1、,第一章 三角形的证明,章末复习,第一章 三角形的证明,章末复习,知识框架,归纳整合,素养提升,中考链接,知识框架,【要点指导】全等三角形的性质为证明线段(角)相等提供了依据. 一般三角形全等的判定方法有四种：“SSS”“SAS”“ASA”和“AAS”. 直角三角形是一种特殊的三角形, 它的判定方法除了上述四种之外, 还有 “HL”. 在具体问题中, 一般只直接给出一个或两个条件(有的甚至一个条件也不直接给出), 其余条件常隐含于条件或图形中, 而找出这些隐含条件是解答问题的关键.,归纳整合,专题一 与全等三角形有关的计算与证明题,分析 (1)根据已知条件, 利用HL可证RtABCRtDCB；
2、(2)利用RtABCRtDCB可知对应角相等, 即可证明OBC是等腰三角形,例1 如 图 1 - Z - 1 , 在 ABC 和 DCB 中 , A=D=90, AC=DB, AC与DB相交于点O (1)求证：ABCDCB； (2)OBC是何种三角形？证明你的结论,解 (1)证明：在RtABC和RtDCB中, AC=DB, BC=CB, RtABCRtDCB(HL). (2)OBC是等腰三角形. 证明：RtABCRtDCB, ACB=DBC, OB=OC, OBC是等腰三角形.,相关题1 如图1-Z-2, 在ABD和ACE中, F是AC和 DB的交点, G是A B和E C的交点.现有如下四个论
3、断： AB=AC；AD=AE；AF=AG；ADBD, AECE以其中三个论断为条件 , 填入下面的“已 知”中, 一个论断为结 论 , 填入下面的“求证”中, 组成一个真命题, 并写出证明过程 已知： 求证： 证明：,解：答案不唯一，如已知：ABAC，AFAG， ADBD，AECE. 求证：ADAE. 证明：ABAC，BAFCAG，AFAG， BAFCAG(SAS)，BC. ADBD，AECE，DE90. 又ABAC，BC， ADBAEC(AAS)，ADAE.,【要点指导】等腰(边)三角形是特殊的三角形, 具有较多的特殊性质, 有时几何图形中不存在等腰(边)三角形, 可根据已知条件和图形特征,
4、 适当添加辅助线, 使之构成等腰(边)三角形, 然后利用其定义和有关性质, 快捷地证出结论或得出结果. 常用的辅助线有(1)作等腰三角形顶角的平分线, 底边上的高、中线；(2)在三角形的中线问题上, 我们常将中线延长一倍, 这样添加辅助线有助于我们解决有关中线的问题.,专题二 与等腰三角形有关的证明与探究题,例2 如图1-Z-3, 在ABC中, AB=AC, ABC, ACB的平分线相交于点O, 过点O作EFBC, 分别交AB, AC于点E, F. 图中有几个等腰三角形？ 请说明EF与BE, CF之间的关系.,分析 图中有5个等腰三角形, 分别是ABC, AEF, BEO, OFC, OBC.
5、 根据等腰三角形的性质, 即可得出EF与BE, CF之间的关系.,解 图中有5个等腰三角形. EF与BE, CF之间的关系是EF=BE+CF. 理由如下： EFBC, EOB=OBC, FOC=OCB. 又ABC, ACB的平分线交于点O, EBO=OBC, FCO=OCB, EOB=EBO, FCO=FOC, OE=BE, OF=CF, EF=OE+OF=BE+CF.,相关题2-1 宜昌中考如图1-Z-4, 在 ABC 中 , AB = A C , A=30, 以B为圆心, BC的长为半径 的圆弧交AC于点D, 连接BD, 则ABD的度数为 ( ). A30 B45 C60 D90,B,相关
6、题2-2 在ABC中, AB=AC, 且过ABC的某一顶点的直线可将ABC分成两个等腰三角形, 试求ABC各内角的度数.,图,【要点指导】 勾股定理反映了直角三角形三边之间的数量关系, 是 直角三角形的重要性质之一, 其主要应用有(1)已知直角三角形的两边长求第三边长；(2)已知直角三角形的一边长确定另两边长的关系；(3)证明含平方关系的问题等. 勾股定理的逆定理是判断一个三角形是不是直角三角形的重要依据, 实现把数的问题转化为形的问题, 即通过计算判断一个三角形是不是直角三角形.,专题三 与勾股定理及其逆定理有关的计算与应用,例3 如图1-Z-5, 在RtABC中, ACB90, AC9,
7、BC12, 则点C到AB的距离是_.,分析 如图1-Z-5, 过点C作CDAB于点D. 在RtABC中, 由直角边AC及BC的长, 利用勾股定理易求出斜边AB的长, 然后借助等积法求出CD的长, 即点C到AB的距离. 具体的解答过程如下： 在RtABC中, AC=9, BC=12, 根据勾股定理, 得AB15. 如图1-Z-5, 过点C作CDAB于点D. SABC= ACBC= ABCD, CD= , 则点C到AB的距离是 ,答案,相关题3 如图1-Z-6, 在ABC中, C DA B 于点D, AC=4, BC=3, BD= (1)求CD, AD的值； (2)判断ABC的形状, 并说明理由,
8、【要点指导】 解决与线段垂直平分线有关的问题, 关键是要把握它 的性质及与它有关的基本作图的步骤、技巧, 借助“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”, 实现相关线段的转移.,专题四 线段垂直平分线的性质及应用,例4 如图1-Z-7, 在ABC中, B=32, BAC 的平分线AD交BC于点D. 若DE垂直平分AB, 则 C的度数为( ). A90 B84 C64 D58,分析 DE垂直平分AB, DA=DB, DAB=B=32. AD是BAC的平分线, DAC=DAB=32, C=180-32-32-32=84. 故选B.,答案 B,相关题4 如图1-Z-8, 在ABC中, AC
9、B=90, 分别以点A和点B为圆心, 大于 AB的长为半径 作弧, 两弧相交于点M和点N, 作直线MN交AB于 点D, 交BC于点E. 若AC=3, BC=4, 则DE等于( ).,答案 C,【要点指导】 在解答有关角平分线的问题时, 常在角平分线上选一 点, 并向角的两边作垂线段, 以便利用角平分线的性质来解答. 角平分线的性质和三角形全等的性质都是证明线段相等或角相等的依据, 在解时常综合使用.,专题五 角平分线的性质与判定的运用,例5 如图1-Z-9, B=C=90, E是BC的中点, DE平分ADC. 求证：AD=AB+CD.,证明 如图1-Z-9, 过点E作EFAD于点F. C=90
10、, DE平分ADC, EC=EF. E是BC的中点, EC=EB, EF=EB. 在RtAFE与RtABE中, AE=AE, EF=EB, RtAFERtABE, AF=AB. 同理可得FD=CD, AD=AF+FD=AB+CD.,相关题5-1 如图1-Z-10, B=C=90, E是BC的中 点, DE平分ADC, CED=35, 则EAB的度数是 ( ). A35 B45 C55 D65,A,相关题5-2 如图1-Z-11, ABCD, E为AD上 一点, 且BE, CE分别平分ABC, BCD. 求证：AE=DE.,证明：如图，过点E分别作EFAB交BA的延长线于点F，EGBC于点G，E
11、HCD于点H. BE平分ABC，EFAB，EGBC， EFEG.同理EGEH，EFEH. 又EFAB，EHCD，AFEDHE90. ABCD，FAED. 在AFE和DHE中，FAED，AFEDHE，EFEH， AFEDHE(AAS)，AEDE.,【要点指导】等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形,它的边、角的特殊性在处理许多几何问题时起着很重要的作用. 求解与等腰三角形的边、角有关的计算问题时, 在条件不明确的情况下, 应根据题目的特点分类讨论.,素养提升,专题一 分类讨论思想的应用,例1 等腰三角形一腰的中线把它的周长分成12 cm和9 cm两部分, 求这个等腰三角形的腰长和底边的长.,解
12、 如图1-Z-12, 设腰长为x cm. (1)若AB+AD=12 cm, 有x+ =12, 则x=8, 所以AB=8 cm, BC=5 cm. (2)若AB+AD=9 cm, 有x+ =9, 则x=6, 所以AB=6 cm, BC=9 cm. 综上, 这个等腰三角形的腰长和底边的长分别为8 cm, 5 cm或 6 cm, 9 cm.,相关题1-1 若等腰三角形的一个内角的补角是130, 则底角的 度数为( ). A80 B50 C50或65 D50或70,解析 若130角为顶角的补角，则顶角为50，所以底角为(18050)265；若130角为底角的补角，则底角为50.所以等腰三角形的底角的度
13、数为50或65.故选C.,C,相关题1-2 一个等腰三角形的一边长是5 cm, 周长是20 cm, 求 其他两边的长.,解：若腰长为5 cm，则底边长为205210(cm) 5510，不能构成三角形 若底边长为5 cm，则腰长为(205)7.5(cm) 7.557.5，可以构成三角形 综上可得，5 cm为底边长，其他两边的长为7.5 cm，7.5 cm.,专题二 转化思想,【要点指导】转化思想是解决数学问题的一种最基本的思想. 在研究数学问题时, 我们通常是将未知问题转化为已知问题, 将复杂问题转化为简单问题, 将抽象问题转化为具体问题, 将实际问题转化为数学问题. 转化的内涵非常丰富, 已知
14、与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的突破口.,例2 如图1-Z-13, 在边长为2的等边三角形ABC中, D为BC的中点, E是AC边上一点, 则BE+DE的最小 值为_.,分析 如图1-Z-14, 作点B关于AC的对称点B, 则ACB为等边三角 形. 连接AD, DB, 则DB的长度即BE+DE的最小值. ABC是边长为2的等边三角形, D为BC的中点, ADBC, BD=1, DAC=30, DAB=DAC+CAB=30+60=90,答案,相关题2 在底面直径为2 cm, 高为3 cm的圆柱体侧 面上, 用一条无弹性的丝带从点A至点C按图1-Z-15 所示的圈数
15、缠绕, 则丝带的最短长度为_cm. (结果保留),答案,中考链接,母题1 (教材P4习题1.1第2题) 已知：如图 1 - Z -16, 点B, E, C, F在同一条 直线上, AB=DE, AC=DF, BE=CF. 求证：A=D.,考点：全等三角形的性质及判定. 考情：判定三角形全等是中考的热点, 熟练掌握三角形全等的判定方法是解此类题的关键. 策略：判定两个三角形全等时, 先根据已知条件或求证的结论确定三角形, 然后再根据三角形全等的判定方法, 看缺什么条件, 再去证什么条件.,链接1 苏州中考如图1-Z-17, A=B, AE=BE, 点D在AC边上, 1=2, AE和BD相交于点O
16、 (1)求证：AECBED； (2)若1=42, 求BDE的度数,解 (1)证明：AE和BD相交于点O, AOD=BOE. 在AOD和BOE中, A=B, AOD=BOE, 2=BEO. 又1=2, 1=BEO, AEC=BED. 在AEC和BED中, A=B, AE=BE, AEC=BED, AECBED(ASA). (2)AECBED, EC=ED, C=BDE. 在EDC中, EC=ED, 1=42, C=EDC=69, BDE=C=69.,母题2 (教材P34复习题第4题) 已知: 如图1-Z-18, BD, CE是ABC的高, 且BD=CE. 求证：ABC是等腰三角形.,考点：等腰三
17、角形的判定与性质. 考情：等腰三角形的判定与性质是证明线段相等或角相等的重要依据, 常与多边形的其他性质综合在一起考查. 策略：证明三角形中有两个角相等或者两条边相等, 注意数形结合思想和转化思想的运用.,链接2 山西中考如图1-Z-19, 在ABC中, AB=AC, A=30, 直线ab, 顶点C在直线b上, 直线a交AB 于点D, 交AC于点E, 若1=145, 则2的度数是( ). A30 B35 C40 D45,分析 AB=AC, A=30, ACB=75. 在ADE中, 1=A+AED=145, AED=145-30=115. ab, AED=2+ACB, 2=AED-ACB=115
18、-75=40. 故选C.,答案 C,分析 如图1-Z-21, 直接利用平行线的性质得出1=3, 进而利用角平分线的定义结合互余的性质得出B=BDE, 即可得出答案,链接3 内江中考如图1-Z-20, AD平分BAC, ADBD, 垂足为D, DEAC 求证：BDE是等腰三角形,证明 如图1-Z-21, DEAC, 1=3. AD平分BAC, 1=2, 2=3. ADBD, 2+B=90, 3+BDE=90, B=BDE, BDE是等腰三角形,母题3 (教材P32习题1.10第1题) 已知：如图1-Z-22, C=90, B=30, AD是ABC的角平分线. 求证：BD=2CD.,考点：在直角三
19、角形中, 如果有一个锐角是30, 那么它所对的直角边等于斜边的一半. 考情：含30角的直角三角形性质的应用是中考的热点考题. 策略：遇到30角应该联想到它是不是直角三角形中的一个锐角或者是否能够添加辅助线构造含30角的直角三角形, 解答此类问题的关键是利用含30角的直角三角形的性质得出30角所对的直角边等于斜边的一半.,链接4 淄博中考如图1-Z-23, 在RtABC 中, CM平分ACB交AB于点M, 过点M作 MNBC交AC于点N, 且MN平分AMC, 若AN=1, 则BC的长为( ). A4 B6 C4 D8,分析 CM平分ACB, MNBC, MN平分AMC, AMN=NMC=B, N
20、CM=BCM=NMC, ACB=2B, NM=NC, B=30. AN=1, MN=2, AC=AN+NC=3, BC=6. 故选B.,答案 B,母题4 (教材P24习题1.7第3题) 如图1 - Z - 2 4 , 在ABC中, 已知AC=27, AB的 垂直平分线交 A B 于 点 D, 交 A C 于 点E, BCE 的周长等于50, 求BC的长.,考点：线段垂直平分线的性质. 考情：线段垂直平分线的性质是中考中的常见考点, 该性质常常与勾股定理、角平分线的性质定理、全等三角形的判定定理等综合在一起进行考查. 策略：先根据线段垂直平分线的性质定理得到两边相等或者两角相等, 然后利用它们进
21、行转化, 找到解题思路.,链接5 南充中考 如 图1-Z-25, 在ABC中, AB的 垂直平分线交AB于点D, 交BC于点E, 连接AE, 若 BC=6, AC=5, 则ACE的周长为( ). A8 B11 C16 D17,分析 DE垂直平分AB, AE=BE, ACE的周长=AC+CE+AE=AC+CE+BE=AC+BC=5+6=11. 故选B.,B,母题5(教材P30习题1.9第2题) 已知：如图 1 - Z -26 , 在ABC中, AD是它的 角平分线, 且BD=CD, DEAB, DFAC, 垂足 分别为E,F. 求证：EB=FC.,考点：角平分线的性质. 考情：角平分线的性质是中
22、考中的常见考点, 该性质常常与全等三角形的判定定理、勾股定理综合在一起考查. 策略：根据角平分线的性质定理, 得到相等的线段, 然后进行转化或求解.,链接6 德州中考如图1-Z-27, OC为AOB的 平分线, CMOB, OC=5, OM=4, 则点C到射线 OA的距离为_.,分析 如图1-Z-28, 过点C作CFOA于点F. 又OC为AOB的平分线, CMOB, CM=CF. 在RtOCM中, OC=5, OM=4, CM=3, CF=3, 即点C到射线OA的距离为3.,答案 3,母题6(教材P30习题1.9第4题) 如 图 1 - Z - 2 9 , 在AOB内部求作一点P, 使P C
23、= PD, 并且点P到AOB两边的距离 相等.,考点：角平分线、线段垂直平分线的尺规作图. 考情：角平分线、线段垂直平分线的基本作图常常与等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定等综合在一起考查, 主要考查学生的动手操作能力和推理能力. 策略：先弄清题意, 用尺规作出正确图形, 然后将角平分线、线段垂直平分线的定义、性质与已知条件相结合找出解题思路.,链接7 自贡中考如图1-Z-30, 点B, C在 SAF的两边上, 且AB=AC (1)请按下列语句用尺规画出图形(不写 作法, 保留作图痕迹). 过点A作ANBC, 垂足为N； 作SBC的平分线交AN的延长线于点M；连接CM. (2)该图中有_ 对全等三角形,分析 (1)作SAF的平分线, 然后根据等腰三角形“三线合一”的性质可得ANBC；以点B为圆心, 任意长为半径画弧, 与BS, BC分别相交, 再分别以两交点为圆心, 大于两交点之间距离的一半为半径画两条弧, 所画两条弧相交于一点, 然后作出角平分线BM；直接连接CM即可. (2)根据对称性找出全等三角形： ABN ACN, ABM A C M , BMNCMN, 共有3对.,解 (1)如图1-Z-30所示. (2)3,谢 谢 观 看！,
