1、数列全章复习与巩固编稿：张林娟 审稿：孙永钊【学习目标】1系统掌握数列的有关概念和公式；2掌握等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式与前项和公式，并运用这些知识解决问题；3了解数列的通项公式与前项和公式的关系，能通过前项和公式求出数列的通项公式；4掌握常见的几种数列求和方法.【知识网络】数列的通项通项公式等差中项前n项和公式等差数列性质通项公式等比中项前n项和公式等比数列性质数列数列前n项和数列的递推公式应用【要点梳理】知识点一：等差数列1. 判定一个数列为等差数列的常用方法定义法：（常数）是等差数列；中项公式法：是等差数列；通项公式法：（p，q为常数）是等差数列；前项和公式法：（为常数）是
2、等差数列.要点诠释：对于探索性较强的问题，则应注意从特例入手，归纳猜想一般特性。2. 等差数列的通项公式及前项和通项公式：要点诠释： 该公式可改写为：当0时，是关于的常函数；当d0时，是关于的一次函数；点()分布在以为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点通项公式的推广：前n项和公式：要点诠释： 该公式可改写为：当0时，是关于的正比例函数；当d0时，是关于的二次函数（无常数项） 在应用时，注意相关性质的应用。3. 等差数列有关性质（1）若，则；特别地，若，则；（2）若成等差数列，则；（3）公差为的等差数列中，连续项和， 组成新的等差数列；（4）等差数列，前项和为：当为奇数时，；当为偶数时，；
3、.（5）等差数列，前项和为，则（）；（6）等差数列中，若，则；（7）等差数列中，公差，依次每项和：，成等差数列，新公差.3. 等差数列前项和的最值问题：等差数列中 若0，0，有最大值，可由不等式组来确定； 若0，0，有最小值，可由不等式组来确定，也可由前项和公式来确定.要点诠释：等差数列的求和中的函数思想是解决最值问题的基本方法.知识点二 ：等比数列1. 判定一个数列是等比数列的常用方法（1）定义法：（是不为0的常数，N*）是等比数列；（2）通项公式法：（c、q均是不为0的常数N*）是等比数列；（3）中项公式法：（，）是等比数列. 2. 等比数列的通项公式及前项和通项公式：要点诠释： 该公式可
4、改写为：时，是关于的指数型函数； 时，是常数函数； 推广：.前项和公式：要点诠释： 在求等比数列前项和时，要注意区分和当时，等比数列的两个求和公式，共涉及、五个量，已知其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量.3. 等比数列的主要性质：（1）若，则；特别，若，则；（2）等比数列中，若成等差数列，则成等比数列；（3）公比为的等比数列中，连续项和， 组成新的等比数列；（4）等比数列，前项和为，当为偶数时，；（5）等比数列中，公比为，依次每项和：，成公比为qk的等比数列；（6）若为正项等比数列，则（0且1）为等差数列；反之，若为等差数列，则（0且1）为等比数列；（7）等比数列前项积为，则.知
5、识点三：常见的数列通项公式求法1. 已知数列的前几项： 已知数列的前几项，通过观察法，归纳分析出数列的通项公式.2. 已知等差数列或等比数列：通过公式法求通项公式.类型通项公式等差数列等比数列3. 已知数列的递推关系式：形如，该数列为等差数列，利用公式法求数列的通项公式； 形如，该数列为等比数列，利用公式法求数列的通项公式. 形如，构造公比为的等比数列，利用公式法求解； 形如，通过累加法（迭加法）求数列的通项； 形如，通过累乘法（迭乘法）求数列的通项. 形如，两边取倒数，构造公差为的等差数列，利用公式法求通项.4. 已知，求：利用与的关系，即，可求得数列的通项公式.5. 已知，求：利用作商法，
6、即求数列的通项公式.知识点四：常见的数列求和方法1. 公式法：如果一个数列是等差数列或者等比数列，直接用其前项和公式求和。2. 分组求和法：将通项拆开成等差数列和等比数列相加或相减的形式，然后分别对等差数列和等比数列求和.如：.3. 裂项法：把数列的通项拆成两项之差，正负相消，剩下首尾若干项的方法.一般通项的分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式.若，分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式,则，如an= 4. 错位相减法：通项为非常数列的等差数列与等比数列的对应项的积的形式：, 其中 是公差0等差数列，是公比1等比数列，如.一般步骤：，则所以有要点诠释：求和中观
7、察数列的类型，选择合适的变形手段，注意错位相减中变形的要点.知识点五、通项与前项和的关系：任意数列的前项和；要点诠释：由前项和求数列通项时，要分三步进行：（1）求，（2）求出当2时的，（3）如果令2时得出的中的=1时有成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式。知识点六：数列应用问题数列应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.建立数学模型的基本步骤： 审题认真阅读题目，准确理解题意，达到如下要求：明确问题属于哪类应用问题；弄清题目中的主要已知事项；
8、明确所求的结论是什么.建模将已知关系翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学问题，弄清楚该数列的结构和特征；求解求出该问题的数学解；还原将所求结果还原到实际问题中.要点诠释：数列的建模过程是解决数列应用题的重点，要正确理解题意，恰当设出数列的基本量.【典型例题】类型一：等差、等比数列概念及其性质例1. 在和之间插入个正数，使这个数依次成等比数列，求所插入的个数之积.【思路点拨】本题中，将看作已知量，运用基本量法或者等比数列的性质解决问题. 该题考查学生的推理论证能力与运算求解能力，综合性较强，同学们应认真分析。【答案】【解析】方法一：设插入的个数为，且公比为，则，（）方法二：设插入的个数为
9、，【总结升华】第一种解法利用等比数列的基本量、，先求公比，后求其它量，这是解等差数列、等比数列的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较繁；第二种解法利用等比数列的性质，与“首末项等距”的两项积相等，这在解题中常用到.举一反三：【高清课堂：数列综合381084 例1】【变式1】已知两个等比数列，满足，.（1）若，求数列的通项公式；（2）若数列唯一，求的值.【答案】（1）或（2）【变式2】已知等差数列，公差，中部分项组成的数列，恰为等比数列，且知,.（1）求；（2）证明: . 【解析】依题意:，.，为等比数列，解得.等比数列的首项，公比，又在等差数列中是第项， （），解得.（2） 例2
10、. 已知等差数列，, , 则（ ）A.125 B.175C.225D.250【思路点拨】本题是关于等差数列的求值问题，故用常用的基本量法或者等差数列的性质解决即可。难点在于项数不确定，在解题过程中不妨采用合适的方法加以回避。【答案】C【解析】方法一：利用等差数列的性质为等差数列，,成等差数列，即， 解得,选C.方法二：特殊值法令，由题意可得,，, 选C.方法三：基本量法,，两式相减可得， .选C.【总结升华】三种解法各有各的特点，注意认真体会每一种解法，灵活应用. 本题还有其他的方法解析，在这里不再一一介绍，同学们有时间可仔细研究。举一反三：【变式】已知等比数列，, , 则（）A.75 B.2
11、880 C. D.63【答案】D例3 如果一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32：27，求公差.【思路点拨】这是关于等差数列的求值问题，采用基本量法解决即可. 注意奇数项的首项为，公差为22；偶数项首项为，公差为.【答案】 5【解析】设等差数列首项为，公差为d，则所以该数列的公差是5.【总结升华】 1. 恰当地选择设未知数，列方程（组）求解.方程思想在数列中很重要.2. 等差（比）数列的首项和公差（比）是关键.举一反三：【变式】已知：三个数成等比数列，积为216，若第二个数加上4，则它们构成一个等差数列,求这三个数.【答案】这三个数为2，6，18或18，6
12、，2.例4等差数列中，,，则它的前_ 项和最大，最大项的值是_.【思路点拨】等差数列的首项0，公差必然是负数，这样前项和有最大值. 取得最大值时的项为数列中最后一个正数（或0），它处于正负相间的位置，满足【答案】7，49【解析】设公差为, 由题意得，得,是首项为正数的递减数列，有最大值.又,所以为最大值，即=713+=49.【总结升华】等差数列的前n项和公式是一个二次的函数，当时，函数有最大值.举一反三：【变式】若数列是等差数列，数列满足，的前项和用表示，若中满足，试问多大时，取得最大值，证明你的结论.【解析】，解得0，故是首项为正的递减数列.则有,即解得：1516，=16，即0，0即： 于是
13、而， 又 0， ，故中最大.例5. 设分别为等差数列，的前项和，满足，求.【思路点拨】用好等差数列中 与的一个关系： 是解好本题的一个关键.【答案】【解析】方法一：方法二：设， .【总结升华】等差数列的中项在前项和式中的应用是解决本例的关键，也应注意到前项和与通项公式的联系.举一反三：【变式1】等差数列中，=50，求项数.【答案】10 【高清课堂：数列综合381084 例2】【变式2】在数列中，（1）设，证明是等比数列.(2) 求数列的通项公式.(3) 若是与的等差中项，求的值；并证明：对任意的，是与的等差中项.【解析】（1）利用定义证明（2）（3）证明时，不合题意时，由是与的等差中项可求又
14、即是与的等差中项.类型二：与的关系式的综合运用例6. 在数列中，是其前项和，若1，则_.【思路点拨】已知的混合式，一般采用降角标作差的方法，化为的递推关系式，可知数列为等比数列.【答案】【解析】由题意， ， 得，即，当时，当时，.【总结升华】已知求要先分和两种情况进行计算，然后验证能否统一.举一反三：【变式1】已知数列的前项和如下，分别求它们的通项公式. （1）； （2）【解析】(1)当时,；当时, ,又时，（2），则当=1时, =；当2时, =,又=1时, ()0=, 满足上式.【变式2】已知数列的前项和为，.（1）求；（2）求证：数列是等比数列.【解析】（1）由，得，又，即，得.（2）证明
15、：当时，由题意，得，又，所以为首项为，公比为的等比数列.例7. 数列的前项和为，若对于恒成立，求.【思路点拨】已知的混合式，一般采用降角标作差的方法，化为的递推关系式.【答案】【解析】由题意 得，即，在中，当时，.【总结升华】本例利用了与的关系，注意对的验证.举一反三：【变式1】在数列中，已知，前项和与通项满足，求这个数列的通项公式. 【解析】因为从而由已知得到：即，于是得到，就可以得到：.【变式2】若数列的相邻两项、是方程的两根，又，求数列的前项和.【解析】由韦达定理得，得 ， 数列与均成等比数列，且公比都为，由，得,(I)当为偶数时，令（）,.(II)当为奇数时，令（）， .类型三：特殊数
16、列的求和例8. 求数列1，的前项和.【思路点拨】本题求和后，不宜直接分组，应该把通项化简变形后，再决定如何分组求和. 本题含参数，注意讨论.【解析】（1）当时， （2）当时，；（3）当，原数列为1，0，1，0，1，0， 若为偶数，令（），则； 若为奇数，令（），则.【总结升华】分类讨论和n的奇偶是本例化简的关键.举一反三：【变式1】求数列的前项和.【答案】.【变式2】求和：【答案】a=0或b=0时，当a=b时，；当ab时，类型四：求数列的通项公式例9写出数列：，的一个通项公式.【思路点拨】观察该数列，各项是由三部分构成：符号、分子和分母. 不妨把它看成三个数列，分别求其通项. 【答案】通项公式
17、为：.【解析】从各项符号看，负正相间，可用符号表示；数列各项的分子：1，3，5，7，是个奇数列，可用表示；数列各项的分母：5，10，17，26，恰是, ,可用表示；所以该数列的通项公式可写为.【总结升华】求数列的通项公式就是求数列中第项与项数之间的数学关系式.如果把数列的第1，2，3，项分别记作，那么求数列的通项公式就是求以正整数(项数)为自变量的函数的表达式；通项公式若不要求写多种形式，一般只写出一个常见的公式即可； 给出数列的构造为分式时，可从各项的符号、分子、分母三方面去分析归纳，还可联想常见数列的通项公式，以此参照进行比较.举一反三：【变式1】数列：，的一个通项公式是（ ）A. B.C
18、. D.【解析】采用验证排除法，令,则A、B、C皆被排除，故选D.【变式2】根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想其通项公式：（1）；(2)；【解析】（1），猜想得；(2)a1=a,a2=,a3=,a4=，猜想得an=；例10已知数列中，求.【解析】法一：设，解得即原式化为设，则数列为等比数列，且法二： 由得：设，则数列为等比数列法三：，【总结升华】求数列通项公式，特别是由递推公式给出数列时，除迭加、迭代、迭乘等基本方法外，还应注意根据递推关系式的特点，进行转化，变形为与是等差（等比）有关的数列.举一反三：【变式1】 数列的首项为，为等差数列且若则，则A0 B3 C8 D11【答案】B
19、【变式2】在数列中， =，求.【答案】类型五：应用题例11某地区现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加，人均粮食占有量比现在提高，如果人口年增长率为，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？（精确到1公顷）（粮食单产=占有量/耕地面积，人均粮食占有量=占有量/总人口数）【思路点拨】本题名词较多，不宜理解。为方便计，同学们可列一表格，如下：设现在总人口为人，人均粮食占有量为吨，现在耕地共有公顷. 总人口人均粮食占有量耕地面积粮食单产现在1000010年后【答案】4【解析】方法一：由题意，设现在总人口为人，人均粮食占有量为吨，现在耕地共有公顷，于是现在的粮食单产量吨/公顷，10年后总
20、人口为，人均粮食占有量吨，若设平均每年允许减少公顷，则10年耕地共有()公顷，于是10年后粮食单产量为吨/公顷.由粮食单产10年后比现在增加得不等式：化简可得即，(公顷)答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷.方法二：由题意，设现在总人口为人，粮食单产为吨/公顷，现在共有耕地公顷，于是现在人均粮食占有量吨/人，10年后总人口为，粮食单产吨/公顷，若设平均每年允许减少公顷，则10年后耕地将有()公顷，于是10年后粮食总产量为，人均粮食占有量为，由人均粮食占有量10年后比现在增加得不等式：，（余与上同）.【总结升华】解应用题的关键是建立数学模型，只要把模型中的量具体化就可得相应的解析式.举一反三：【变式】某地区原有森林木材存量为，且每年增长率为，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为，设为年后该地区森林木材存量.（1）写出的表达式.（2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量应不少于,如果，那么今后该地区会发生水土流失吗？若会，要经过几年？（取）.【解析】（1）依题意，第一年森林木材存量为，1年后该地区森林木材存量为：，2年后该地区森林木材存量为：，3年后该地区森林木材存量为：，4年后该地区森林木材存量为：， 年后该地区森林木材存量为：（2）若时，依题意该地区今后会发水土流失，则森林木材存量必须小于，即 ，解得，即，.答：经过8年该地区就开始水土流失.
