1、1.代数式 由数和字母用 连接所成的式子,称为代数式,单独一个数或一个字母也是代数式. 2.列代数式 在解决实际问题时,常常先把问题中有关的数量用代数式表示出来,即列代数式. 3.代数式的值 一般地,用 代替代数式里的字母,按照代数式中的运算关系计算得出的结果,叫做代数式的值.,第2讲 整式与因式分解,运算符号,数值,代数式,整式及其运算,单项式,1.整式的有关概念 (1)整式: 与 统称为整式. (2)单项式:由 的乘积组成的代数式叫做单项式,单独的一个数或一个字母也是单项式.单项式中的 叫做这个单项式的系数,一个单项式中,所有字母的 叫做这个单项式的次数. (3)多项式:几个单项式的 叫做
2、多项式.其中每个 叫做多项式的项,不含 的项叫做常数项.多项式里次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数.一个多项式含有几项,就叫几项式. (4)同类项:所含 相同,并且相同字母的 也相等的项叫做同类项,常数项都是同类项. (5)合并同类项:把同类项的 相加,所得的结果作为系数, 保持不变.,多项式,数与字母,数字因数,指数的和,和,单项式,字母,字母,指数,系数,字母和字母的指数,(6)升幂排列与降幂排列 若按某个字母的指数 的顺序排列,叫做这个多项式按这个字母降幂排列.若按某个字母的指数 的顺序排列,叫做这个多项式按这个字母升幂排列. 2.幂的运算性质,从大到小,从小到大,(1)同底数幂的乘
3、法:aman= (m,n为整数); (2)幂的乘方:(am)n= (m,n为整数); (3)积的乘方:(ab)n= (n为整数); (4)同底数幂的除法:aman= (m,n为整数,a0).,am+n,amn,anbn,am-n,3.整式的运算 (1)整式的加减 去括号法则:a+(b+c)= ,a-(b+c)= . 添括号法则:a+b+c=a+( ),a-b-c=a-( ). 整式的加减:先去 ,再合并 . (2)整式的乘法 单项式乘单项式:将它们的系数、相同字母的幂分别 ,对于只在一个单项式中出现的字母,则连同它的指数一起作为积的一个因式. 单项式乘多项式:m(a+b+c)= . 多项式乘多
4、项式:(a+b)(m+n)= .,a+b+c,a-b-c,b+c,b+c,括号,同类项,相乘,ma+mb+mc,am+bm+an+bn,(3)乘法公式 平方差公式:(a+b)(a-b)= . 两数和(差)的平方:(a+b)2= ,(a-b)2= . (4)整式的除法 单项式除以单项式:把系数、同底数幂分别相除作为 ,对于只在被除式中出现的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式. 多项式除以单项式:先把这个多项式的每一项 这个单项式,再把所得的商 .,a2-b2,a2+2ab+b2,a2-2ab+b2,商的因式,除以,相加,4.因式分解的概念与基本方法,m(a+b+c),(a+b)2,(a-b
5、)2,代数式,(3n+1),思路点拨:观察各个图案中的圆形个数,可发现后一个图案比前一个图案多3个圆形,根据此规律即可求解.,例1 (2019太原一模)如图是一组有规律的图案,它们由半径相同的圆形组成,依此规律,第n个图案中有 个圆形(用含有n的代数式表示).,解析:第1个图案中有圆形31+1=4(个), 第2个图案中有圆形32+1=7(个), 第3图案中有圆形33+1=10(个), 第n个图案中有圆形(3n+1)个.,解决图形规律题的两种方法 (1)数图形,将图形转化成数字规律,再用数字规律解决问题. (2)通过图形的直观性,从图中直接寻找规律.,代数式的值,B,思路点拨:先将代数式4a2-
6、6ab+3b的前两项提取公因式,再整体代入求值.,解析:4a2-6ab+3b=2a(2a-3b)+3b =-2a+3b =-(2a-3b) =1. 故选B.,例2 (2019泰州)若2a-3b=-1,则代数式4a2-6ab+3b的值为( ) (A)-1 (B)1 (C)2 (D)3,在求代数式的值时,要先弄清运算符号及运算顺序;其次将代数式化简后再求值;最后代入求值,有时需要整体代入.计算时还要注意代入的数是负数或分数时是否需要加括号.,幂的运算(高频考点),例3 (2019达州)下列计算正确的是( ),思路点拨:根据幂的运算法则与两数和的平方公式计算,再根据结果判断.,解析:A.a2+a3,
7、无法合并同类项,故A错误; B.根据同底数幂的运算法则得a8a4=a4,故B正确; C.根据积的乘方法则得(-2ab)2=4a2b2,故C错误; D.根据两数和的平方公式得(a+b)2=a2+2ab+b2,故D错误.故选B.,B,(A)a2+a3=a5 (B)a8a4=a4 (C)(-2ab)2=-4a2b2 (D)(a+b)2=a2+b2,(1)同底数幂的乘法法则与幂的乘方法则不能混淆,切记:aman=am+n, (am)n=amn. (2)进行幂的有关混合运算时要注意三个方面:一是运算顺序,二是正确选择法则,三是运算符号.,整式的化简求值(高频考点),思路点拨:先运用平方差公式、两数差的平
8、方公式和单项式乘以多项式的法则分别计算各项,再根据合并同类项法则进行整式的加减运算,最后代入求值.,(1)整式的混合运算,熟练掌握运算顺序和运算法则是解题的关键,同时注意运算符号和漏项问题. (2)符合公式的要应用乘法公式去简化运算. (3)代入求值时,一般按照“当时,原式=”的格式书写.,因式分解(常考点),思路点拨:(1)先提取公因式,再应用平方差公式. (2)先提取公因式,再应用两数和的平方公式.,例5 分解因式: (1)(2019广安)3a4-3b4= . (2)(2019绵阳)m2n+2mn2+n3= .,3(a2+b2)(a+b)(a-b),n(m+n)2,解析:(1)3a4-3b
9、4 =3(a2+b2)(a2-b2) =3(a2+b2)(a+b)(a-b). (2)m2n+2mn2+n3 =n(m2+2mn+n2) =n(m+n)2.,(1)先看各项有无公因式,若有公因式先提公因式. (2)提公因式后看多项式的项数,若多项式有两项,则考虑用平方差公式因式分解;若多项式有三项,则考虑用两数和(差)的平方公式因式分解. (3)因式分解的结果一定要彻底,各因式均不能再分解为止.,1.(2019巴中)下列四个算式中,正确的是( ) (A)a+a=2a (B)a5a4=2a (C)(a5)4=a9 (D)a5-a4=a,A,解析:A.a+a=2a,故本选项正确; B.a5a4=a
10、,故本选项错误; C.(a5)4=a20,故本选项错误; D.a5-a4,不能合并,故本选项错误. 故选A.,A,2.(2019攀枝花)下列运算正确的是( ),(A)3a2-2a2=a2 (B)-(2a)2=-2a2 (C)(a-b)2=a2-b2 (D)-2(a-1)=-2a+1,解析:3a2-2a2=a2,故A正确; -(2a)2=-4a2,故B错误; (a-b)2=a2-2ab+b2,故C错误; -2(a-1)=-2a+2,故D错误. 故选A.,C,4.(2019眉山)分解因式:3a3-6a2+3a= .,3a(a-1)2,解析:3a3-6a2+3a=3a(a2-2a+1)=3a(a-1
11、)2.,4,5.(2019乐山)若3m=9n=2,则3m+2n= .,解析:3m=32n=2, 3m+2n=3m32n=22=4.,6.(2016内江)将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放,请仔细观察,第n个图形有 个小圆.(用含n的代数式表示),(n2+n+4),解析:第1个图形小圆个数为(4+12)个, 第2个图形小圆个数为(4+23)个, 第3个图形小圆个数为(4+34)个, 第4个图形小圆个数为(4+45)个, 第n个图形小圆个数为4+n(n+1)=(n2+n+4)个.,7.先化简,再求值. (1)(2017眉山)(a+3)2-2(3a+4),其中a=-2; (2)(2018乐山)(2m+1)(2m-1)-(m-1)2+(2m)3(-8m),其中m是方程x2+x-2=0的根.,解:(1)原式=a2+6a+9-6a-8=a2+1, 当a=-2时,原式=4+1=5. (2)原式=4m2-1-(m2-2m+1)+8m3(-8m) =4m2-1-m2+2m-1-m2 =2m2+2m-2, m是方程x2+x-2=0的根, m2+m-2=0,即m2+m=2, 则原式=2(m2+m-1)=2(2-1)=2.,点击进入 实战演练,
