1、2018-2019学年内蒙古鄂尔多斯一中高二（下）第一次调研数学试卷（文科）（3月份）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1（5分）复数（i是虚数单位）的虚部是（）ABCD2（5分）设为平面，a、b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是（）A若a，b，则abB若a，ab，则bC若a，ab，则bD若a，ab，则b3（5分）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）A2BC3D4（5分）曲线C经过伸缩变换后，对应曲线的方程为：x2+y21，则曲线C的方程为（）ABCD4x2+9y215（5分）已知函数f（x）x33x2+x的极大值为m，极小值为n，则m+n（）A0B2C4D26（5分
2、）设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a611，则S7等于（）A13B15C49D637（5分）若函数f（x）sin2x向右平移个单位后，得到yg（x），则关于yg（x）的说法正确的是（）A图象关于点中心对称B图象关于轴对称C在区间单调递增D在单调递增8（5分）若是z的共轭复数，且满足（1i）24+2i，则z（）A1+2iB12iC1+2iD12i9（5分）如图F1、F2是椭圆C1：+y21与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）ABCD10（5分）棱长为2的正方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，
3、则该截面面积为（）ABC3D311（5分）已知ABC的三个顶点在以O为球心的球面上，且cosA，BC1，AC3，三棱锥OABC的体积为，则球O的表面积为（）A36B16C12D12（5分）定义域为R的可导函数yf（x）的导函数f（x），满足f（x）f（x），且f（0）2，则不等式f（x）2ex的解集为（）A（，0）B（，2）C（0，+）D（2，+）二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）+与2+的大小关系为 14（5分）点M的直角坐标是（，1），在0，02的条件下，它的极坐标是 15（5分）36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为362232，所以36的所有正约数之和为
4、（1+3+32）+（2+23+232）+（22+223+2232）（1+2+22）（1+3+32）91，参照上述方法，可求得100的所有正约数之和为 16（5分）已知点A（0，3），若圆C：（xa）2+（y2a+4）21上存在点M，使|MA|2|MO|，则圆心C的横坐标a的取值范围为 三、解答题：（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）已知曲线C1的极坐标方程为6cos，曲线C2的极坐标方程为（pR），曲线C1，C2相交于A，B两点（）把曲线C1，C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；（）求弦AB的长度18（12分）为了解某市市民对政府出台楼市限购令的态度，在该市随机抽
5、取了50名市民进行调查，他们月收入（单位：百元）的频数分布及对楼市限购令的赞成人数如表：月收入15，25）25，35）35，45）45，55）55，65）65，75）频数510151055赞成人数488521将月收入不低于55百元的人群称为“高收入族”，月收入低于55百元的人群称为“非高收入族”附：P（K2k）0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828（1）根据已知条件完成下面的22列联表，并判断有多大的把握认为赞不赞成楼市限购令与收入高低有关？非高收入族高收入族总计赞成不赞成总计（2）现从月收入在55，65）的人群中随机抽取两人，求所抽取的两人中至少
6、有一人赞成楼市限购令的概率19（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F（）求证：ABEF；（）若PAAD，且平面PAD平面ABCD，试证明AF平面PCD；（）在（）的条件下，线段PB上是否存在点M，使得EM平面PCD？（直接给出结论，不需要说明理由）20（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费xi和年销售量yi（i1，2，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值46.65636.8289.81.61469
7、108.8表中wi，附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），（un，vn），其回归线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，（）根据散点图判断，ya+bx与，哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（）根据（）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z0.2yx，根据（）的结果回答：当年宣传费x49时，年销售量及年利润的预报值是多少？21（12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，左焦点为F1（1，0），点在椭圆C上，（）求椭圆C的方程；（）设过点F2（1，0）的斜率为k（k0）的直线l与椭圆C交于不
8、同的两点M，N，点P在y轴上，且|PM|PN|，求点P纵坐标的取值范围22（12分）已知函数f（x）lnxax+a2，aR（）求函数f（x）的单调区间；（）设g（x）xf（x）+2，求证：当aln时，g（x）2a2018-2019学年内蒙古鄂尔多斯一中高二（下）第一次调研数学试卷（文科）（3月份）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1（5分）复数（i是虚数单位）的虚部是（）ABCD【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简复数为a+bi（a，bR）的形式，可得虚部【解答】解：因为所以复数的虚部为：故选：D【点评】本题是基础题，考查复数的代数形式的基本运
9、算，复数的基本概念，考查计算能力，注意虚部是实数2（5分）设为平面，a、b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是（）A若a，b，则abB若a，ab，则bC若a，ab，则bD若a，ab，则b【分析】利用空间线线、线面、面面间的关系求解【解答】解：若a，b，则a与b相交、平行或异面，故A错误；若a，ab，则由直线与平面垂直的判定定理知b，故B正确；若a，ab，则b或b，故C错误；若a，ab，则b，或b，或b与相交，故D错误故选：B【点评】本题考查命题的真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养3（5分）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）A2BC3D【分析】根据题意，本程序框
10、图为求S的值，利用循环体，代入计算可得结论【解答】解：根据题意，本程序框图为求S的值第一次进入循环体后，i1，S；第二次进入循环体后，i2，S；第三次进入循环体后，i3，S3第四次进入循环体后，i4，S；退出循环故选：D【点评】本题考查了程序框图中的循环结构的应用，解题的关键是由框图的结构判断出框图的计算功能4（5分）曲线C经过伸缩变换后，对应曲线的方程为：x2+y21，则曲线C的方程为（）ABCD4x2+9y21【分析】直角坐标系中的伸缩变换只要是利用变换前的关系式，变换关系，变换后的关系式，只要知道其中的两个变量就可以求出点三个变量本题知道第二、第三个变量求第一个变量【解答】解：曲线C经过
11、伸缩变换后，对应曲线的方程为：x2+y21，把代入得到：故选：A【点评】本题考查的知识要点：直角坐标系中的函数关系式的伸缩变换，属于基础题型5（5分）已知函数f（x）x33x2+x的极大值为m，极小值为n，则m+n（）A0B2C4D2【分析】利用导数工具去解决该函数极值的求解问题，关键要利用导数将原函数的单调区间找出来，即可确定出在哪个点处取得极值，进而得到答案【解答】解：由题意可得：f（x）3x26x+1，令f（x）0，即3x26x+10，解得：x1，x2，f（x）在（，）递增，在（，）递减，在（，+）递增，x1是极大值点，x2是极小值点，m+nf（x1）+f（x2）（2+）（2）2，故选：
12、D【点评】利用导数工具求该函数的极值是解决该题的关键，要先确定出导函数大于0时的实数x的范围，再讨论出函数的单调区间，根据极值的判断方法求出该函数的极值，体现了导数的工具作用6（5分）设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a611，则S7等于（）A13B15C49D63【分析】根据等差数列的性质可知项数之和相等的两项之和相等即a1+a7a2+a6，求出a1+a7的值，然后利用等差数列的前n项和的公式表示出S7，将a1+a7的值代入即可求出【解答】解：因为a1+a7a2+a63+1114，所以S7（a1+a7）49，故选：C【点评】此题考查学生掌握等差数列的性质及前n项和的公式，是一道基础
13、题7（5分）若函数f（x）sin2x向右平移个单位后，得到yg（x），则关于yg（x）的说法正确的是（）A图象关于点中心对称B图象关于轴对称C在区间单调递增D在单调递增【分析】由题意根据平移变换求出函数的解析式，然后利用正弦函数的性质逐一判断各个选项即可得解【解答】解：函数ysin2x的图象向右平移个单位，则函数变为ysin2（x）sin（2x）；考察各个选项：对于A，当x时，sin2（）0，故错误；对于B，当x时，sin2（）1，故错误；令2k2x2k+，kZ，解得：kxk+，kZ，yg（x）在单调递增，故C错误，D正确故选：D【点评】本题是基础题，考查三角函数图象的平移变换，正弦函数的图象
14、和性质，考查计算能力，逻辑推理能力，常考题型8（5分）若是z的共轭复数，且满足（1i）24+2i，则z（）A1+2iB12iC1+2iD12i【分析】直接利用复数的运算法则化简求解即可【解答】解：（1i）24+2i，可得（2i）4+2i，可得（2+i）i1+2iz12i故选：B【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力9（5分）如图F1、F2是椭圆C1：+y21与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）ABCD【分析】不妨设|AF1|x，|AF2|y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性
15、质即可求得C2的离心率【解答】解：设|AF1|x，|AF2|y，点A为椭圆C1：+y21上的点，2a4，b1，c；|AF1|+|AF2|2a4，即x+y4；又四边形AF1BF2为矩形，+，即x2+y2（2c）212，由得：，解得x2，y2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，则2m|AF2|AF1|yx2，2n2c2，双曲线C2的离心率e故选：D【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题10（5分）棱长为2的正方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，则该截面面积为（）ABC3D3【分析】由已知的三视图可得：该几何体是一
16、个正方体切去一个三棱台，其截面是一个梯形，分别求出上下底边的长和高，代入梯形面积公式可得答案【解答】解：由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体切去一个三棱台，所得的组合体，其截面是一个梯形，上底长为，下底边长为2，高为：，故截面的面积S（+2），故选：A【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状11（5分）已知ABC的三个顶点在以O为球心的球面上，且cosA，BC1，AC3，三棱锥OABC的体积为，则球O的表面积为（）A36B16C12D【分析】根与余弦定理和勾股定理的逆定理即可判断三角形ABC是直角三角形，根据棱锥的体积求出O到平面ABC的距离，利
17、用勾股定理计算球的半径OA，得出球的面积【解答】解：由余弦定理得cosA，解得AB2，AB2+BC2AC2，即ABBCAC为平面ABC所在球截面的直径作OD平面ABC，则D为AC的中点，VOABC，ODOA2S球O4OA216故选：B【点评】本题考查了球与棱锥的关系，判断ABC的形状是关键12（5分）定义域为R的可导函数yf（x）的导函数f（x），满足f（x）f（x），且f（0）2，则不等式f（x）2ex的解集为（）A（，0）B（，2）C（0，+）D（2，+）【分析】根据条件构造函数g（x），求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论【解答】解：设g（x），则g（x），f（x）f（x），g（x
18、）0，即函数g（x）单调递增f（0）2，g（0）f（0）2，则不等式等价于g（x）g（0），函数g（x）单调递增x0，不等式的解集为（0，+），故选：C【点评】本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）+与2+的大小关系为【分析】平方作差即可得出【解答】解：13+2（13+4）0，+2+，故答案为：【点评】本题考查了平方作差比较两个数的大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题14（5分）点M的直角坐标是（，1），在0，02的条件下，它的极坐标是【分析】根据2x2+y2，tan可得【解答】解：x，y1，
19、2x2+y23+14，2，tan，且M在第四象限，故答案为：（2，）【点评】本题考查了点的极坐标和直角坐标的互化，属基础题15（5分）36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为362232，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+23+232）+（22+223+2232）（1+2+22）（1+3+32）91，参照上述方法，可求得100的所有正约数之和为217【分析】这是一个类比推理的问题，在类比推理中，参照上述方法，类比36的所有正约数之和的方法，有：100的所有正约数之和可按如下方法得到：因为1002252，所以100的所有正约数之和为（1+2+22）（1+5+52），即可得出答案
20、【解答】解：类比36的所有正约数之和的方法，有：100的所有正约数之和可按如下方法得到：因为1002252，所以100的所有正约数之和为（1+2+22）（1+5+52）217可求得100的所有正约数之和为217故答案为：217【点评】类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）16（5分）已知点A（0，3），若圆C：（xa）2+（y2a+4）21上存在点M，使|MA|2|MO|，则圆心C的横坐标a的取值范围为0，【分析】由圆的方程求出圆心坐标，设出M坐标，由|MA|2|MO|求得M的轨迹，再由两圆相交得到
21、圆心距与半径的关系，求解不等式组得答案【解答】解：由C：（xa）2+（y2a+4）21，得圆心C（a，2a4），设M（x，y），|MA|2|MO|，得x2+y2+2y30，即x2+（y+1）24点M在以D（0，1）为圆心，以2为半径的圆上，则圆C与圆D有公共点，满足21CD2+1，即1，即，解得0故答案为：0，【点评】本题考查圆的标准方程，考查了两圆间位置关系的应用，体现了数学转化思想方法，考查不等式组的解法，是中档题三、解答题：（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）已知曲线C1的极坐标方程为6cos，曲线C2的极坐标方程为（pR），曲线C1，C2相交于A，B两点（
22、）把曲线C1，C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；（）求弦AB的长度【分析】（）利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用cosx，siny，2x2+y2，进行代换即得曲线C2及曲线C1的直角坐标方程（）利用直角坐标方程的形式，先求出圆心（3，0）到直线的距离，最后结合点到直线的距离公式弦AB的长度【解答】解：（）曲线C2：（pR）表示直线yx，曲线C1：6cos，即26cos所以x2+y26x即（x3）2+y29（）圆心（3，0）到直线的距离，r3所以弦长AB弦AB的长度【点评】本小题主要考查圆和直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心到直线的距等基本方法，属于基础题18
23、（12分）为了解某市市民对政府出台楼市限购令的态度，在该市随机抽取了50名市民进行调查，他们月收入（单位：百元）的频数分布及对楼市限购令的赞成人数如表：月收入15，25）25，35）35，45）45，55）55，65）65，75）频数510151055赞成人数488521将月收入不低于55百元的人群称为“高收入族”，月收入低于55百元的人群称为“非高收入族”附：P（K2k）0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828（1）根据已知条件完成下面的22列联表，并判断有多大的把握认为赞不赞成楼市限购令与收入高低有关？非高收入族高收入族总计赞成不赞成总计（2）现
24、从月收入在55，65）的人群中随机抽取两人，求所抽取的两人中至少有一人赞成楼市限购令的概率【分析】（1）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值即可得出结论；（2）利用列举法计算基本事件数，求出对应的概率值【解答】解：（1）根据题意填写列联表如下； 非高收入族高收入族总计赞成25328不赞成15722总计401050计算23.432.706，所以有90%的把握认为赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；（2）设月收入在55，65）的5人的编号为a，b，c，d，e，其中a，b为赞成楼市限购令的人，从5人中抽取两人的方法数有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de共10种，其中ab，
25、ac，ad，ae，bc，bd，be为所抽取的两人中至少有一人赞成的方法数，因此所求概率为P【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率应用问题，是基础题19（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F（）求证：ABEF；（）若PAAD，且平面PAD平面ABCD，试证明AF平面PCD；（）在（）的条件下，线段PB上是否存在点M，使得EM平面PCD？（直接给出结论，不需要说明理由）【分析】（）证明：AB平面PCD，即可证明ABEF；（）利用平面PAD平面ABCD，证明CDAF，PAAD，所以AFPD，即可证明AF
26、平面PCD；（）在（）的条件下，线段PB上不存在点M，使得EM平面PCD【解答】（）证明：因为底面ABCD是正方形，所以ABCD又因为AB平面PCD，CD平面PCD，所以AB平面PCD又因为A，B，E，F四点共面，且平面ABEF平面PCDEF，所以ABEF（5分）（）证明：在正方形ABCD中，CDAD又因为平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD，所以CD平面PAD又AF平面PAD所以CDAF由（）可知ABEF，又因为ABCD，所以CDEF由点E是棱PC中点，所以点F是棱PD中点在PAD中，因为PAAD，所以AFPD又因为PDCDD，所以AF平面PCD（11分）（）解：不存在 （1
27、4分）【点评】本题考查线面平行的性质，平面与平面垂直的性质，考查线面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题20（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费xi和年销售量yi（i1，2，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值46.65636.8289.81.61469108.8表中wi，附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），（un，vn），其回归线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，（）根据散点图判断，ya+bx与，哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费
28、x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（）根据（）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z0.2yx，根据（）的结果回答：当年宣传费x49时，年销售量及年利润的预报值是多少？【分析】（）由散点图可以判断，适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型；（）令，先建立y关于w的线性回归方程，再求y关于x的回归方程；（）由（）计算x49时年销售量y和年利润的预报值z的值【解答】解：（）由散点图可以判断，适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型；（）令，先建立y关于w的线性回归方程，由于，563686.8100.6，y关于w的线性回归
29、方程为，y关于x的回归方程为；（）由（）知，当x49时，年销售量y的预报值为576.6，年利润的预报值是【点评】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是中档题21（12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，左焦点为F1（1，0），点在椭圆C上，（）求椭圆C的方程；（）设过点F2（1，0）的斜率为k（k0）的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，点P在y轴上，且|PM|PN|，求点P纵坐标的取值范围【分析】（）由椭圆的定义可知，点E的轨迹C是以两定点F1（1，0）和F2（1，0）为焦点，2a|BF1|+|BF2|2，由此可得椭圆C的方程；（）先写出直线MN的方程为yk（x1），联立直线与椭圆方程，设M
30、（x1，y1），N（x2，y2），根据方程的根与系数的关系可求x1+x2，y1+y2k（x1+x22），然后由PMPN且P在y轴上，令x0解得，即可【解答】解：（）可得，c1，|BF1|+|BF2|2，a故椭圆方程为：（II）依题设直线l的方程为yk（x1）将yk（x1）代入并整理得，（2k2+1）x24k2x+2k2208k2+80设M（x1，y1），N（x2，y2），则，设MN的中点为Q，则，即因为k0，所以直线MN的垂直平分线的方程为令x0解得，当k0时，因为，所以；当k0时，因为，所以综上得点P纵坐标的取值范围是【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运
31、用，考查学生的计算能力，属于中档题22（12分）已知函数f（x）lnxax+a2，aR（）求函数f（x）的单调区间；（）设g（x）xf（x）+2，求证：当aln时，g（x）2a【分析】（）求出函数f（x）的导函数，然后分类讨论，当a0时，f（x）的单调增区间为（0，+），当a0时，f（x）的单调增区间为（0，），单调递减区间为（，+）；（）求出g（x）的导函数g（x）ax+lnx+a1 （x0），当时，g（x）在（0，+）上单调递增，故而g（x）在（1，2）存在唯一的零点x0，即g（x0）0，则当0xx0时，g（x）单调递减，当xx0时，g（x）单调递增，从而可证得结论【解答】（）解：由函数f
32、（x）lnxax+a2，aR得，（x0）若a0时，f（x）0，函数f（x）的单调递增区间为（0，+）； 若a0，时，f（x）0，函数f（x）单调递增，若时，f（x）0，函数f（x）单调递减，综上，若a0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+），若a0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+）；（）证明：g（x）xf（x）+2，（x0）则g（x）ax+lnx+a1 （x0）当时，g（x）ax+lnx+a1在（0，+）上单调递增，又g（1）10，g（2）a+ln210，故而g（x）在（1，2）存在唯一的零点x0，即g（x0）0则当0xx0时，g（x）0，g（x）单调递减；当xx0时，g（x）0，g（x）单调递增；故而（a2）x0+2又g（x0）ax0+lnx0+a10，1x02，【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数研究函数的极值问题，考查了学生的运算能力，属于中档题
