高中数学必修5知识讲解_《数列》全章复习与巩固_提高

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资源描述

1、数列全章复习与巩固编稿:张林娟 审稿:孙永钊【学习目标】1系统掌握数列的有关概念和公式;2掌握等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式与前项和公式,并运用这些知识解决问题;3了解数列的通项公式与前项和公式的关系,能通过前项和公式求出数列的通项公式;4掌握常见的几种数列求和方法.【知识网络】数列的通项通项公式等差中项前n项和公式等差数列性质通项公式等比中项前n项和公式等比数列性质数列数列前n项和数列的递推公式应用【要点梳理】知识点一:等差数列1. 判定一个数列为等差数列的常用方法定义法:(常数)是等差数列;中项公式法:是等差数列;通项公式法:(p,q为常数)是等差数列;前项和公式法:(为常数)是

2、等差数列.要点诠释:对于探索性较强的问题,则应注意从特例入手,归纳猜想一般特性。2. 等差数列的通项公式及前项和通项公式:要点诠释: 该公式可改写为:当0时,是关于的常函数;当d0时,是关于的一次函数;点()分布在以为斜率的直线上,是这条直线上的一列孤立的点通项公式的推广:前n项和公式:要点诠释: 该公式可改写为:当0时,是关于的正比例函数;当d0时,是关于的二次函数(无常数项) 在应用时,注意相关性质的应用。3. 等差数列有关性质(1)若,则;特别地,若,则;(2)若成等差数列,则;(3)公差为的等差数列中,连续项和, 组成新的等差数列;(4)等差数列,前项和为:当为奇数时,;当为偶数时,;

3、.(5)等差数列,前项和为,则();(6)等差数列中,若,则;(7)等差数列中,公差,依次每项和:,成等差数列,新公差.3. 等差数列前项和的最值问题:等差数列中 若0,0,有最大值,可由不等式组来确定; 若0,0,有最小值,可由不等式组来确定,也可由前项和公式来确定.要点诠释:等差数列的求和中的函数思想是解决最值问题的基本方法.知识点二 :等比数列1. 判定一个数列是等比数列的常用方法(1)定义法:(是不为0的常数,N*)是等比数列;(2)通项公式法:(c、q均是不为0的常数N*)是等比数列;(3)中项公式法:(,)是等比数列. 2. 等比数列的通项公式及前项和通项公式:要点诠释: 该公式可

4、改写为:时,是关于的指数型函数; 时,是常数函数; 推广:.前项和公式:要点诠释: 在求等比数列前项和时,要注意区分和当时,等比数列的两个求和公式,共涉及、五个量,已知其中任意三个量,通过解方程组,便可求出其余两个量.3. 等比数列的主要性质:(1)若,则;特别,若,则;(2)等比数列中,若成等差数列,则成等比数列;(3)公比为的等比数列中,连续项和, 组成新的等比数列;(4)等比数列,前项和为,当为偶数时,;(5)等比数列中,公比为,依次每项和:,成公比为qk的等比数列;(6)若为正项等比数列,则(0且1)为等差数列;反之,若为等差数列,则(0且1)为等比数列;(7)等比数列前项积为,则.知

5、识点三:常见的数列通项公式求法1. 已知数列的前几项: 已知数列的前几项,通过观察法,归纳分析出数列的通项公式.2. 已知等差数列或等比数列:通过公式法求通项公式.类型通项公式等差数列等比数列3. 已知数列的递推关系式:形如,该数列为等差数列,利用公式法求数列的通项公式; 形如,该数列为等比数列,利用公式法求数列的通项公式. 形如,构造公比为的等比数列,利用公式法求解; 形如,通过累加法(迭加法)求数列的通项; 形如,通过累乘法(迭乘法)求数列的通项. 形如,两边取倒数,构造公差为的等差数列,利用公式法求通项.4. 已知,求:利用与的关系,即,可求得数列的通项公式.5. 已知,求:利用作商法,

6、即求数列的通项公式.知识点四:常见的数列求和方法1. 公式法:如果一个数列是等差数列或者等比数列,直接用其前项和公式求和。2. 分组求和法:将通项拆开成等差数列和等比数列相加或相减的形式,然后分别对等差数列和等比数列求和.如:.3. 裂项法:把数列的通项拆成两项之差,正负相消,剩下首尾若干项的方法.一般通项的分子为非零常数,分母为非常数列的等差数列的两项积的形式.若,分子为非零常数,分母为非常数列的等差数列的两项积的形式,则,如an= 4. 错位相减法:通项为非常数列的等差数列与等比数列的对应项的积的形式:, 其中 是公差0等差数列,是公比1等比数列,如.一般步骤:,则所以有要点诠释:求和中观

7、察数列的类型,选择合适的变形手段,注意错位相减中变形的要点.知识点五、通项与前项和的关系:任意数列的前项和;要点诠释:由前项和求数列通项时,要分三步进行:(1)求,(2)求出当2时的,(3)如果令2时得出的中的=1时有成立,则最后的通项公式可以统一写成一个形式,否则就只能写成分段的形式。知识点六:数列应用问题数列应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率(复利)以及等值增减等实际问题,需利用数列知识建立数学模型.建立数学模型的基本步骤: 审题认真阅读题目,准确理解题意,达到如下要求:明确问题属于哪类应用问题;弄清题目中的主要已知事项;

8、明确所求的结论是什么.建模将已知关系翻译成数学(数列)语言,将实际问题转化成数学问题,弄清楚该数列的结构和特征;求解求出该问题的数学解;还原将所求结果还原到实际问题中.要点诠释:数列的建模过程是解决数列应用题的重点,要正确理解题意,恰当设出数列的基本量.【典型例题】类型一:等差、等比数列概念及其性质例1. 在和之间插入个正数,使这个数依次成等比数列,求所插入的个数之积.【思路点拨】本题中,将看作已知量,运用基本量法或者等比数列的性质解决问题. 该题考查学生的推理论证能力与运算求解能力,综合性较强,同学们应认真分析。【答案】【解析】方法一:设插入的个数为,且公比为,则,()方法二:设插入的个数为

9、,【总结升华】第一种解法利用等比数列的基本量、,先求公比,后求其它量,这是解等差数列、等比数列的常用方法,其优点是思路简单、实用,缺点是有时计算较繁;第二种解法利用等比数列的性质,与“首末项等距”的两项积相等,这在解题中常用到.举一反三:【高清课堂:数列综合381084 例1】【变式1】已知两个等比数列,满足,.(1)若,求数列的通项公式;(2)若数列唯一,求的值.【答案】(1)或(2)【变式2】已知等差数列,公差,中部分项组成的数列,恰为等比数列,且知,.(1)求;(2)证明: . 【解析】依题意:,.,为等比数列,解得.等比数列的首项,公比,又在等差数列中是第项, (),解得.(2) 例2

10、. 已知等差数列,, , 则( )A.125 B.175C.225D.250【思路点拨】本题是关于等差数列的求值问题,故用常用的基本量法或者等差数列的性质解决即可。难点在于项数不确定,在解题过程中不妨采用合适的方法加以回避。【答案】C【解析】方法一:利用等差数列的性质为等差数列,,成等差数列,即, 解得,选C.方法二:特殊值法令,由题意可得,,, 选C.方法三:基本量法,,两式相减可得, .选C.【总结升华】三种解法各有各的特点,注意认真体会每一种解法,灵活应用. 本题还有其他的方法解析,在这里不再一一介绍,同学们有时间可仔细研究。举一反三:【变式】已知等比数列,, , 则()A.75 B.2

11、880 C. D.63【答案】D例3 如果一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32:27,求公差.【思路点拨】这是关于等差数列的求值问题,采用基本量法解决即可. 注意奇数项的首项为,公差为22;偶数项首项为,公差为.【答案】 5【解析】设等差数列首项为,公差为d,则所以该数列的公差是5.【总结升华】 1. 恰当地选择设未知数,列方程(组)求解.方程思想在数列中很重要.2. 等差(比)数列的首项和公差(比)是关键.举一反三:【变式】已知:三个数成等比数列,积为216,若第二个数加上4,则它们构成一个等差数列,求这三个数.【答案】这三个数为2,6,18或18,6

12、,2.例4等差数列中,,,则它的前_ 项和最大,最大项的值是_.【思路点拨】等差数列的首项0,公差必然是负数,这样前项和有最大值. 取得最大值时的项为数列中最后一个正数(或0),它处于正负相间的位置,满足【答案】7,49【解析】设公差为, 由题意得,得,是首项为正数的递减数列,有最大值.又,所以为最大值,即=713+=49.【总结升华】等差数列的前n项和公式是一个二次的函数,当时,函数有最大值.举一反三:【变式】若数列是等差数列,数列满足,的前项和用表示,若中满足,试问多大时,取得最大值,证明你的结论.【解析】,解得0,故是首项为正的递减数列.则有,即解得:1516,=16,即0,0即: 于是

13、而, 又 0, ,故中最大.例5. 设分别为等差数列,的前项和,满足,求.【思路点拨】用好等差数列中 与的一个关系: 是解好本题的一个关键.【答案】【解析】方法一:方法二:设, .【总结升华】等差数列的中项在前项和式中的应用是解决本例的关键,也应注意到前项和与通项公式的联系.举一反三:【变式1】等差数列中,=50,求项数.【答案】10 【高清课堂:数列综合381084 例2】【变式2】在数列中,(1)设,证明是等比数列.(2) 求数列的通项公式.(3) 若是与的等差中项,求的值;并证明:对任意的,是与的等差中项.【解析】(1)利用定义证明(2)(3)证明时,不合题意时,由是与的等差中项可求又

14、即是与的等差中项.类型二:与的关系式的综合运用例6. 在数列中,是其前项和,若1,则_.【思路点拨】已知的混合式,一般采用降角标作差的方法,化为的递推关系式,可知数列为等比数列.【答案】【解析】由题意, , 得,即,当时,当时,.【总结升华】已知求要先分和两种情况进行计算,然后验证能否统一.举一反三:【变式1】已知数列的前项和如下,分别求它们的通项公式. (1); (2)【解析】(1)当时,;当时, ,又时,(2),则当=1时, =;当2时, =,又=1时, ()0=, 满足上式.【变式2】已知数列的前项和为,.(1)求;(2)求证:数列是等比数列.【解析】(1)由,得,又,即,得.(2)证明

15、:当时,由题意,得,又,所以为首项为,公比为的等比数列.例7. 数列的前项和为,若对于恒成立,求.【思路点拨】已知的混合式,一般采用降角标作差的方法,化为的递推关系式.【答案】【解析】由题意 得,即,在中,当时,.【总结升华】本例利用了与的关系,注意对的验证.举一反三:【变式1】在数列中,已知,前项和与通项满足,求这个数列的通项公式. 【解析】因为从而由已知得到:即,于是得到,就可以得到:.【变式2】若数列的相邻两项、是方程的两根,又,求数列的前项和.【解析】由韦达定理得,得 , 数列与均成等比数列,且公比都为,由,得,(I)当为偶数时,令(),.(II)当为奇数时,令(), .类型三:特殊数

16、列的求和例8. 求数列1,的前项和.【思路点拨】本题求和后,不宜直接分组,应该把通项化简变形后,再决定如何分组求和. 本题含参数,注意讨论.【解析】(1)当时, (2)当时,;(3)当,原数列为1,0,1,0,1,0, 若为偶数,令(),则; 若为奇数,令(),则.【总结升华】分类讨论和n的奇偶是本例化简的关键.举一反三:【变式1】求数列的前项和.【答案】.【变式2】求和:【答案】a=0或b=0时,当a=b时,;当ab时,类型四:求数列的通项公式例9写出数列:,的一个通项公式.【思路点拨】观察该数列,各项是由三部分构成:符号、分子和分母. 不妨把它看成三个数列,分别求其通项. 【答案】通项公式

17、为:.【解析】从各项符号看,负正相间,可用符号表示;数列各项的分子:1,3,5,7,是个奇数列,可用表示;数列各项的分母:5,10,17,26,恰是, ,可用表示;所以该数列的通项公式可写为.【总结升华】求数列的通项公式就是求数列中第项与项数之间的数学关系式.如果把数列的第1,2,3,项分别记作,那么求数列的通项公式就是求以正整数(项数)为自变量的函数的表达式;通项公式若不要求写多种形式,一般只写出一个常见的公式即可; 给出数列的构造为分式时,可从各项的符号、分子、分母三方面去分析归纳,还可联想常见数列的通项公式,以此参照进行比较.举一反三:【变式1】数列:,的一个通项公式是( )A. B.C

18、. D.【解析】采用验证排除法,令,则A、B、C皆被排除,故选D.【变式2】根据下列条件,写出数列中的前4项,并归纳猜想其通项公式:(1);(2);【解析】(1),猜想得;(2)a1=a,a2=,a3=,a4=,猜想得an=;例10已知数列中,求.【解析】法一:设,解得即原式化为设,则数列为等比数列,且法二: 由得:设,则数列为等比数列法三:,【总结升华】求数列通项公式,特别是由递推公式给出数列时,除迭加、迭代、迭乘等基本方法外,还应注意根据递推关系式的特点,进行转化,变形为与是等差(等比)有关的数列.举一反三:【变式1】 数列的首项为,为等差数列且若则,则A0 B3 C8 D11【答案】B

19、【变式2】在数列中, =,求.【答案】类型五:应用题例11某地区现有耕地10000公顷,规划10年后粮食单产比现在增加,人均粮食占有量比现在提高,如果人口年增长率为,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷?(精确到1公顷)(粮食单产=占有量/耕地面积,人均粮食占有量=占有量/总人口数)【思路点拨】本题名词较多,不宜理解。为方便计,同学们可列一表格,如下:设现在总人口为人,人均粮食占有量为吨,现在耕地共有公顷. 总人口人均粮食占有量耕地面积粮食单产现在1000010年后【答案】4【解析】方法一:由题意,设现在总人口为人,人均粮食占有量为吨,现在耕地共有公顷,于是现在的粮食单产量吨/公顷,10年后总

20、人口为,人均粮食占有量吨,若设平均每年允许减少公顷,则10年耕地共有()公顷,于是10年后粮食单产量为吨/公顷.由粮食单产10年后比现在增加得不等式:化简可得即,(公顷)答:按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷.方法二:由题意,设现在总人口为人,粮食单产为吨/公顷,现在共有耕地公顷,于是现在人均粮食占有量吨/人,10年后总人口为,粮食单产吨/公顷,若设平均每年允许减少公顷,则10年后耕地将有()公顷,于是10年后粮食总产量为,人均粮食占有量为,由人均粮食占有量10年后比现在增加得不等式:,(余与上同).【总结升华】解应用题的关键是建立数学模型,只要把模型中的量具体化就可得相应的解析式.举一反三:【变式】某地区原有森林木材存量为,且每年增长率为,因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为,设为年后该地区森林木材存量.(1)写出的表达式.(2)为保护生态环境,防止水土流失,该地区每年的森林木材存量应不少于,如果,那么今后该地区会发生水土流失吗?若会,要经过几年?(取).【解析】(1)依题意,第一年森林木材存量为,1年后该地区森林木材存量为:,2年后该地区森林木材存量为:,3年后该地区森林木材存量为:,4年后该地区森林木材存量为:, 年后该地区森林木材存量为:(2)若时,依题意该地区今后会发水土流失,则森林木材存量必须小于,即 ,解得,即,.答:经过8年该地区就开始水土流失.

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