1、中考冲刺：方案设计与决策型问题知识讲解（提高）责编：常春芳【中考展望】方案设计与决策型问题对于考查学生的数学创新应用能力非常重要如让学生设计图形、设计测量方案、设计最佳方案等都是近年考查的热点，题目多以解答题为主方案设计与决策型问题是近几年的热点试题，主要利用图案设计或经济决策来解决实际问题题型主要包括：1根据实际问题拼接或分割图形；2利用方程(组)、不等式(组)、函数等知识对实际问题中的方案进行比较等方案设计与决策问题就是给解题者提供一个问题情境，要求解题者利用所学的数学知识解决问题，这类问题既考查动手操作的实践能力，又培养创新品质，应该引起高度重视【方法点拨】解答决策型问题的一般思路，是通
2、过对题设信息进行全面分析、综合比较、判断优劣，从中寻找到适合题意的最佳方案解题策略：建立数学模型，如方程模型、不等式模型、函数模型、几何模型、统计模型等，依据所建的数学模型求解，从而设计方案，科学决策.【典型例题】类型一、利用方程（组）进行方案设计1国务院总理温家宝2011年11月16日主持召开国务院常务会议，会议决定建立青海三江源国家生态保护综合实验区现要把228吨物资从某地运往青海甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如表：运往地车型甲 地（元/辆）乙 地（元/辆）大货车小货车（1）求这两种货车
3、各多少辆？（2）如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运费为w元，求出w与a的函数关系式（写出自变量的取值范围）；（3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于120吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费【思路点拨】（1）设大货车用x辆，则小货车用18x辆，根据运输228吨物资，列方程求解；（2）设前往甲地的大货车为a辆，则前往乙地的大货车为（8a）辆，前往甲地的小货车为（9a）辆，前往乙地的小货车为10（9a）辆，根据表格所给运费，求出w与a的函数关系式；（3）结合已知条件，求a的取值范围，由（2）的函数关系式求使总运费最
4、少的货车调配方案.【答案与解析】解：（1）设大货车用x辆，小货车用y辆，根据题意得， 解得 答：大货车用8辆，小货车用10辆（2）根据题意，得w=720a+800（8-a）+500（9-a）+65010-（9-a）=70a+11550，w=70a+11550（0a8且为整数）.（3）16a+10（9-a）120，解得a5，又0a8，5a8且为整数，而w=70a+11550，k=700，w随a的增大而增大，当a=5时，w最小，最小值为W=705+11550=11900（元） 答：使总运费最少的调配方案是：5辆大货车，4辆小货车前往甲地；3辆大货车，6辆小货车前往乙地最少运费为11900元【总结升
5、华】这是一道典型的三个“一次”携手结伴的中考试题，把一元一次方程（组）、一元一次不等式和一次函数有机地结合起来，和谐搭配，形成知识系统化、习题系列化，可谓“一石三鸟”.类型二、利用不等式（组）进行方案设计【高清课堂：方案设计与决策型问题 例3】2（2015春文昌校级月考）为美化市容，园林部门决定利用现有的3600盆甲种花卉和2900盆乙种花卉搭配A，B两种园艺造型共50个，摆放在文庙广场，搭配每个造型所需花卉情况如表，解答问题： 造型甲乙 A90盆30盆 B40盆100盆（1）符合题意的搭配方案有哪几种？（2）若搭配一个A种造型的成本为1000元，搭配一个B种造型的成本为1200元，试说明选用
6、哪种方案成本最低？【思路点拨】（1）设需要搭配x个A种造型，则需要搭配B种造型（50x）个，根据题意列不等式组求解，取整数值即可；（2）通过计算比较得出那种方案成本最低【答案与解析】解：（1）设需要搭配x个A种造型，则需要搭配B种造型（50x）个，则有，解得：30x32，所以x=30或31或32第一方案：A种造型32个，B种造型18个；第二种方案：A种造型31个，B种造型19个；第三种方案：A种造型30个，B种造型20个（2）分别计算三种方案的成本为：321000+181200=53600，311000+191200=53800，301000+201200=54000，通过比较可知第一种方案成
7、本最低【总结升华】此题考查一元一次不等式组的实际运用，找出题目蕴含的不等关系是解决问题的关键举一反三：【变式】荣昌公司要将本公司100吨货物运往某地销售，经与春晨运输公司协商，计划租用甲、乙两种型号的汽车共6辆，用这6辆汽车一次将货物全部运走，其中每辆甲型汽车最多能装该种货物16吨，每辆乙型汽车最多能装该种货物18吨已知租用1辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需费用2500元；租用2辆甲型汽车和l辆乙型汽车共需费用2450元且同一种型号汽车每辆租车费用相同(1)求租用一辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别是多少元?(2)若荣昌公司计划此次租车费用不超过5000元通过计算求出该公司有几种租车方案?请你设计
8、出来，并求出最低的租车费用【答案】(1)设租用一辆甲型汽车的费用是x元，租用一辆乙型汽车的费用是y元由题意得 解得答：租用一辆甲型汽车的费用是800元，租用一辆乙型汽车的费用是850元(2)设租用甲型汽车z辆，则租用乙型汽车(6-z)辆由题意得解得2x4由题意知，z为整数， z2或z3或z4 共有3种方案，分别是：方案一：租用甲型汽车2辆，租用乙型汽车4辆；方案二：租用甲型汽车3辆，租用乙型汽车3辆；方案三：租用甲型汽车4辆，租用乙型汽车2辆方案一的费用是8002+85045000(元)；方案二的费用是8003+85034950(元)；方案三的费用是8004+85024900(元)500049
9、504900，所以最低运费是4900元答：共有3种方案，分别是：方案一：租用甲型汽车2辆，租用乙型汽车4辆；方案二：租用甲型汽车3辆，租用乙型汽车3辆；方案三：租用甲型汽车4辆，租用乙型汽车2辆最低运费是4900元类型三、利用方程（组）、不等式（组）综合知识进行方案设计3为了抓住梵净山文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元(1)求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？(2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7500
10、元，但不超过7650元，那么该商店共有几种进货方案？(3)若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第(2)问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？【思路点拨】这是一道融三个“一次”为一体的综合性应用题，体现了任何数学知识不是片面、孤立存在的，而是相互依赖、相互联系和相互作用的数学意识.【答案与解析】解：（1）设该商店购进一件A种纪念品需要a元，购进一件B种纪念品需要b元.根据题意得方程组解方程组，得购进一件A种纪念品需要100元，购进一件B种纪念品需要50元.（2）设该商店购进A种纪念品x件，则购进B种纪念品有（100x）件.解得50x53.x为正
11、整数,x可取50,51,52,53.共有4种进货方案.（3）设所获利润为y元，根据题意，有y=20x+30（100-x）=-10x+3000.-100，y随x的增大而减小，x=50时，y最大值=-5010+3000=2500(元).当购进A种纪念品50件，B种纪念品50件时，可获最大利润，最大利润是2500元.【总结升华】只要我们弄清了三个“一次”之间的内在联系，构建其模型，把握题型规律，梳理相关信息，就会轻松、有效地解决这类问题.举一反三：【变式】为了解决农民工子女就近入学问题，我市第一小学计划2012年秋季学期扩大办学规模学校决定开支八万元全部用于购买课桌凳、办公桌椅和电脑，要求购买的课桌
12、凳与办公桌椅的数量比为201，购买电脑的资金不低于16000元，但不超过24000元已知一套办公桌椅比一套课桌凳贵80元，用2000元恰好可以买到10套课桌凳和4套办公桌椅(课桌凳和办公桌椅均成套购进)(1)一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为多少元？(2)求出课桌凳和办公桌椅的购买方案【答案】解：(1)设一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为x元、y元，则，解得. 答：一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为120元，200元(2)设购买办公桌椅m套，则购买课桌凳20m套，由题意有160008000012020m200m24000，解得，21m24，m为整数，m22、23、24，有三种购买方案，具
13、体方案如下表：方案一方案二方案三课桌凳(套)440460480办公桌椅(套)222324类型四、利用函数知识进行方案设计4（2016营口）某花店准备购进甲、乙两种花卉，若购进甲种花卉20盆，乙种花卉50盆，需要720元；若购进甲种花卉40盆，乙种花卉30盆，需要880元（1）求购进甲、乙两种花卉，每盆各需多少元？（2）该花店销售甲种花卉每盆可获利6元，销售乙种花卉每盆可获利1元，现该花店准备拿出800元全部用来购进这两种花卉，设购进甲种花卉x盆，全部销售后获得的利润为W元，求W与x之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，考虑到顾客需求，要求购进乙种花卉的数量不少于甲种花卉数量的6倍，且不超过
14、甲种花卉数量的8倍，那么该花店共有几种购进方案？在所有的购进方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？【思路点拨】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得购进甲、乙两种花卉，每盆各需多少元；（2）根据题意可以写出W与x的函数关系式；（3）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以得到有几种购进方案，哪种方案获利最大，最大利润是多少【答案与解析】解：（1）设购进甲种花卉每盆x元，乙种花卉每盆y元，解得，即购进甲种花卉每盆16元，乙种花卉每盆8元；（2）由题意可得，W=6x+，化简，得W=4x+100，即W与x之间的函数关系式是：W=4x+100；（3），解得，10x12.5，故有
15、三种购买方案，由W=4x+100可知，W随x的增大而增大，故当x=12时，即购买甲种花卉12盆，乙种花卉76盆时，获得最大利润，此时W=412+100=148，即该花店共有三种购进方案，在所有的购进方案中，购买甲种花卉12盆，乙种花卉76盆时，获利最大，最大利润是148元【总结升华】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是明确题意、列出相应的方程组或不等式组类型五、利用几何知识进行方案设计5某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所饮水站，由供水站直接铺设管道到另外两处如图所示，
16、甲、乙两村坐落在夹角为30的两条公路的AB段和CD段(村子和公路的宽均不计)，点M表示这所中学点B在点M的北偏西30的3km处，点A在点M的正西方向，点D在点M的南偏西60的km处为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：方案一：供水站建在点M处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；方案二：供水站建在乙村(线段CD某处)，甲村要求管道铺设到A处，请你在图中，画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；方案三：供水站建在甲村(线段AB某处)，请你在图中，画出铺设到乙村某处和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值综上，你认为把供水站
17、建在何处，所需铺设的管道最短？【思路点拨】本题以紧密联系学生生活的“将军饮马”问题为原型，情景设计合理，设问层次分明，可以参照“将军饮马”问题来解决该题.【答案与解析】解：方案一：由题意可得：MBOB，点M到甲村的最短距离为MB点M到乙村的最短距离为MD将供水站建在点M处时，管道沿MD、MB线路铺设的长度之和最小即最小值为MB+MD方案二：如答图，作点M关于射线OE的对称点M，则MM2ME，连接AM交OE于点P，则PEAMAM2BM5，PE3在RtDME中，DEDMsin60，PEDEP、D两点重合即AM过D点在线段CD上任取一点P，连接PA，PM，PM，则PMPMAPPMAM把供水站建在乙村
18、的D点处，管道沿DA、DM线路铺设的长度之和最小即最小值为AD+DMAM方案三：如答图，作点M关于射线OF的对称点M，连接GM，则GMGM作MNOE于点N，交OF于点G，交AM于点H，MN为点M到OE的最短距离，即MNGM+GN在RtMHM中，MMN30，MM6MH3，NEMH3DE3，N、D两点重合，即MN过D点在RtMDM中，DM，MD在线段AB上任取一点G，过G作GNOE于点N，连接GM、GM显然GM+GNGM+GNMD把供水站建在甲村的G处，管道沿GM、GD线路铺设的长度之和最小即最小值为GM+GDMD综上，供水站建在M处，所需铺设的管道长度最短【总结升华】考查了学生的类比思想、操作、猜想论证和严密的数学思维能力，体现了对过程性目标的考查举一反三：【高清课堂：方案设计与决策型问题 例4】【变式】在ABC中，BCa，BC边上的高h2a，沿图中线段DE、CF将ABC剪开，分成的三块图形恰能拼成正方形CFHG，如图所示 请你解决如下问题：已知：在锐角ABC中，BCa，BC边上的高h请你设计两种不同的分割方法，将ABC沿分割线剪开后，所得的三块图形恰能拼成一个正方形，画出分割线及拼接后的图形【答案】
