1、2018-2019学年内蒙古鄂尔多斯一中高二（下）开学数学试卷（理科）（2月份）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）r：点P在直线y2x3上；s：点P在抛物线yx2上，则使“rs”为真命题的一个点P（x，y）是（）A（0，3）B（1，2）C（1，1）D（1，1）2（5分）设，为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，则下列命题中正确的为（）A若mn，n，则mB若m，n，则mnC若，m，则mD若m，m，则3（5分）已知直线l1：y，l2：x+y+10，点P为抛物线yx2上的任一点，则P到直线l1，l2的距离之和的最小值为
2、（）ABCD4（5分）设aR，则“a2”是直线l1：ax+2y10与直线l2：x+（a+1）y10平行的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5（5分）已知（1，2），（2m1，1），且，则m的值为（）ABCD16（5分）在圆x2+y21上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，M是线段PD上的点，且PMPD，当点P在圆上运动时，则点M的轨迹方程是（）A+y21（y0）B+y21（y0）Cx2+1（y0）Dx2+1（y0）7（5分）以点（1，1）为中点的抛物线y28x的弦所在的直线方程为（）Ax4y30Bx+4y+30C4x+y30D4x+y+308（
3、5分）三棱柱ABCA1B1C1的体积为6，点M在棱CC1上，则四棱锥MABB1A1的体积为（）A4B1C2D不能确定9（5分）已知某三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥的四个面的面积中，最大面积是（）A2B2C2D210（5分）已知椭圆+1（ab0）的左焦点为F1（2，0），过点F1作倾角为30的直线与圆x2+y2b2相交的弦长为b，则椭圆的标准方程为（）A+1B+1C+1D+111（5分）已知双曲线C：1（a0，b0）的两个顶点分别为A，B，点P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的倾斜角分别为，若tantan7，则C的渐近线方程为（）AyxByxCy7xDyx12（5分）在三棱柱ABCA1
4、B1C1中，AA1平面ABC，ABBCCA2，AA14，D为A1B1的中点，E为棱BB1上的点，AB1平面C1DE，且B1，C1，D，E四点在同一球面上，则该球的表面积为（）A9B11C12D14二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填写在答题卡指定位置）13（5分）若实数x，y满足，则目标函数zxy的最小值为 14（5分）在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1A底面ABCD，底面ABCD是正方形，AB2，A1A4，M为A1A的中点，则异面直线AD1与BM所成角的余弦值为 15（5分）有下列四个命题：若p是q的充分不必要条件，则p是q的必要不充分
5、条件；若命题p：x0，x2+10，则p：x00，x02+10；在ABC中，AB是sinAsinB的充要条件；命题：当1t4时方程+1表示焦点在x轴上的椭圆，为真命题其中真命题的个数有 16（5分）已知双曲线E：1（a0，b0），点F1为E的左焦点，点P为E上位于第一象限内的点，P关于原点O的对称点为Q且|OP|b，|PF1|3|QF1|，则E的离心率为 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（）若a4，求sinB的值；（）若ABC的面积S6，求a，c的值18（12分）设an为等差数列，S
6、n为数列an的前n项和，已知S515，S1365，Tn为数列的前n项和，求Tn的最小值19（12分）如图1，在ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，BC4将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使得平面A1DE平面BCED，F为A1C的中点，如图2（）求证：EF平面A1BD；（）求证：平面A1OB平面A1OC；（）线段OC上是否存在点G，使得OC平面EFG？说明理由20（12分）已知圆M过两点A（1，1），B（1，1），且圆心M在xy+20上（）求圆M的方程；（）设P是直线3x4y+270上的动点，PC，PD是圆M的两条切线，C，D为切点，求四边形PCMD面积的最小值21（12分
7、）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形平面ABC平面AA1C1C，AB3，BC5，E，F分别在稜A1A，C1C上，且A1ECF3（）求截面A1C1B与截面EFB所成的二面角的余弦值；（）取B1C1的中点N，在线段A1N上是否存在点M使得BM与面BEF所成角的正弦值为，若不存在请说明理由22（12分）已知椭圆，为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为1（）求椭圆C的方程；（）设直线与椭圆C相交于A，B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点，求|OP|的取值范围2018-2019学年内蒙古鄂尔多斯一中高二（下
8、）开学数学试卷（理科）（2月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）r：点P在直线y2x3上；s：点P在抛物线yx2上，则使“rs”为真命题的一个点P（x，y）是（）A（0，3）B（1，2）C（1，1）D（1，1）【分析】使“rs”为真命题，则r和s都为真命题，然后解方程组即可【解答】解：若使“rs”为真命题，则r和s都为真命题，即得x22x3，得x2+2x30，得x1或x3，当x1时，y1，当x3时，y9，即满足条件的点的坐标为（1，1）或（3，3），故选：C【点评】本题主要考查复合命题真假的关系的
9、应用，结合两个命题都是真命题转化为方程组是解决本题的关键比较基础2（5分）设，为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，则下列命题中正确的为（）A若mn，n，则mB若m，n，则mnC若，m，则mD若m，m，则【分析】在A中，m与相交、平行或m；在B中，m与n平行或异面；在C中，m与相交、平行或m；由面面垂直的判定定理得【解答】解：由，为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，得：在A中，若mn，n，则m与相交、平行或m，故A错误；在B中，若m，n，则m与n平行或异面，故B错误；在C中，若，m，则m与相交、平行或m，故C错误；在D中，若m，m，则由面面垂直的判定定理得，故D正确故选：D【点评】本
10、题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题3（5分）已知直线l1：y，l2：x+y+10，点P为抛物线yx2上的任一点，则P到直线l1，l2的距离之和的最小值为（）ABCD【分析】过点P分别作PMl1，PNl2，垂足分别为M，N设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义可得|PM|PF|，求|PM|+|PN|转化为求|PN|+|PF|，当三点N，P，F共线时，|PN|+|PF|取得最小值利用点到直线的距离公式求解即可【解答】解：过点P分别作PMl1，PNl2，垂足分别为M，N抛物线yx2的焦点为F（0，），l1：y是抛物线的准
11、线方程由抛物线的定义可得|PM|PF|，|PM|+|PN|PN|+|PF|，当三点N，P，F共线时，|PN|+|PF|取得最小值故最小值为点F到其最到直线l2的距离，|FN|故选：D【点评】本题考查了抛物线的定义及其性质、三点共线、点到直线的距离公式，考查转化思想的应用，属于中档题4（5分）设aR，则“a2”是直线l1：ax+2y10与直线l2：x+（a+1）y10平行的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据直线平行的等价条件求出a的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若a0，两直线为2y10，和x+y10，此时两直线不平行，当
12、a0时，若两直线平行，则满足，由得a2+a20得a1或a2，当a1时，1，不成立，故a2，即“a2”是直线l1：ax+2y10与直线l2：x+（a+1）y10平行的充要条件，故选：C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线平行的等价求出a的值是解决本题的关键5（5分）已知（1，2），（2m1，1），且，则m的值为（）ABCD1【分析】根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出m的值【解答】解：；故选：B【点评】考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算6（5分）在圆x2+y21上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，M是线段PD上的点，且PMPD，当点P在圆上运动时，
13、则点M的轨迹方程是（）A+y21（y0）B+y21（y0）Cx2+1（y0）Dx2+1（y0）【分析】设M（x，y），用x，y表示出P点坐标，代入圆的方程即可得出M的轨迹方程【解答】解：设M（x，y），则P（x，），把P代入圆的方程可得x2+1故选：D【点评】本题考查了轨迹方程的求解，属于基础题7（5分）以点（1，1）为中点的抛物线y28x的弦所在的直线方程为（）Ax4y30Bx+4y+30C4x+y30D4x+y+30【分析】先设出弦的两端点的坐标然后代入到抛物线方程后两式相减，可求得直线方程的斜率，最后根据直线的点斜式可求得方程【解答】解：此弦不垂直于X轴，故设点（1，1）为中点的抛物线y
14、28x的弦的两端点为A（x1，y1）B（x2，y2）得到yi28x1，y228x2两式相减得到（y1+y2）（y1y2）8（x1x2）k4直线方程为y+14（x1），即4x+y30故选：C【点评】本题主要考查直线和抛物线的综合问题考查综合运用能力8（5分）三棱柱ABCA1B1C1的体积为6，点M在棱CC1上，则四棱锥MABB1A1的体积为（）A4B1C2D不能确定【分析】四棱锥MABB1A1的体积为，由此能求出结果【解答】解：三棱柱ABCA1B1C1的体积为6，点M在棱CC1上，四棱锥MABB1A1的体积为：64故选：A【点评】本题考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系
15、等基础知识，考查运算求解能力，是中档题9（5分）已知某三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥的四个面的面积中，最大面积是（）A2B2C2D2【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为三棱锥，侧棱PA底面ABC，底面三角形ABC为等腰直角三角形，求出PBC的面积得答案【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，侧棱PA底面ABC，底面三角形ABC为等腰直角三角形，其中ABBC，则PBC与PAC面积相等最大，最大面积为S故选：D【点评】本题考查由三视图求面积，体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题10（5分）已知椭圆+1（ab0）的左焦点为F1（2，0），过点F1作倾角为30的直线与圆x
16、2+y2b2相交的弦长为b，则椭圆的标准方程为（）A+1B+1C+1D+1【分析】由题意可得c2，即a2b24，求得直线的方程，运用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离，再由弦长公式，解方程可得b，a，进而得到所求椭圆方程【解答】解：由题意可得c2，即a2b24，过点F1作倾角为30的直线方程为y（x+2），圆心（0，0）到直线的距离d1，由直线与圆x2+y2b2相交的弦长为b，可得2b，解得b2，a2，则椭圆方程为+1，故选：B【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和圆相交的弦长问题，考查方程思想和运算能力，属于中档题11（5分）已知双曲线C：1（a0，b0）的两个顶点分别为A，B，点
17、P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的倾斜角分别为，若tantan7，则C的渐近线方程为（）AyxByxCy7xDyx【分析】设出双曲线的顶点A，B的坐标，P（m，n），代入双曲线方程，运用直线的斜率公式和两角和差的余弦公式，以及弦化切的方法，求得PA，PB的斜率之积，再由离心率公式计算可得所求值【解答】解：双曲线C：1（a0，b0）的两个顶点分别为A（a，0），B（a，0），点P（m，n）是C上异于A，B的一点，可得，即有n2，设直线PA，PB的斜率分别为k1tan，k2tan，tantan7，即则C的渐近线方程为y，故选：A【点评】本题考查了双曲线的性质，属于中档题12（5分）在三棱柱
18、ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，ABBCCA2，AA14，D为A1B1的中点，E为棱BB1上的点，AB1平面C1DE，且B1，C1，D，E四点在同一球面上，则该球的表面积为（）A9B11C12D14【分析】由题意，AA1平面ABC，三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，ABBCCA2，底面是正的三角形D为A1B1的中点，E为棱BB1上的点，AB1平面C1DE，求E为棱BB1上的位置，在求解B1C1DE三棱锥的外接球即可得球的表面积【解答】解：由题意，AA1平面ABC，三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，ABBCCA2，底面是正的三角形AB1，sinAB1B那么DB1，AB1平面C1DE，
19、AB1DE，D为A1B1的中点，E为棱BB1上的点，DEAB1M，ABB1EB1M那么：EB11则在DB1C1E三棱锥中：B1C12，C1D，EC13，DE，B1DEB1平面DB1C1，底面DB1C1是直角三角形，球心在EC1在的中点上，R球的表面积S4R29故选：A【点评】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填写在答题卡指定位置）13（5分）若实数x，y满足，则目标函数zxy的最小值为2【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的ABC及其内部，再将目标函数zxy对应的直线进行平移，可得当x3
20、，y5时，zxy取得最小值【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的ABC及其内部，其中A（1，1），B（7，1），C（3，5）设zF（x，y）xy，将直线l：zxy进行平移，当l经过点C时，目标函数z达到最小值z最小值F（3，5）2故答案为：2【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数zxy的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题14（5分）在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1A底面ABCD，底面ABCD是正方形，AB2，A1A4，M为A1A的中点，则异面直线AD1与BM所成角的余弦值为【分析】连接BC1，则BC1AD1，可得MBC1
21、为异面直线AD1与BM所成角，由已知求解三角形MBC1 的三边长，再由余弦定理求异面直线AD1与BM所成角的余弦值【解答】解：如图，连接BC1，则BC1AD1，MBC1为异面直线AD1与BM所成角，在正四棱柱AC1中，由AB2，A1A4，M为A1A的中点，得，在MBC1中，由余弦定理得：cosMBC1故答案为：【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查数学转化思想方法，是基础题15（5分）有下列四个命题：若p是q的充分不必要条件，则p是q的必要不充分条件；若命题p：x0，x2+10，则p：x00，x02+10；在ABC中，AB是sinAsinB的充要条件；命题：当1t4时方程+1表示焦点在x轴
22、上的椭圆，为真命题其中真命题的个数有2个【分析】利用逆否命题的等价性来判断；根据全称命题的否定形式来判断；根据正弦函数的性质和充要条件的定义来判断；利用验证法来判断【解答】解：易知“p是q”与“p是q”互为逆否命题根据逆否命题的等价性可知，若p是q的充分不必要条件，则p是q的充分不必要条件；错误；全称命题的否定为特称命题，故命题p：x0，x2+10，则p：x00，x02+10；正确；根据正弦函数的性质，且A+B，可知AB是sinAsinB的充要条件；正确；当t3时，方程+1表示焦点在y轴上的椭圆，错误；故答案为2个【点评】本题考查命题真假性的判断方法，属于基础题16（5分）已知双曲线E：1（a
23、0，b0），点F1为E的左焦点，点P为E上位于第一象限内的点，P关于原点O的对称点为Q且|OP|b，|PF1|3|QF1|，则E的离心率为【分析】由题意可知：四边形PF2QF1为平行四边形，利用双曲线的定义及性质，求得|PF1|3a，|PF2|a，利用余弦定理即可求得a和b的关系，根据双曲线的离心率公式即可求得离心率e【解答】解：P关于原点O的对称点为Q，Q在双曲线上，如图，可得四边形F1QF2P为平行四边形，|PF1|3|QF1|，|PF1|3|PF2|，|PF1|3a，|PF2|a，设F1PF2（2b）2a2+（3a）22a3acos（），（2c）2a2+（3a）22a3acosb2+c2
24、5a2c23a2，e故答案为：【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，主要是离心率的求法，注意运用平行四边形性质和双曲线的定义，考查数形结合思想和方程思想，属于中档题三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（）若a4，求sinB的值；（）若ABC的面积S6，求a，c的值【分析】（）通过a4，结合正弦定理，然后求解sinB的值；（）通过ABC的面积S6求出c，利用余弦定理求a的值【解答】解：（I），（2分）由正弦定理：有（5分）（II）（6分）c10（7分）由余弦定理有：（9分）（10分）【点评】本题考查正弦定理以及余弦
25、定理的应用，考查转化首项以及计算能力18（12分）设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S515，S1365，Tn为数列的前n项和，求Tn的最小值【分析】设等差数列的公差为d，结合等差数列的通项公式及求和公式可求a1，d，然后结合等差数列的求和公式可求sn，进而可求【解答】解（1）设等差数列的公差为d，由题可知（2分）解可得，（4分）an2n9（5分）snn（n8）（6分）的是以7为首相，1为公差的等差数列（8分）（10分）n7或8时Tn有最小值28（12分）【点评】本题 主要考查了等差数列的通项公式及求和公式及等差数列的性质的应用，属于中档试题19（12分）如图1，在ABC中，D，
26、E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，BC4将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使得平面A1DE平面BCED，F为A1C的中点，如图2（）求证：EF平面A1BD；（）求证：平面A1OB平面A1OC；（）线段OC上是否存在点G，使得OC平面EFG？说明理由【分析】（）取线段A1B的中点H，连接HD，HF，推导出四边形DEFH为平行四边形，从而EFHD由此能证明EF平面A1BD（）推导出 A1ODE，COA1O，COBO，从而 CO平面A1OB，由此能证明平面A1OB平面A1OC（）假设线段OC上存在点G，使得OC平面EFG，连接 GE，GF，则必有 OCGF，且OCGE推导出EOEC，这与E
27、O1，矛盾，从而线段OC上不存在点G，使得OC平面EFG【解答】（本小题满分14分）证明：（）取线段A1B的中点H，连接HD，HF（1分）因为在ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，所以 DEBC，因为 H，F分别为A1B，A1C的中点，所以 HFBC，所以 HFDE，HFDE，所以 四边形DEFH为平行四边形，（3分）所以 EFHD（4分）因为 EF平面A1BD，HD平面A1BD，所以 EF平面A1BD（5分）（）因为在ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，所以 ADAE所以A1DA1E，又O为DE的中点，所以 A1ODE（6分）因为平面A1DE平面BCED，且A1O平面A1DE，所以
28、A1O平面BCED，（7分）所以 COA1O（8分）在OBC中，BC4，OBOC2，所以 COBO，所以 CO平面A1OB，（9分）所以 平面A1OB平面A1OC（10分）解：（）线段OC上不存在点G，使得OC平面EFG（11分）否则，假设线段OC上存在点G，使得OC平面EFG，连接 GE，GF，则必有 OCGF，且OCGE在RtA1OC中，由F为A1C的中点，OCGF，得G为OC的中点（12分）在EOC中，因为OCGE，所以EOEC，这与EO1，矛盾！所以线段OC上不存在点G，使得OC平面EFG（14分）【点评】本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查满足线面垂直的点是不存在的判断与求法，考查
29、空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题20（12分）已知圆M过两点A（1，1），B（1，1），且圆心M在xy+20上（）求圆M的方程；（）设P是直线3x4y+270上的动点，PC，PD是圆M的两条切线，C，D为切点，求四边形PCMD面积的最小值【分析】（）求出圆的圆心与半径，即可求圆M的方程；（）求出四边形PCMD面积的表达式，然后转化求解面积的最小值【解答】解：（I）线段AB的中点为（0，0），其垂直平分线方程为x+y0（1分）解方程组，解得，所以圆M的圆心坐标为（1，1），（3分）半径（4分）故所求圆M的方程为（x+1）2+（y1）24
30、（6分）（II）如图，由题知，四边形PCMD的面积为（9分）因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可即在直线3x4y+270上找一点P，使得|PM|的值最小，所以（11分）所以四边形PCMD面积的最小值为（12分）【点评】本题考查轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系的综合应用，考查计算能力21（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形平面ABC平面AA1C1C，AB3，BC5，E，F分别在稜A1A，C1C上，且A1ECF3（）求截面A1C1B与截面EFB所成的二面角的余弦值；（）取B1C1的中点N，在线段A1N上是否存在点M使得BM与面BEF所成角的正弦值
31、为，若不存在请说明理由【分析】（）说明AA1AC，证明AA1AC，AA1AB以A为原点建立空间直角坐标系Axyz，求出平面A1BC1的法向量平面EFB的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角A1BC1B1的余弦值即可（）由已知得设M（x，y，z）是线段A1N上一点，求出，利用直线与平面所成角的正弦函数值求解即可【解答】解：（）因为AA1C1C为正方形，所以AA1AC，因为平面ABC平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，所以AA1平面ABCAA1AC，AA1AB由题知AB3，BC5，AC4，所以ABAC如图，以A为原点建立空间直角坐标系Axyz，则B（0，3，0），A1（0，0，
32、4），B1（0，3，4），C1（4，0，4），E（0，0，1），F（4，0，3）设平面A1BC1的法向量为（x，y，z），则即令z3，则x0，y4，所以（0，4，3）同理可得，平面EFB的法向量为（3，2，6），所以cos，由题知截面A1C1B与截面EFB所成的二面角为锐二面角，所以二面角A1BC1B1的余弦值为（）由已知得设M（x，y，z）是线段A1N上一点，所以解得所以，化简得323+80此方程无解，所以不存在在点M使得BM与面BEF所成角的正弦值为【点评】本题考查二面角以及直线与平面所成角的求法与应用，考查空间想象能力以及计算能力22（12分）已知椭圆，为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与
33、椭圆相交所得的弦长为1（）求椭圆C的方程；（）设直线与椭圆C相交于A，B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点，求|OP|的取值范围【分析】（）利用已知条件列出方程组，求出a，b，即可求椭圆C的方程；（）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0）由已知得，x0x1+x2，y0y1+y2，由消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4m240，利用韦达定理以及弦长公式转化求解即可【解答】解：（I）由已知得，解得，（3分）椭圆，（4分）（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0）由已知得，x0x1+x2，y0y1+y2（5分）由消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4m240（6分）则（7分）又（9分）又64k2m216（1+4k2）（m21）16（1+4k2m2）12（1+4k2）0，（10分），2|OP|23（11分）|OP|的取值范围是（12分）【点评】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，弦长公式的求法，考查转化思想以及计算能力
