1、习题课正弦定理与余弦定理学习目标1.进一步熟练掌握正弦、余弦定理在解决各类三角形中的应用.2.提高对正弦、余弦定理应用范围的认识.3.初步应用正弦、余弦定理解决一些和三角、向量有关的综合问题.预习导引1.三角形内角的函数关系在ABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，则有(1)sin (AB)sinC，cos (AB)cosC，tan (AB)tanC.(2)sincos，cossin.2.正弦定理及其变形(1)2R.(2)a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC.3.余弦定理及其推论(1)a2b2c22bccosA，cosA.(2)在ABC中，c2a2b2C为直角，c2a2b2C
2、为钝角；c2a2b2C为锐角.题型一解三角形例1在ABC中，若ccosBbcosC，且cosA，求sinB的值.解由ccosBbcosC，结合正弦定理得，sinCcosBsinBcosC，故sin (BC)0，易知BC，故bc.因为cosA，所以cosA，得3a22b2，所以ab.所以cosB，故sinB.规律方法正弦、余弦定理的变形形式比较多，解题时应根据题目条件的不同，灵活选择.跟踪演练1在ABC中，已知b2ac，且a2c2acbc.(1)求A的大小；(2)求的值.解(1)由已知b2accosA，A(0，)，A.(2)由b2ac，得，sinBsinBsinA.题型二正弦、余弦定理与三角变换
3、的综合例2在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，4sin2cos2A. (1)求A的度数. (2)若a，bc3，求b和c的值.解(1)由4sin2cos2A及ABC180，得21cos(BC)2cos2A1，4(1cosA)4cos2A5，即4cos2A4cosA10，(2cosA1)20，解得cosA.0A180，A60.(2)由余弦定理，得cosA.cosA，化简并整理，得(bc)2a23bc，所以32()23bc，即bc2.则由解得或规律方法本题解题关键是通过三角恒等变换借助于ABC180，求出A，并利用余弦定理列出关于b、c的方程组.跟踪演练2在ABC中，角A，B，C所对的边
4、分别是a，b，c，且a2c2b2ac.求2sin2sin2B的值.解由已知，所以cosB，又B(0，)，所以sinB，所以2sin2sin2B2cos2sin2B1cosB2sinBcosB12.题型三正弦、余弦定理与平面向量的综合例3在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，cosB，且21.(1)求ABC的面积；(2)若a7，求角C.解(1)21，21.|cosBaccosB21.ac35，cosB，sinB.SABCacsinB3514.(2)ac35，a7，c5.由余弦定理b2a2c22accosB32，b4.由正弦定理：.sinCsinB.cb且B为锐角，C一定是锐角.C45.
5、规律方法这是一道向量与正弦、余弦定理的综合题，解题的关键是化去向量的“伪装”，找到三角形的边角关系.跟踪演练3ABC的三个内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，设向量m(ab，sinC)，n(ac，sinBsinA)，若mn，则角B的大小为.答案150解析mn，(ab)(sinBsinA)sinC(ac)0，由正弦定理有(ab)(ba)c(ac)，即a2c2b2ac，再由余弦定理，得cosB，B(0，)，B150.课堂达标1.在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinBb，则A()A.B.C.D.答案D解析由正弦定理，得2sinAsinBsinB，即sinA，因三角形为锐角
6、三角形，所以A.2.在ABC中，若c2acosB，则ABC的形状一定是()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形答案C解析c2acosB，由正弦定理得2cosBsinAsinCsin (AB)，sinAcosBcosAsinB0，即sin (AB)0，AB.3.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin Ccsin B4asin Bsin C，b2c2a28，则ABC的面积为_.答案解析由bsin Ccsin B4asin Bsin C得sin Bsin Csin Csin B4sin Asin Bsin C，因为sin Bsin C0，所以sin A.因
7、为b2c2a28，所以cos A，所以bc，所以SABCbcsin A.4.在ABC中，cosB，b2ac0，则ABC的形状为三角形.答案等边解析cosB，0B180，B60.b2a2c22accosBa2c2acac，a2c22ac0，(ac)20.ac.ABC为等边三角形.课堂小结1.判断三角形的形状是看该三角形是否为某些特殊的三角形(如锐角、直角、钝角、等腰、等边三角形等).2.对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么把它统一为角的关系.再利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法、代数恒等变形方法等进行转化、化简，从而得出结论.3.解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应注意根据具体情况引入未知数，运用方程思想来解决问题；平面向量与解三角形的交汇问题，应注意准确运用向量知识转化为解三角形问题，再利用正、余弦定理求解.
