1、第2课时不等式的证明最新考纲考情考向分析通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法.主要考查用比较法、综合法、分析法证明不等式，题型为解答题，中档难度.1.比较法(1)作差比较法知道abab0，ababb，只要证明ab0即可，这种方法称为作差比较法.(2)作商比较法由ab01且a0，b0，因此当a0，b0时，要证明ab，只要证明1即可，这种方法称为作商比较法.2.综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法，即“由因导果”的方法.3.分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等
2、式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫做分析法，即“执果索因”的方法.4.反证法先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立.5.放缩法证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的.概念方法微思考1.综合法与分析法有何内在联系？提示综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚，当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证
3、明的思路，而用综合法叙述、表达整个证明过程.2.分析法的过程中为什么要使用“要证”，“只需证”这样的连接“关键词”？提示因为“要证”“只需证”这些词说明了分析法需要寻求的是充分条件，符合分析法的思维是逆向思维的特点，因此在证题时，这些词是必不可少的.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)当a0，b0时，.()(2)用反证法证明命题“a，b，c全为0”的假设为“a，b，c全不为0”.()(3)若实数x，y适合不等式xy1，xy2，则x0，y0.()(4)若ma2b，nab21，则nm.()题组二教材改编2.已知a，bR，ab2，则的最小值为()A.1 B.2C.4
4、 D.8答案B解析因为a，bR，且ab2，所以(ab)2224，所以2，即的最小值为2(当且仅当ab1时，“”成立).故选B.3.若a，b，mR，且ab，则下列不等式一定成立的是()A. B.C. D.b.所以0，即，故选B.题组三易错自纠4.已知abc0，abbcac0，abc0，用反证法求证a0，b0，c0时的反设为()A.a0，b0，c0，c0C.a，b，c不全是正数 D.abcb1，xa，yb，则x与y的大小关系是()A.xy B.xb1，得ab1，ab0，所以0，即xy0，所以xy.故选A.6.若a，b，c，则a，b，c的大小关系为()A.abc B.acb C.bca D.cab答
5、案A解析“分子”有理化得a，b，c，abc.题型一用综合法与分析法证明不等式例1 (1)已知x，y均为正数，且xy，求证：2x2y3；(2)设a，b，c0且abbcca1，求证：abc.证明(1)因为x0，y0，xy0，2x2y2(xy)(xy)(xy)33(当且仅当xy1时，等号成立)，所以2x2y3.(2)因为a，b，c0，所以要证abc，只需证明(abc)23.即证a2b2c22(abbcca)3，而abbcca1，故需证明a2b2c22(abbcca)3(abbcca)，即证a2b2c2abbcca.而abbccaa2b2c2(当且仅当abc时等号成立)成立，所以原不等式成立.思维升华
6、 用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野.跟踪训练1 (2017全国)已知a0，b0，a3b32，证明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.证明(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a4b42a2b2)4ab(a2b2)24.(2)因为(ab)3a33a2b3ab2b
7、323ab(ab)2(ab)2(当且仅当ab时，取等号)，所以(ab)38，因此ab2.题型二放缩法证明不等式例2 (1)设a0，|y2|，求证：|2xy4|0，|x1|，可得|2x2|，又|y2|，|2xy4|(2x2)(y2)|2x2|y2|a.即|2xy4|a.(2)设n是正整数，求证：n(k1,2，n)，得.当k1时，；当k2时，；当kn时，1.原不等式成立.思维升华(1)在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的证明技巧，常见的放缩方法有：变换分式的分子和分母，如，上面不等式中kN，k1；利用函数的单调性；利用结论，如“若0a0，则.”(2)使用绝对值不等式的性质证明不等式时，常与放缩
8、法结合在一起应用，利用放缩法时要目标明确，通过添、拆项后，适当放缩.跟踪训练2 设f(x)x2x1，实数a满足|xa|1，求证：|f(x)f(a)|2(|a|1).证明|f(x)f(a)|x2xa2a|xa|xa1|xa1|xa2a1|xa|2a1|1|2a|12(|a|1)，即|f(x)f(a)|0，n0)，求证：m4n23.(1)解当a2时，不等式为|x2|x1|7，或或解得x2或x5.不等式的解集为(，25，).(2)证明由f(x)1，即|xa|1，解得a1xa1，而f(x)1的解集是0,2，解得a1，1(m0，n0)，m4n(m4n)323.当且仅当m1，n时等号成立.2.已知函数f(
9、x)|x3|.(1)求不等式f(x)2a22b2.(1)解当x3时，|x3|x1等价于x3x1，不等式恒成立，所以x3；当x3时，|x3|x1等价于3x1，所以1x3，综上可知，不等式f(x)1.(2)证明因为(a21)(b21)(2a22b2)(ab)2a2b212a22b2(ab)2a2b21(a21)(b21)，又因为a，bM，所以a1，b1，因此a21，b21，a210，b210，所以(a21)(b21)0，所以原不等式(a21)(b21)2a22b2成立.3.已知函数f(x)|x5|，g(x)5|2x3|.(1)解不等式f(x)g(x)；(2)设Ff(x2y2)g(3y12)，求证：
10、F2.(1)解由题意得原不等式为|x5|2x3|5，等价于或或解得x或x3或1x，综上可得1x3.原不等式的解集为x|1x0，b0，且a2b22.(1)若|2x1|x1|恒成立，求x的取值范围；(2)证明：(a5b5)4.(1)解设y|2x1|x1|由a2b22，得(a2b2)1，故(a2b2)，当且仅当a2，b2时取等号，所以|2x1|x1|.当x1时，x，得1x；当x1时，3x2，解得x，故x1；当x时，x，解得x，故x，综上可知，x.(2)证明(a5b5)a4b4，(a2b2)22a2b2，(a2b2)22 2a2b2(a2b2)24，当且仅当ab1时取等号.5.(1)如果关于x的不等式|x3|x2|5，参数m的取值范围为(5，).(2)证明a2b22ab(a0，b0)，即a.由于0hmina,01，且f(ab)|a|f，证明：|b|3.(1)解|x3|x2|5，当x3时，(x3)(x2)5，x5；当2x3时，(3x)(x2)5,15，无解；当x|a|f等价于|ab3|a|，即|ab3|b3a|，则(ab3)2(b3a)2，化简得a2b29b29a20，即(a21)(b29)0.因为|a|1，所以a210，所以b290，|b|3.
