1、2018-2019学年广东省广州市华南师大附中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（3分）已知集合Px|x22x3，Qx|2x4，则PQ（）A3，4）B（2，3C（1，2）D（1，32（3分）下列函数中，既是偶函数又在（0，1）上单调递增的是（）AycosxByCy2|x|Dy|lgx|3（3分）函数y（sinx+cosx）（sinxcosx）的最小正周期是（）ABC2D44（3分）设Sn为等差数列an的前n项和若S525，a3+a48，则an的公差为（）A2B1C1D25（3分）设命题甲：a
2、x2+2ax+10的解集是实数集R；命题乙：0a1，则命题甲是命题乙成立的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件6（3分）已知复数z满足（1+i）z|+i|，i为虚数单位，则z等于（）A1iB1+iCiD+i7（3分）已知两个非零向量，满足，则下面结论正确的是（）ABCD8（3分）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（）ABCD29（3分）圆x2+y2+2x+4y30上到直线x+y+10的距离为的点有（）A1个B2个C3个D4个10（3分）如图所示的茎叶图（图1）为高三某班50名学生的化学考试成绩，算法框图（图2）中输入的a1，a2，a3，a50为
3、茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（）Am38，n12Bm26，n12Cm12，n12Dm24，n1011（3分）在区间0，1上随机取两个数x，y，记P1为事件“x+y”的概率，P2为事件“|xy|”的概率，P3为事件“xy”的概率，则（）AP1P2P3BP2P3P1CP3P1P2DP3P2P112（3分）已知a，bR，直线yax+b+与函数f（x）tanx的图象在x处相切，设g（x）ex+bx2+a，若在区间1，2上，不等式mg（x）m22恒成立，则实数m（）A有最小值eB有最小值eC有最大值eD有最大值e+1二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）13（4分）若关于x的二
4、项式（2x+）7的展开式中一次项的系数是70，则a 14（4分）sin30cos15cos150sin15 15（4分）如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为 16（4分）已知从点P出发的三条射线PA、PB、PC两两成60角，且分别与球O相切于A、B、C三点，若球O的体积为36，则O、P两点间的距离是 三、解答题（本大题共6小题，满分48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）17（6分）已知数列an中，设bnan+1an（1）证明：数
5、列bn是等比数列；（2）设，求数列cn的前n项的和Sn18（6分）如图，在平面四边形ABCD中，AC与BD为其对角线，已知BC1，且cosBCD（1）若AC平分BCD，且AB2，求AC的长；（2）若CBD45，求CD的长19（8分）为了解学生喜欢校内、校外开展活动的情况，某中学一课外活动小组在学校高一年级进行了问卷调查，问卷共100道题，每题1分，总分100分，该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩（单位：分）进行统计，将数据按0，20），20，40），40，60），60，80），80，100分成五组，绘制的频率分布直方图如图所示，若将不低于60分的称为A类学生，低于60分的称为B类学
6、生（1）根据已知条件完成下面22列联表，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与是否为A类学生有关系？B类A类合计男110女50合计（2）将频率视为概率，现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中A类学生的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，其X的分布列、期望E（X）和方差D（X）参考公式：K2，其中na+b+c+d参考临界值：P（K2k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.82820（8分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，BAD45，P
7、D2，M为PD的中点，E为AM的中点，点F在线段PB上，且PF3FB（1）求证：EF平面ABCD；（2）若平面PDC底面ABCD，且PDDC，求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值21（10分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点O，其右焦点为F（1，0），且点 （1，）在椭圆C上（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆的左、右顶点分别为A、B，M是椭圆上异于A，B的任意一点，直线MF交椭圆C于另一点N，直线MB交直线x4于Q点，求证：A，N，Q三点在同一条直线上22（10分）已知（1）求函数f（x）的极值；（2）设g（x）ln（x+1）ax+ex，对于任意x10，+），x21，+
8、），总有成立，求实数a的取值范围2018-2019学年广东省广州市华南师大附中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（3分）已知集合Px|x22x3，Qx|2x4，则PQ（）A3，4）B（2，3C（1，2）D（1，3【分析】求出集合P，然后求解交集即可【解答】解：集合Px|x22x3x|x1或x3，Qx|2x4，则PQx|3x43，4）故选：A【点评】本题考查二次不等式的解法，集合的交集的求法，考查计算能力2（3分）下列函数中，既是偶函数又在（0，1）上单调递增的是（）Ayco
9、sxByCy2|x|Dy|lgx|【分析】根据题意，依次分析选项的函数，判定选项中函数的奇偶性、单调性，即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、ycosx为余弦函数，为偶函数，在区间（0，1）上为减函数，不符合题意；对于B、y，其定义域为0，+），是非奇非偶函数，不符合题意；对于C、y2|x|，为偶函数，在区间（0，+）上为增函数，符合题意；对于D、y|lgx|，其定义域为（0，+），是非奇非偶函数，不符合题意；故选：C【点评】本题考查函数奇偶性单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性单调性3（3分）函数y（sinx+cosx）（sinxcosx）的最小正周期是（）ABC2D4【
10、分析】由题意利用二倍角公式，余弦函数的周期性，得出结论【解答】解：函数y（sinx+cosx）（sinxcosx）sin2xcos2xcos2x，故它的最小正周期是，故选：B【点评】本题主要考查二倍角公式，余弦函数的周期性，属于基础题4（3分）设Sn为等差数列an的前n项和若S525，a3+a48，则an的公差为（）A2B1C1D2【分析】根据题意，由等差数列的前n项和公式可得a1+a2+a3+a4+a55a325，解可得a35，又由a3+a48，可得a43，由等差数列的通项公式分析可得答案【解答】解：根据题意，等差数列an中，若S525，即a1+a2+a3+a4+a55a325，则a35，又
11、由a3+a48，则a43，则等差数列an的公差da4a3352；故选：A【点评】本题考查等差数列的性质以及前n项和的性质，注意等差数列通项公式的应用，属于基础题5（3分）设命题甲：ax2+2ax+10的解集是实数集R；命题乙：0a1，则命题甲是命题乙成立的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件【分析】利用充分必要条件的判断方法判断两命题的推出关系，注意不等式恒成立问题的处理方法【解答】解：ax2+2ax+10的解集是实数集Ra0，则10恒成立a0，则，故0a1由得0a1即命题甲0a1因此甲推不出乙，而乙甲，因此命题甲是命题乙成立的必要非充分条件故选：B【点评】本题
12、考查命题的充分必要性，考查不等式恒成立的等价关系值域数形结合的思想和等价转化的思想的运用6（3分）已知复数z满足（1+i）z|+i|，i为虚数单位，则z等于（）A1iB1+iCiD+i【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简即可得答案【解答】解：（1+i）z|+i|2，z1i，故选：A【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题7（3分）已知两个非零向量，满足，则下面结论正确的是（）ABCD【分析】由两个非零向量，满足，可得，展开即可【解答】解：两个非零向量，满足，展开得到故选：B【点评】本题考查了向量的模和数量积运算，属于基础题8（3分）已知双曲线的一条渐近线的倾斜
13、角为，则双曲线的离心率为（）ABCD2【分析】根据渐近线的倾斜角求出渐近线方程，结合题意求出a、c的值，再计算双曲线的离心率【解答】解：双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则tan，所以该条渐近线方程为yx；所以，解得a；所以c2，所以双曲线的离心率为e故选：A【点评】本题考查了双曲线的渐近线和离心率的应用问题，是基础题9（3分）圆x2+y2+2x+4y30上到直线x+y+10的距离为的点有（）A1个B2个C3个D4个【分析】圆x2+y2+2x+4y30可化为（x+1）2+（y+2）28，过圆心平行于直线x+y+10的直线与圆有两个交点，另一条与直线x+y+10的距离为的平行线与圆相切，只有一个交点
14、【解答】解：圆x2+y2+2x+4y30可化为（x+1）2+（y+2）28圆心坐标是（1，2），半径是2；圆心到直线的距离为d，过圆心平行于直线x+y+10的直线与圆有两个交点，另一条与直线x+y+10的距离为的平行线与圆相切，只有一个交点所以，共有3个交点故选：C【点评】本题主要考查了圆的标准方程，直线与圆的位置关系与交点个数问题，属基础题10（3分）如图所示的茎叶图（图1）为高三某班50名学生的化学考试成绩，算法框图（图2）中输入的a1，a2，a3，a50为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（）Am38，n12Bm26，n12Cm12，n12Dm24，n10【分析】算法的功能是计算学
15、生在50名学生的化学考试成绩中，成绩大于等于80的人数，和成绩小于80且大于等于60的人数，根据茎叶图可得【解答】解：由程序框图知：算法的功能是计算学生在50名学生的化学考试成绩中，成绩大于等于80的人数，和成绩小于80且大于等于60的人数，由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩大于等于80的人数有80，80，81，84，84，85，86，89，90，91，96，98，共12人，故n12，由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩小于60的人数有43，46，47，48，50，51，52，53，53，56，58，59，共12人，则在50名学生的成绩中，成绩小于80且大于等于60的人数有5012122
16、6，故m26故选：B【点评】本题借助茎叶图考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键11（3分）在区间0，1上随机取两个数x，y，记P1为事件“x+y”的概率，P2为事件“|xy|”的概率，P3为事件“xy”的概率，则（）AP1P2P3BP2P3P1CP3P1P2DP3P2P1【分析】作出每个事件对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何概型的概率公式进行计算比较即可【解答】解：分别作出事件对应的图象如图（阴影部分）：P1：D（0，），F（，0），A（0，1），B（1，1），C（1，0），则阴影部分的面积S1111，S21121，S31+dx+ln+ln2，S2S3S1，即P2
17、P3P1，故选：B【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，利用数形结合是解决本题的关键本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小12（3分）已知a，bR，直线yax+b+与函数f（x）tanx的图象在x处相切，设g（x）ex+bx2+a，若在区间1，2上，不等式mg（x）m22恒成立，则实数m（）A有最小值eB有最小值eC有最大值eD有最大值e+1【分析】求得f（x）的导数，可得切线的斜率，解方程可得b1，a2，求出g（x）的导数和单调性，可得最值，解不等式即可得到m的最值【解答】解：，又点在直线上，b1，g（x）exx2+2，g（x）ex2x，g（x）ex2，当x1，2时，g（x）g（
18、1）e20，g（x）在1，2上单调递增，g（x）g（1）e20，g（x）在1，2上单调递增，或eme+1，m的最大值为e+1，无最小值，故选：D【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间和极值、最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用函数的单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）13（4分）若关于x的二项式（2x+）7的展开式中一次项的系数是70，则a【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于01，求出r的值，即可求得一次项，再根据一次项等于70，求得实数a的值【解答】解：展开式的通项公式为 Tr+1ar27rx72r，由
19、72r1，得 r3，所以一次项的系数为24a370，得 a，故答案为：【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题14（4分）sin30cos15cos150sin15【分析】利用正弦函数加法定理、诱导公式直接求解【解答】解：sin30cos15cos150sin15sin30cos15+cos30sin15sin45故答案为：【点评】本题考查三角函数值的求法，考查正弦函数加法定理、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题15（4分）如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已
20、知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为0.864【分析】首先记K、A1、A2正常工作分别为事件A、B、C，易得当K正常工作与A1、A2至少有一个正常工作为相互独立事件，而“A1、A2至少有一个正常工作”与“A1、A2都不正常工作”为对立事件，易得A1、A2至少有一个正常工作的概率；由相互独立事件的概率公式，计算可得答案【解答】解：根据题意，记K、A1、A2正常工作分别为事件A、B、C；则P（A）0.9；A1、A2至少有一个正常工作的概率为1P（）P（）10.20.20.96；则系统正常工作的概率为0.90.960.864；故答案为：0.864【点评】
21、本题考查相互独立事件的概率乘法公式，涉及互为对立事件的概率关系，解题时注意区分、分析事件之间的关系16（4分）已知从点P出发的三条射线PA、PB、PC两两成60角，且分别与球O相切于A、B、C三点，若球O的体积为36，则O、P两点间的距离是3【分析】连接OP交平面ABC于O，由题意可得：OAABAP由AOPO，OAPA可得，根据球的体积可得半径OA3，进而求出答案【解答】解：连接OP交平面ABC于O，由题意可得：ABC和PAB为正三角形，OAABAPAOPO，OAPA，OPOAOA又球的体积为36，半径OA3，则OP3故答案为：3【点评】本题考查空间中两点之间的距离，解决此类问题的方法是熟练掌
22、握几何体的结构特征，考查计算能力，是中档题三、解答题（本大题共6小题，满分48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）17（6分）已知数列an中，设bnan+1an（1）证明：数列bn是等比数列；（2）设，求数列cn的前n项的和Sn【分析】（1）利用已知条件，结合等比数列的定义，证明即可（2）求出数列的通项公式，化简，利用裂项相消法转化求解即可【解答】解：（1）证明：因为，bnan+1an，所以，又因为b1a2a1211，所以数列bn是以1为首项，以2为公比的等比数列（2）由数列bn是以1为首项，以2为公比的等比数列，可知：，因为，所以，所以【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，等比数列
23、的判断，数列求和的方法的应用，是基本知识的考查18（6分）如图，在平面四边形ABCD中，AC与BD为其对角线，已知BC1，且cosBCD（1）若AC平分BCD，且AB2，求AC的长；（2）若CBD45，求CD的长【分析】（1）由已知利用二倍角公式可求cosACB，由余弦定理可得：AC2AC30，即可解得AC（2）利用同角三角函数基本关系式可求sinBCD，结合CBD45，利用两角和的正弦函数公式可求sinCBD的值，在BCD中，由正弦定理可求CD的值【解答】（本题满分为12分）解：（1）AC平分BCD，可得：BCD2ACB2ACD，cosBCD2cos2ACB1，cosACB0，cosACB，
24、3分在ABC中，BC1，AB2，cosACB，由余弦定理AB2BC2+AC22BCACcosACB，可得：AC2AC30，解得：AC，（负值舍去），AC的值为6分（2）cosBCD，sinBCD，7分又CBD45，sinCDBsin（180BCD45）sin（BCD+45）（sinBCD+cosBCD），9分在BCD中，由正弦定理，可得：CD5，即CD的长为512分【点评】本题主要考查了二倍角公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想的应用，属于中档题19（8分）为了解学生喜欢校内、校外开展活动的情况，某中学一课外
25、活动小组在学校高一年级进行了问卷调查，问卷共100道题，每题1分，总分100分，该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩（单位：分）进行统计，将数据按0，20），20，40），40，60），60，80），80，100分成五组，绘制的频率分布直方图如图所示，若将不低于60分的称为A类学生，低于60分的称为B类学生（1）根据已知条件完成下面22列联表，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与是否为A类学生有关系？B类A类合计男110女50合计（2）将频率视为概率，现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中A类学生的人数为X，若每次抽取的结果是相互
26、独立的，其X的分布列、期望E（X）和方差D（X）参考公式：K2，其中na+b+c+d参考临界值：P（K2k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828【分析】（1）根据频率分布直方图求得不低于60分的频率和频数，填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）由题意知随机变量XB（3，），计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望和方差【解答】解：（1）根据频率分布直方图知，不低于60分的频率为（0.0125+0.0075）200.4，则0.420080，由此填写22列联表如下；B类A类合计男8030110女4
27、05090合计12080200由表中数据，计算K216.506.635，能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与是否为A类学生有关系；（2）将频率视为概率，从该校学生中任意抽取1名学生恰为A类学生的概率为，由题意可知XB（3，），P（xi） （i0，1，2，3）；从而X的分布列为：X0123PX的数学期望为E（X）np3，方差为D（X）np（1p）（1）【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了独立性检验以及二项分布的期望与方差计算问题，是中档题20（8分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，BAD45，PD2，M为PD的中点，E为AM的中点，点F在线段
28、PB上，且PF3FB（1）求证：EF平面ABCD；（2）若平面PDC底面ABCD，且PDDC，求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值【分析】（1）设DM中点为N，连接EN，NF，BD，则NEAD，可得NE平面ABCD，再由，得NFDB，则NF平面ABCD，由面面平行的判定可得平面NEF平面ABCD从而得到EF平面ABCD；（2）由平面PDC底面ABCD，且PDDC，可得PD底面ABCD，以D为坐标原点建立空间直角坐标系Dxyz，求出平面PBC与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值【解答】（1）证明：设DM中点为N，连接EN，NF，
29、BD，则NEAD，NE平面ABCD，AD平面ABCD，NE平面ABCD，又，NFDB，NF平面ABCD，BD平面ABCD，NF平面ABCD，又NENFN，平面NEF平面ABCD则EF平面ABCD；（2）解：平面PDC底面ABCD，且PDDC，PD底面ABCD，如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系Dxyz，则D（0，0，0），P（0，0，2），A（1，0，0），C（，0），（，2），设平面PBC的一个法向量为，由，取，得又平面PAD的一个法向量为设平面PAD与平面PBC所成的二面角为，则cos即平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为【点评】本题考查空间位置关系，二面角及其应用等知识，考查
30、空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题21（10分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点O，其右焦点为F（1，0），且点 （1，）在椭圆C上（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆的左、右顶点分别为A、B，M是椭圆上异于A，B的任意一点，直线MF交椭圆C于另一点N，直线MB交直线x4于Q点，求证：A，N，Q三点在同一条直线上【分析】（1）不妨设椭圆的方程为+1，ab0，由题意可得，解得即可，（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的方程为xmy+1，由方程组，消去x整理得（3m2+4）y2+6my90，根据韦达定理求出点Q的坐标，
31、根据向量即可求出，且向量和有公共点A，即可证明【解答】解：（1）不妨设椭圆的方程为+1，ab0，由题意可得，解得a24，b23，故椭圆的方程+1，证明：（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的方程为xmy+1，由方程组，消去x整理得（3m2+4）y2+6my9036m2+36（3m2+4）0y1+y2，y1y2，直线BM的方程可表示为y（x2），将此方程与直线x4成立，可求得点Q的坐标为（4，），（x2+2，y2），（6，），6y2（x2+2）0，向量和有公共点A，A，N，Q三点在同一条直线上【点评】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的关系，向量问题等基础知识，考查了运算求解能力，
32、推理论证能力，化归与转化思想，应用意识22（10分）已知（1）求函数f（x）的极值；（2）设g（x）ln（x+1）ax+ex，对于任意x10，+），x21，+），总有成立，求实数a的取值范围【分析】（1），x（0，+）令f（x）0，解得x，e利用导数研究函数的单调性即可得出（2）由（1）可知当x1，+）时，函数f（x）的最大值为对于任意x10，+），x21，+），总有成立，等价于g（x）1恒成立，对a分类讨论：a2时，利用exx+1及其基本不等式的性质即可得出当a2时，设，利用单调性与函数的零点即可得出【解答】解：（1），x（0，+） x e （e，+） f（x） 0+ 0 f（x） 单调递减
33、 极小值 单调递增 极大值 单调递减f（x）的极小值为：，极大值为：（2）由（1）可知当x1，+）时，函数f（x）的最大值为对于任意x10，+），x21，+），总有成立，等价于g（x）1恒成立，a2时，因为exx+1，所以，即g（x）在0，+）上单调递增，g（x）g（0）1恒成立，符合题意当a2时，设，所以g（x）在0，+）上单调递增，且g（0）2a0，则存在x0（0，+），使得g（x）0所以g（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+）上单调递增，又g（x0）g（0）1，所以g（x）1不恒成立，不合题意综合可知，所求实数a的取值范围是（，2【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题
