1、第2课时等差数列的性质学习目标1.了解等差中项的概念.2.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.3.能运用等差数列的性质解决有关问题知识点一等差数列的单调性与图像从函数角度研究等差数列的性质与图像由anf(n)a1(n1)ddn(a1d)，可知其图像是直线ydx(a1d)上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加d.当d0时，an为递增数列，如图甲所示当d0时，an为递减数列，如图乙所示当d0时，an为常数列，如图丙所示知识点二等差中项的概念如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项，即A.知识
2、点三等差数列的性质1若数列an是等差数列，m，n，p，qN，且mnpq，则amanapaq，反之不一定成立特别地，若mn2p，则aman2ap.2若数列an为等差数列，其公差为d，m，nN且mn，则anam(nm)d.3若数列an为等差数列，且公差为d，则数列anb(，b是常数)是公差为d的等差数列4若an是等差数列，则ak，akm，ak2m，(k，mN)组成公差为md的等差数列5若an，bn是等差数列，则anbn，kanbn(k为常数)也是等差数列思考若an1an12an(n2，nN)，则数列an是不是等差数列？答案an是等差数列1已知等差数列任意两项求公差的实质是已知直线上任意两点求斜率(
3、)2在等差数列an中，a10a1a9.()3等差数列an中，若l，m，n，p，q，rN，且lmnpqr，则alamanapaqar.()4等差数列an中，若mn为偶数，且m，nN，则 .()题型一等差数列与一次函数的关系例1已知数列an的通项公式anpnq(nN)，其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？解取数列an中任意相邻两项an和an1(n2)，求差得anan1(pnq)p(n1)qpnq(pnpq)p.它是一个与n无关的常数，所以an是等差数列由于anpnqqp(n1)p，所以首项a1pq，公差dp.反思感悟根据等差数列an的通项公式ana1(n1)
4、ddn(a1d)，可知an为等差数列anpnq(p，q为常数)，此结论可用来判断an是否为等差数列，也揭示了等差数列的函数本质跟踪训练1若数列an满足a115,3an13an2(nN)，则使akak10，a240)，a1a32a2，a1a2a33a215，a25，又a1a2a380，a1a3(5d)(5d)16d3或d3(舍去)，a12a210d35，a11a12a133a12105.数列求值问题的多种解法典例在等差数列an中，已知a1a4a739，a2a5a833，求a3a6a9的值解方法一a1a4a7a1(a13d)(a16d)3a19d39，a13d13，a2a5a8(a1d)(a14d
5、)(a17d)3a112d33.a14d11，联立解得a3a6a9(a12d)(a15d)(a18d)3a115d31915(2)27.方法二(a2a5a8)(a1a4a7)3d，(a3a6a9)(a2a5a8)3d，a1a4a7，a2a5a8，a3a6a9成等差数列a3a6a92(a2a5a8)(a1a4a7)2333927.方法三a1a4a73a439，a413，又a2a5a83a533，a511，又a4a62a5，a62a5a422139，a3a6a93a627.素养评析(1)等差数列中的计算大致有两条路：一是都化为基本量(a1，d，n)的等量关系然后解方程(组)；二是借助等差数列性质简
6、化计算前者是通用方法，但计算量大，后者不一定每个题都能用，能用上会使计算简单些，所以建议学习者立足通法，注意观察各项序号特点，能巧则巧，但不要刻意追求巧法(2)理解运算对象，选择运算方法，求得运算结果，是数学运算的数学核心素养的体现.1已知an为等差数列，a3a714，则a5等于()A4 B5 C6 D7答案D解析a5是a3与a7的等差中项，a3a72a514，a57.2等差数列an中，a4a515，a712，则a2等于()A3 B3 C. D答案A解析由数列的性质，得a4a5a2a7，所以a215123.3等差数列an的各项都是负数，且aa2a3a89，则a5a6的值为()A3 B3 C3
7、D9答案B解析由aa2a3a89，得(a3a8)29，得a3a83，又a5a6a3a8且an各项都是负数，a5a63.4在数列an中，a32，a71，已知是等差数列，则a11_.答案解析，1，的公差d，(117)d14，a11.5在等差数列5，3，2，中，每相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列，则新数列的通项公式为_答案ann解析由题意，新的等差数列的首项a15，公差d，所以其通项公式为an5(n1)n.1等差数列an的公差本质上是相应直线的斜率，所以等差数列的单调性仅与公差d的正负有关特别地，如果已知等差数列an的任意两项an，am，由anam(nm)d，类比直线方程的斜率公式，得d(mn)2在等差数列an中，每隔相同数目的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列3在等差数列an中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可根据a1，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量
