40;当
16、25t37时,p=-1160(t-h)2+0.4,m=100-1160(t-h)2+0.4-20=-58(t-29)2+20.(3)当20t25时,由(20,200),(25,300),得w=20t-200,增加的利润为600m+20030-w(30-m)=40t2-600t-4 000,当t=25时,增加的利润的最大值为6 000元;当25t37时,w=300,增加的利润为600m+20030-w(30-m)=900(-58)(t-29)2+15 000=-1 1252(t-29)2+15 000,当t=29时,增加的利润最大值为15 000元.综上所述,当t=29时,提前上市20天,增加的利润最大,最大值为15 000元.
