1、解三角形的应用举例编稿：张林娟 审稿：孙永钊【学习目标】1. 能够利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题；2. 提高运用所学知识解决实际问题的能力，并初步掌握数学建模的思想方法；3. 掌握运用正弦定理、余弦定理解决几何计算问题的方法.【要点梳理】要点一：解三角形应用题的步骤解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识. 实际应用中，首先要弄清题意，画出直观示意图，将实际问题转化为解三角形的问题，再确定是哪类解三角形问题，即应用哪个定理来解决. 其解题的一般步骤是：(1) 准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已
2、知和所求，理清量与量之间的关系；(2) 根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型；(3) 分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解；(4) 将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题.解题时应认真分析题意，做到算法简练，算式工整，计算正确.要点二：解三角形应用题的基本思路检验画图解三角形实际问题数学问题数学问题的解实际问题的解要点三：实际问题中的一些名词、术语仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，
3、如图所示：坡角和坡度坡面与地平面所成的角度，叫做坡角；坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度或者坡比，常用字母i表示.坡比是坡角的正切值.方位角与方向角：方位角：一般指正北方向线顺时针旋转到到目标方向线的水平角. 方位角的取值范围为0360.如图，点的方位角是.方向角：一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北(南)偏东(西)多少度.如图为南偏西方向（指以正南方向为始边，向正西方向旋转）；如图为北偏东方向（指从正北开始向正东方向旋转）：东南方向：指经过目标的射线是正东与正南的夹角平分线.依此可类推西南方向、西北方向等；要点四：
4、解三角形应用中的常见题型用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有：1. 测量距离问题：这类问题的情景一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”，在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度.2. 测量高度问题：这类问题的情景属于“测量底（顶）部不能到达的物体的高度”.测量过程中，要注意选取适量不同的测量点，使测量有较高的精确度.3. 测量角度问题：这类问题的情景属于“根据需要，对某些物体定位”.测量数据越精确，定位精度越高.【典型例题】类型一：距离问题例1. 如图，设两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在的同侧，在所在的河岸边选定一点，测出的距离是42 m，
5、 ，.求两点的距离.【思路点拨】这是一道关于研究两个不可到达的点之间的距离测量问题. 题目条件告诉了边的长以及以为顶点的四个角，根据三角形的内角和定理和正弦定理很容易算出或；然后选择恰当的三角形，再利用余弦定理可以计算出的距离. 【解析】根据正弦定理，得，答: 两点间的距离为.【总结升华】1. 此题虽为解三角形问题的简单应用，但关键是把未知边所处的三角形找到，在转换过程中应注意排除题目中非数学因素的干扰，将数量关系从题目准确地提炼出来.2. 解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之. （2）已知量与未知量涉及两个或几个三
6、角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解. 3. 在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式. 举一反三：【变式】为了开凿隧道，要测量隧道上间的距离，为此在山的一侧选取适当点，如图，测得，又测得两点到隧道口的距离，在一条直线上)，计算隧道的长.【答案】在中，由余弦定理得.答：隧道长约为409.2 m.类型二：高度问题【高清课堂：解三角形应用举例377493 例2】例2. 某人在塔的正东沿着南偏西的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿
7、途测得塔的最大仰角为，求塔高.【思路点拨】找出“当看到塔的最大仰角时，某人的位置”是解决本题的关键. 先画出空间图形，再将空间问题转化为平面问题，利用正、余弦定理求解.【解析】由右图所示，过做于点，由题意知在点测得塔的最大仰角，在在. 由正弦定理，得在中，在中，（米）.故所求塔高为米.【总结升华】 注意仰角的概念. 举一反三：【变式1】如图，在山顶铁塔上处测得地面上一点的俯角，在塔底处测得处的俯角，已知铁塔的部分的高为，求山高.【答案】，假设，则， ，解得.【变式2】在某点处测得建筑物的顶端的仰角为，沿方向前进30 m，至点处测得顶端的仰角为，再继续前进m至点，测得顶端的仰角为4，求的大小和建
8、筑物的高. 【答案】方法一：用正弦定理求解由已知可得在中， 因为，得.在中，.答：所求角，建筑物高度为. 方法二：设方程来求解设.在中， 在中， -相得，.在中， =答：所求角，建筑物高度为.方法三：用倍角公式求解设建筑物高为.由题意，得，,m在中， 在中， 得cos2=，2=30，=15，AE=ADsin60=15答：所求角，建筑物高度为15m. 类型三：角度问题AB例3.甲船在处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60o方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？【思路点拨】（1）要弄清方位角的概
9、念，（2）画出示意图很关键，同时还要设好未知数，标注出来. 【解析】设经过x小时后，甲船和乙船分别到达C，D两点 ABDC此时，甲、乙两船相距最近【总结升华】在解决测量问题的有关题目时，要搞清方位角、俯角、与仰角等的含义，合理构造三角形求解，即把实际问题数学化.举一反三：【变式1】两灯塔、与海洋观察站的距离都等于，灯塔在观察站的北偏西30，灯塔在观察站南偏西60，则、之间的距离为 .【答案】如图，. 【变式2】如图所示，已知两座灯塔和与海洋观察站的距离都等于，灯塔在观察站的北偏东20，灯塔在观察站的南偏东40，则灯塔与灯塔的距离为( )A. B. C. D.【答案】B【高清课堂：解三角形的应用举例377493 例3】【变式3】如图所示，在海岸处，发现北偏东45方向，距为()km的B处有一艘走私船.在处北偏西75方向，距为2 km的处的缉私船奉命以km/h的速度追截走私船.此时走私船正以10 km/h的速度从处向北偏东30方向逃窜,则缉私船沿什么方向能最快追上走私船?并求出所需要的时间.【答案】设缉私船追上走私船需，则，.由余弦定理，得 ，由正弦定理，得，而，.，即， 答：缉私船向东偏北方向，只需便能追上走私船.
